Mentora
0
810
שבועותשבוע 9
סיכום שבוע

שבוע 9

טורי חזקות — הגדרה, רדיוס, תחום התכנסות

טור חזקותרדיוס התכנסותתחום התכנסותגזירת טורי חזקות
פתחי סיכום שבוע 9
📖

הרצאה 8

חומר חדש

→
✏️

תרגול 9

מתרגל הרצאה 8

→
📋

מטלה 9

תרגול 9 + הרצאה 8

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

סיכום שבוע 9

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • גזירה/אינטגרציה של טור חזקות: R לא משתנה, הקצוות — בדקי מחדש

  • טורי מקלורן עיקריים: עליך לשנן eˣ, sinx,cosx,ln(1+x),1/(1−x)sin x, cos x, ln(1+x), 1/(1-x)

טעויות נפוצות

  • גזירה/אינטגרציה שינוי R אך לא בדיקת קצוות מחדש

  • שכחה ש-R לא משתנה בגזירה/אינטגרציה, אבל הקצוות כן

  • טעויות בנוסחת המקדמים aₙ =f(n)(0)/n!= f^(n)(0)/n!

  • אז אני בטוח שאם הייתי נותן, הייתי עושה עכשיו איזשהו סקר, לא מעט סטודנטים היו חושבים שאיי 2 בטור הזה, זה מה שמתקבל כשמציבים אין שווה 2, וזה ממש לא נכון.

  • אם אזור 2 נמחק, אני לא יכול להעסיק שום דבר לאזור 3 במשפט הבל, והאמת שזה בכלל לא נכון כשער 1 שווה לער 2. אם אתם רוצים להמשיך לחקור את זה, תעשו בבית, אני לא אפתח את זה לדיון, אני רק אומר, זה לא נכון כשער 1 שווה לער 2. למה?

כלים מרכזיים

  • רדיוס התכנסות — נוסחת המנה/שורש

  • גזירת טור חזקות

  • אינטגרציה של טור חזקות

  • טיילור/מקלורן

  • חישוב R של ∑a∑aₙxⁿ

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 9

אחרי שמצאת את $R$ — תמיד בדקי בנפרד את שני הקצוות $|x-x_0|=R$.

מה לחזור קודם

  • מבחני התכנסות

  • טור הנדסי

חובה לשנן

  • טור חזקות: ∑an(x−x0)n\sum a_n (x-x_0)^n; תמיד מתכנס ב-x=x0x=x_0

  • למת אבל: התכנסות בנקודה ← התכנסות בהחלט קרוב יותר למרכז

  • רדיוס התכנסות RR: ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R מתכנס, ∣x−x0∣>R|x-x_0|>R מתבדר

  • קושי-אדמר: R=1/lim⁡∣an∣nR = 1/\lim\sqrt[n]{|a_n|} (וגם נוסחת המנה לרדיוס)

  • בקצוות ∣x−x0∣=R|x-x_0|=R — בדיקה נפרדת לכל קצה

כלים מרכזיים

  • רדיוס התכנסות

  • נוסחת קושי-אדמר

  • מבחן הסוגריים (קיבוץ)

טעויות נפוצות

  • לשכוח לבדוק את הקצוות בנפרד

  • לבלבל בין הרדיוס RR לבין תחום ההתכנסות

  • טעות ב-1/L1/L בנוסחת קושי-אדמר

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    קיבוץ סוגריים (מבחן הסוגריים)

  2. 2

    טור חזקות והמרכז x0x_0

  3. 3

    למת אבל

  4. 4

    רדיוס התכנסות ← קושי-אדמר ונוסחת המנה

  5. 5

    בדיקת קצוות התחום

סיכום שבוע 9

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

להבין טורי חזקות: תחום התכנסות, רדיוס התכנסות, בדיקת קצוות וערך מפורש ללא סיגמה.

העיקרון המוביל

בטור חזקות קודם מוצאים את האזור הפנימי בעזרת רדיוס, ואז בודקים את הקצוות ידנית בטור המקורי.

בנוי על: טורים גיאומטריים, מבחן מנה, מבחן שורש, טורי $p$, לייבניץ והתכנסות מוחלטת

סיכום מלא

תרגול 9 — טורי חזקות

כן. הנה סיכום מלא, עמוס, מסודר ומפורט של תרגול 9 — טורי חזקות, עם משפטים חשובים מההרצאה כשצריך. זה בנוי כמו דף למידה: הגדרות, אינטואיציה, משפטים, דרך עבודה, דוגמאות, הערות וטעויות נפוצות.

סיכום מלא — תרגול 9: טורי חזקות

הנושא המרכזי בתרגול 9 הוא טורי חזקות: איך מזהים אותם, מה זה תחום התכנסות, מה זה רדיוס התכנסות, איך מוצאים אותו, איך בודקים קצוות, ואיך מוצאים ערך מפורש ללא סימן סיגמה. בתרגול מופיע במפורש שטור חזקות הוא מהצורה (\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n), ותחום ההתכנסות הוא קבוצת כל ערכי (x) שעבורם הטור מתכנס.

1.מה זה טור חזקות?

טור חזקות הוא טור מהצורה:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n

כלומר:

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+⋯a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots

פירוש הסימונים

סימון

משמעות

(x)

המשתנה שאנחנו מציבים בו ערכים

(x0)(x_0)

מרכז הטור

(an)(a_n)

המקדמים של הטור

((x−x0)n)((x-x_0)^n)

החלק שהופך את הטור לטור חזקות

(\sum)

סכימה אינסופית

אינטואיציה

בטור רגיל, למשל:

∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

אין משתנה (x). זה פשוט טור מספרי.

אבל בטור חזקות יש (x). לכן אותו טור יכול להתכנס עבור ערך אחד של (x), ולהתבדר עבור ערך אחר.

לדוגמה:

∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty}x^n

אם (x=(x=\frac12):

1+12+14+18+⋯1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots

מתכנס.

אם (x=2):(x=2):

1+2+4+8+⋯1+2+4+8+\cdots

מתבדר.

אם (x=−1):(x=-1):

1−1+1−1+⋯1-1+1-1+\cdots

מתבדר, כי האיבר הכללי לא שואף ל־0.

לכן השאלה המרכזית בטורי חזקות היא:

עבור אילו ערכי (x) הטור מתכנס?

2.מרכז הטור (x0)(x_0)

בטור:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n

המספר (x0)(x_0) נקרא מרכז הטור.

איך מזהים את המרכז?

מסתכלים על הביטוי שבתוך הסוגריים.

דוגמאות

∑n=0∞an(x−5)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-5)^n

כאן:

x0=5x_0=5

כי כתוב (x-5).

∑n=0∞an(x+2)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x+2)^n

כאן:

x+2=x−(−2)x+2=x-(-2)

ולכן:

x0=−2x_0=-2
∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

כאן:

x=x−0x=x-0

ולכן:

x0=0x_0=0

הערה חשובה

אם אין סוגריים, כלומר כתוב פשוט (xn),(x^n), המרכז הוא תמיד:

x0=0x_0=0
3.למה טור חזקות תמיד מתכנס במרכז?

בטור:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n

אם מציבים:

x=x0x=x_0

מקבלים:

(x0−x0)n=0n(x_0-x_0)^n=0^n

ולכן כל האיברים עם (n\ge 1) מתאפסים.

נשאר רק:

a0a_0

כלומר הטור מתכנס לערך (a0).(a_0). זה מופיע בתרגול: הטור מתכנס תמיד בנקודה (x=x0)(x=x_0) לערך (a0).(a_0).

אינטואיציה

המרכז הוא המקום הכי “בטוח” של הטור.

שם כל החזקות מתאפסות, אז אין באמת סכימה אינסופית בעייתית.

4.תחום התכנסות

תחום ההתכנסות הוא:

x∈R:∑n=0∞an(x−x0)n מתכנס{x\in\mathbb{R}:\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \text{ מתכנס}}

במילים:

כל ערכי (x) שעבורם הטור מתכנס.

דוגמה בסיסית

∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty}x^n

זה טור גיאומטרי עם:

q=xq=x

טור גיאומטרי:

∑n=0∞qn\sum_{n=0}^{\infty}q^n

מתכנס אם ורק אם:

∣q∣<1|q|<1

לכן:

∣x∣<1|x|<1

כלומר:

−1<x<1-1<x<1

אז תחום ההתכנסות הוא:

(−1,1)(-1,1)
5.רדיוס התכנסות (R)

לכל טור חזקות יש רדיוס התכנסות (R), כאשר:

0≤R≤∞0\le R\le \infty

הרדיוס אומר כמה רחוק אפשר לזוז מהמרכז ועדיין להיות באזור שבו הטור מתכנס.

לפי תרגול 9, לכל טור חזקות יש רדיוס התכנסות כך שהטור מתכנס בהחלט בתוך הקטע ((x0−R,x0+R)),((x_0-\mathbb{R},x_0+\mathbb{R})), מתבדר מחוץ לקטע ([x0−R,x0+R]),([x_0-\mathbb{R},x_0+\mathbb{R}]), ורק בקצוות צריך לבדוק בנפרד.

בצורה פשוטה

אם המרכז הוא (x0),(x_0), אז:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

זה האזור שבו הטור מתכנס בהחלט.

כלומר:

x0−R<x<x0+Rx_0-R<x<x_0+R

שלושה מצבים אפשריים לרדיוס

מצב 1: (0<R<(0<\mathbb{R}<\infty)

יש קטע פנימי:

(x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)

בתוכו הטור מתכנס בהחלט.

מחוץ לו הטור מתבדר.

בקצוות צריך לבדוק בנפרד:

x=x0−R,x=x0+Rx=x_0-R,\quad x=x_0+R

מצב 2: (R=(\mathbb{R}=\infty)

הטור מתכנס לכל (x\in\mathbb{R}).

אין קצוות לבדוק.

תחום ההתכנסות:

(−∞,∞)(-\infty,\infty)

מצב 3: (R=0)(\mathbb{R}=0)

הטור מתכנס רק במרכז:

x=x0x=x_0

תחום ההתכנסות:

x0{x_0}
6.מה קורה בקצוות?

אם מצאנו (R), אז יש לנו שני קצוות:

x=x0−Rx=x_0-R

ו־

x=x0+Rx=x_0+R

בפנים — מתכנס בהחלט.

בחוץ — מתבדר.

בקצוות — לא יודעים אוטומטית.

בתרגול כתוב שהנקודות היחידות שבהן הטור עשוי להתכנס בתנאי הן בקצוות, ושבכל תרגיל צריך לבדוק את הקצוות בנפרד.

למה צריך לבדוק קצוות?

כי המשפט נותן התכנסות רק כאשר:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

אבל בקצה מתקיים:

∣x−x0∣=R|x-x_0|=R

וזה לא כלול במשפט.

7.שיטת עבודה מלאה למציאת תחום התכנסות

כאשר נתון טור חזקות:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

עובדים כך:

שלב 1: מזהים את המרכז

מסתכלים על הביטוי:

(x−x0)n(x-x_0)^n

ומזהים את (x0).(x_0).

שלב 2: מזהים את (an)(a_n)

זה המקדם של החזקה.

לדוגמה:

∑n=1∞(x−3)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n}

כאן:

x0=3x_0=3

ו־

an=1na_n=\frac{1}{n}

שלב 3: מוצאים רדיוס (R)

יש שלוש דרכים נפוצות:

  1. טור גיאומטרי — מזהים (q).

  2. נוסחת המנה.

  3. נוסחת השורש.

שלב 4: כותבים את הקטע הפנימי

(x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)

שלב 5: בודקים קצוות בנפרד

מציבים כל קצה בטור המקורי.

לא בטור אחרי חישוב רדיוס, אלא בטור המקורי.

שלב 6: כותבים תחום סופי

בהתאם לקצוות:

מצב

תחום

שני הקצוות לא נכנסים

((x0−R,x0+R))((x_0-\mathbb{R},x_0+\mathbb{R}))

שמאל נכנס, ימין לא

([x0−R,x0+R))([x_0-\mathbb{R},x_0+\mathbb{R}))

שמאל לא, ימין נכנס

((x0−R,x0+R])((x_0-\mathbb{R},x_0+\mathbb{R}])

שניהם נכנסים

([x0−R,x0+R])([x_0-\mathbb{R},x_0+\mathbb{R}])

8.נוסחת המנה לרדיוס

אם יש:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

ומחשבים:

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

אז:

R=R=
\begin{cases}
\infty & L=0\
0 & L=\infty\
\frac{1}{L} & 0<L<\infty
\end{cases}

זה מופיע בתרגול 9 בתור נוסחת המנה לרדיוס, יחד עם נוסחת השורש.

מתי נשתמש במנה?

נוח להשתמש במבחן מנה כאשר (an)(a_n) כולל:

  • עצרות (n!)

  • חזקות כמו (3n)(3^n)

  • מכפלות

  • ביטויים שהיחס (an+1/an)(a_{n+1}/a_n) מצטמצם יפה

דוגמה

∑n=1∞(x−2)n5n\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{5^n}

כאן:

x0=2x_0=2
an=15na_n=\frac{1}{5^n}

נחשב:

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
an+1=15n+1a_{n+1}=\frac{1}{5^{n+1}}

ולכן:

an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}
15n+115n\frac{\frac{1}{5^{n+1}}}{\frac{1}{5^n}}
15n+1⋅5n\frac{1}{5^{n+1}}\cdot 5^n
15\frac{1}{5}

אז:

L=15L=\frac15

ולכן:

R=1L=5R=\frac{1}{L}=5

הקטע הפנימי:

(2−5,2+5)=(−3,7)(2-5,2+5)=(-3,7)

עכשיו בודקים קצוות:

x=−3,x=7x=-3,\quad x=7
9.נוסחת השורש לרדיוס — קושי־הדמר

אם יש:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

ומחשבים:

L=lim⁡n→∞∣an∣nL=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

אז:

R=R=
\begin{cases}
\infty & L=0\
0 & L=\infty\
\frac{1}{L} & 0<L<\infty
\end{cases}

גם זה מופיע בתרגול 9.

מתי נשתמש בשורש?

נוח להשתמש בשורש כאשר (an)(a_n) כבר נמצא בחזקת (n), למשל:

an=(23)na_n=\left(\frac{2}{3}\right)^n

או:

an=nna_n=n^n

או:

an=1nna_n=\frac{1}{n^n}
10.טור גיאומטרי בתוך טור חזקות

הרבה תרגילים בתרגול 9 נפתרים פשוט על ידי זיהוי טור גיאומטרי.

טור גיאומטרי הוא:

∑n=0∞qn\sum_{n=0}^{\infty}q^n

והוא מתכנס אם ורק אם:

∣q∣<1|q|<1

ובמקרה כזה:

∑n=0∞qn=11−q\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}

דוגמה 1: הטור (\sum(−1)nx2n)sum (-1)^n x^{2n})

נתון:

∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}

מסדרים:

x2n=(x2)nx^{2n}=(x^2)^n

ולכן:

(−1)nx2n(-1)^n x^{2n}
(−1)n(x2)n(-1)^n(x^2)^n
(−x2)n(-x^2)^n

אז:

∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}
∑n=0∞(−x2)n\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n

זה טור גיאומטרי עם:

q=−x2q=-x^2

מתכנס אם:

∣−x2∣<1|-x^2|<1

כלומר:

x2<1x^2<1

ולכן:

−1<x<1-1<x<1

הערך המפורש:

∑n=0∞(−x2)n\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n
11−(−x2)\frac{1}{1-(-x^2)}
11+x2\frac{1}{1+x^2}

לכן:

∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}
11+x2,−1<x<1\frac{1}{1+x^2},\quad -1<x<1

דוגמה 2 מהתרגול: (\sum \frac(2x+3)2n42n)frac{(2x+3)^{2n}}{4^{2n}})

בתרגול 9 מסדרים את הטור הזה כטור גיאומטרי:

∑n=0∞(2x+3)2n42n\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x+3)^{2n}}{4^{2n}}

נסדר:

(2x+3)2n42n\frac{(2x+3)^{2n}}{4^{2n}}
(2x+34)2n\left(\frac{2x+3}{4}\right)^{2n}

עכשיו:

(2x+34)2n\left(\frac{2x+3}{4}\right)^{2n}
[(2x+34)2]n\left[\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2\right]^n

לכן:

q=(2x+34)2q=\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2

הטור מתכנס אם:

∣q∣<1|q|<1

כלומר:

∣(2x+34)2∣<1\left|\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2\right|<1

מאחר שריבוע הוא תמיד אי־שלילי:

(2x+34)2<1\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2<1

פותחים:

−1<2x+34<1-1<\frac{2x+3}{4}<1

כופלים ב־4:

−4<2x+3<4-4<2x+3<4

מחסרים 3:

−7<2x<1-7<2x<1

מחלקים ב־2:

−72<x<12-\frac72<x<\frac12

כלומר:

−3.5<x<0.5-3.5<x<0.5

בתרגול מציינים שהמרכז הוא:

x0=−1.5x_0=-1.5

ולכן הרדיוס הוא:

R=2R=2

הערך המפורש:

11−(2x+34)2\frac{1}{1-\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2}

בתרגול זו בדיוק הדוגמה שבה מוצאים גם את התחום וגם את הערך ללא סיגמה.

11.איך מזהים שזה גיאומטרי?

תחפשי משהו מהצורה:

(משהו שתלוי ב־x)n(\text{משהו שתלוי ב־}x)^n

או משהו שאפשר לסדר לצורה הזאת.

סימנים מחשידים

ביטוי

מה עושים

(x2n)(x^{2n})

כותבים ((x2)n)((x^2)^n)

((x+1)2n)((x+1)^{2n})

כותבים (((x+1)2)n)(((x+1)^2)^n)

((−1)nxn)((-1)^nx^n)

כותבים ((−x)n)((-x)^n)

(\fracxn3n)frac{x^n}{3^n})

כותבים ((\fracx3)n)frac{x}{3})^n)

(\frac(2x+3)2n42n)frac{(2x+3)^{2n}}{4^{2n}})

כותבים (\left((left((\frac2x+34)2frac{2x+3}{4})^2\right)n)right)^n)

12.קצוות — איך בודקים בפועל?

אחרי שמצאת רדיוס, את מציבה את הקצוות בטור המקורי.

דוגמה מלאה

∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}

כאן:

x0=0x_0=0
an=1na_n=\frac1n

נוסחת מנה:

L=lim⁡n→∞an+1anL=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
lim⁡n→∞1n+11n\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac1n}
lim⁡n→∞nn+1\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}
11

לכן:

R=1R=1

הקטע הפנימי:

(−1,1)(-1,1)

עכשיו בודקים קצוות.

קצה ימין: (x=1)(x=1)

∑n=1∞1nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n}{n}
∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

זה הטור ההרמוני.

הוא מתבדר.

לכן (x=1)(x=1) לא נכנס.

קצה שמאל: (x=−1)(x=-1)

∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}

זה טור מתחלף.

הערך המוחלט שלו:

∑n=1∞∣(−1)nn∣\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|
∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

מתבדר.

אבל הטור המקורי מתכנס לפי לייבניץ, כי:

1n\frac1n

יורדת ושואפת ל־0.

לכן (x=−1)(x=-1) נכנס בהתכנסות בתנאי.

תחום ההתכנסות:

[−1,1)[-1,1)
13.טבלה: מה יכול לצאת בקצוות?

אחרי הצבת קצה יוצא

מסקנה

(\sum 1)

מתבדר, האיבר הכללי לא שואף ל־0

(\sum(−1)n)sum (-1)^n)

מתבדר, האיבר הכללי לא שואף ל־0

(\sum \frac1n)

מתבדר, הרמוני

(\sum \frac1np)frac1{n^p})

מתכנס אם (p>1),(p>1), מתבדר אם (p\le 1)

(\sum(−1)nsum (-1)^n\frac1n)

מתכנס בתנאי לפי לייבניץ

(\sum(−1)nsum (-1)^n\frac1np)frac1{n^p})

לרוב בודקים לייבניץ; בהחלט אם (p>1),(p>1), בתנאי אם (0<p(0<p\le1)

טור חיובי מסובך

השוואה / השוואה גבולית / שורש / מנה

טור עם עצרות

מבחן מנה

טור עם חזקות (n)

מבחן שורש

14.התכנסות בהחלט מול בתנאי בטורי חזקות

בתוך הרדיוס:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

הטור מתכנס בהחלט.

כלומר:

∑∣an(x−x0)n∣\sum |a_n(x-x_0)^n|

מתכנס.

בקצוות יכולה להיות:

  • התכנסות בהחלט

  • התכנסות בתנאי

  • התבדרות

אבל התכנסות בתנאי יכולה לקרות רק בקצוות, לא בתוך הקטע.

זה דגש חשוב מהתרגול.

15.משפט “אבל” מההרצאה — האינטואיציה

בהרצאה מופיע רעיון חשוב שנקרא לפעמים משפט אבל:

אם טור חזקות מתכנס בנקודה מסוימת (x1),(x_1), אז הוא מתכנס בהחלט לכל (x2)(x_2) שקרוב יותר למרכז:

∣x2−x0∣<∣x1−x0∣|x_2-x_0|<|x_1-x_0|

בהרצאה רואים את זה גם דרך ציור: אם יש נקודת התכנסות בצד אחד, אז כל מה שבפנים, קרוב יותר למרכז, גם מתכנס.

אינטואיציה

אם הטור הצליח להתכנס בנקודה רחוקה יחסית מהמרכז, אז ברור שבנקודה קרובה יותר למרכז החזקות יהיו קטנות יותר, ולכן יהיה “קל יותר” לטור להתכנס.

לדוגמה:

אם הטור מתכנס ב־(x=5),(x=5), והמרכז הוא (x0=0),(x_0=0), אז הוא יתכנס גם בכל (x) עם:

∣x∣<5|x|<5

כלומר:

−5<x<5-5<x<5

למה זה חשוב?

זה מסביר למה תחום ההתכנסות של טור חזקות תמיד נראה כמו קטע סביב המרכז.

לא יכול להיות מצב מוזר כזה:

מתכנס ב־10,מתבדר ב־2\text{מתכנס ב־} 10,\quad \text{מתבדר ב־} 2

אם המרכז הוא 0.

כי אם הוא מתכנס רחוק — הוא חייב להתכנס קרוב יותר.

16.המשפט המשלים: אם מתבדר קרוב, אז מתבדר רחוק

מהמשפט הקודם נובע גם:

אם הטור מתבדר בנקודה (x1),(x_1), אז הוא מתבדר בכל נקודה (x2)(x_2) שרחוקה יותר מהמרכז:

∣x2−x0∣>∣x1−x0∣|x_2-x_0|>|x_1-x_0|

אינטואיציה

אם הטור כבר נכשל בנקודה קרובה יחסית, אז רחוק יותר מהמרכז החזקות גדלות עוד יותר, ולכן אין סיבה שיצליח.

17.איך רדיוס נבנה לפי ההרצאה?

בהרצאה מגדירים את הרדיוס בתור “המרחק המקסימלי” מהמרכז שבו יש התכנסות.

הרעיון:

R=sup⁡r≥0:הטור מתכנס לכל x∈[x0−r,x0+r]R=\sup{r\ge 0:\text{הטור מתכנס לכל }x\in[x_0-r,x_0+r]}

לא חייבים לכתוב את זה בכל פתרון, אבל חשוב להבין:

הרדיוס הוא הגבול בין אזור ההתכנסות לאזור ההתבדרות.

בציור בהרצאה רואים:

x0−Rx0x0+Rx_0-R \quad\quad x_0 \quad\quad x_0+R

בפנים ירוק — מתכנס.

בחוץ אדום — מתבדר.

בקצוות — סימן שאלה.

18.הערה חשובה: לא תמיד משתמשים בנוסחת מנה או שורש

בתרגול כתוב שיש מקרים שבהם מחשבים את (R) לפי נוסחת שורש או מנה, ויש מקרים שמחשבים בדרכים אחרות, למשל על ידי מציאת נקודה שבה הטור מתכנס בתנאי.

כלומר

אם אין לך גבול נוח של:

an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}

או:

∣an∣n\sqrt[n]{|a_n|}

לא חייבים להיתקע.

אפשר לפעמים להשתמש במשפטי התכנסות, בטורים מוכרים, או בטענה על סכום של טורי חזקות.

19.סכום או הפרש של שני טורי חזקות

בתרגול מופיע תרגיל:

יש שני טורי חזקות:

∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

ו־

∑n=0∞bnxn\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n

עם רדיוסי התכנסות שונים:

R1≠R2R_1\ne R_2

שואלים מה רדיוס ההתכנסות של:

∑n=0∞(an±bn)xn\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\pm b_n)x^n

התשובה:

R=min⁡R1,R2R=\min{R_1,R_2}

בתרגול מסבירים שאם (∣x∣<(|x|<\minR1,R2),min{R_1,R_2}), שני הטורים מתכנסים ולכן גם הסכום או ההפרש מתכנס. אם (|x|) בין הרדיוסים, אחד מתכנס ואחד מתבדר, ולכן הסכום או ההפרש מתבדר.

אינטואיציה

הטור החדש:

(an+bn)xn(a_n+b_n)x^n

יכול לעבוד רק איפה ששני הטורים המקוריים עובדים.

אם אחד מהם כבר מתבדר, אי אפשר שהחיבור הרגיל “יתקן” אותו, כאשר הרדיוסים שונים.

לכן הרדיוס של הסכום הוא הקטן מביניהם.

20.דוגמה: סכום של שני טורים

נניח:

∑anxn\sum a_nx^n

עם:

R1=2R_1=2

ו־

∑bnxn\sum b_nx^n

עם:

R2=5R_2=5

אז עבור:

∑(an+bn)xn\sum (a_n+b_n)x^n

הרדיוס הוא:

R=min⁡2,5=2R=\min{2,5}=2

כלומר:

R=2R=2

למה?

בתוך ((-2,2)): שני הטורים מתכנסים.

בין 2 ל־5: הטור הראשון כבר מתבדר והשני עדיין מתכנס.

מחוץ ל־5: שניהם מתבדרים.

לכן המקום הבטוח של הסכום הוא רק עד הרדיוס הקטן.

21.ערך מפורש ללא סיגמה

בתרגול מבקשים: “בתחום ההתכנסות, מצאו ערך מפורש ללא סימן הסיגמה.”

זה אומר שלא מספיק למצוא תחום. צריך להפוך את הטור לפונקציה רגילה.

הכלי המרכזי

הטור הגיאומטרי:

∑n=0∞qn=11−q,∣q∣<1\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q},\quad |q|<1

אז אם הצלחנו להפוך את הטור ל:

∑n=0∞(q(x))n\sum_{n=0}^{\infty}(q(x))^n

אז הערך הוא:

11−q(x)\frac{1}{1-q(x)}

דוגמה

∑n=0∞(x+1)2n\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^{2n}

נסדר:

(x+1)2n=((x+1)2)n(x+1)^{2n}=((x+1)^2)^n

אז:

q=(x+1)2q=(x+1)^2

התכנסות:

∣(x+1)2∣<1|(x+1)^2|<1

כלומר:

(x+1)2<1(x+1)^2<1
−1<x+1<1-1<x+1<1
−2<x<0-2<x<0

ערך מפורש:

11−(x+1)2\frac{1}{1-(x+1)^2}
22.גזירה של טור חזקות — מההרצאה

בהרצאה 9 מופיע משפט חשוב: בתוך תחום ההתכנסות, אפשר לגזור טור חזקות איבר־איבר.

אם:

f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

אז בתוך הרדיוס:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

מתקיים:

f′(x)=∑n=1∞nan(x−x0)n−1f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-x_0)^{n-1}

ההרצאה מציגה את הגזירה של טור חזקות ואת העובדה שרדיוס ההתכנסות של הטור הנגזר נשאר אותו (R).

אינטואיציה

זה כמו לגזור פולינום:

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots

רק שיש אינסוף איברים.

בפולינום רגיל:

ddx(x−x0)n=n(x−x0)n−1\frac{d}{dx}(x-x_0)^n=n(x-x_0)^{n-1}

אז גם כאן:

an(x−x0)na_n(x-x_0)^n

נגזר ל:

nan(x−x0)n−1n a_n(x-x_0)^{n-1}

דוגמה קלאסית

אנחנו יודעים:

∑n=0∞xn=11−x,∣x∣<1\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},\quad |x|<1

נגזור שני צדדים.

צד שמאל:

ddx∑n=0∞xn\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^n
∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}

צד ימין:

ddx(11−x)\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)
1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2}

לכן:

∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}
1(1−x)2,∣x∣<1\frac{1}{(1-x)^2},\quad |x|<1

אם רוצים:

∑n=1∞nxn\sum_{n=1}^{\infty}nx^n

כופלים ב־(x):

∑n=1∞nxn\sum_{n=1}^{\infty}nx^n
x(1−x)2\frac{x}{(1-x)^2}
23.אינטגרציה של טור חזקות — מההרצאה

אם:

f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

אז בתוך הרדיוס:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

אפשר לעשות אינטגרל איבר־איבר:

∫f(x),dx\int f(x),dx
∑n=0∞an(x−x0)n+1n+1+C\sum_{n=0}^{\infty}a_n\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1}+C

גם כאן רדיוס ההתכנסות נשאר אותו (R). בהרצאה 9 מופיע שימוש באינטגרציה של טורי חזקות, למשל כדי לקבל טורים של (\ln(1+x))ln(1+x)) ו־(ex).(e^x).

דוגמה: הטור של (\ln(1+x))ln(1+x))

מתחילים מהטור הגיאומטרי:

11+x=11−(−x)\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}

ולכן:

11+x\frac{1}{1+x}
∑n=0∞(−x)n\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n
∑n=0∞(−1)nxn\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n

בתנאי:

∣x∣<1|x|<1

עכשיו עושים אינטגרל מ־0 עד (x):

∫0x11+t,dt\int_0^x \frac{1}{1+t},dt
∫0x∑n=0∞(−1)ntn,dt\int_0^x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n,dt

צד שמאל:

ln⁡(1+x)\ln(1+x)

צד ימין:

∑n=0∞(−1)nxn+1n+1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}

כלומר:

ln⁡(1+x)\ln(1+x)
∑n=0∞(−1)nxn+1n+1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}

או עם אינדקס מ־1:

ln⁡(1+x)\ln(1+x)
∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}

בתחילה זה נכון ל:

−1<x<1-1<x<1

ואז בודקים קצוות.

בהרצאה מופיע בדיוק הרעיון שהטור:

∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}

נותן את (\ln(1+x)),ln(1+x)), ובקצה (x=1)(x=1) מתקבל הטור ההרמוני המתחלף שערכו (\ln2).ln 2).

24.דוגמה חשובה: (\ln2)ln 2)

מהטור:

ln⁡(1+x)\ln(1+x)
∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}

נציב:

x=1x=1

מקבלים:

ln⁡2\ln 2
∑n=1∞(−1)n+11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}

כלומר:

ln⁡2\ln 2
1−12+13−14+⋯1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots

וזה בדיוק הטור ההרמוני המתחלף.

25.הטור של (ex)(e^x)

בהרצאה מופיע גם:

ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

לכל:

x∈Rx\in\mathbb{R}

כלומר רדיוס ההתכנסות:

R=∞R=\infty

למה?

כאן:

an=1n!a_n=\frac1{n!}

נשתמש במנה:

an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}
1(n+1)!1n!\frac{\frac1{(n+1)!}}{\frac1{n!}}
n!(n+1)!\frac{n!}{(n+1)!}
1n+1\frac1{n+1}

ולכן:

L=lim⁡n→∞1n+1=0L=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0

אז:

R=∞R=\infty

לכן:

exe^x

מיוצג על ידי הטור שלו לכל (x).

26.דוגמה: למצוא תחום וערך מפורש

נפתור דוגמה מלאה:

∑n=0∞(x−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{2^n}

שלב 1: מזהים מרכז

x0=1x_0=1

שלב 2: מסדרים כגיאומטרי

(x−1)n2n\frac{(x-1)^n}{2^n}
(x−12)n\left(\frac{x-1}{2}\right)^n

אז:

q=x−12q=\frac{x-1}{2}

שלב 3: תנאי התכנסות

∣q∣<1|q|<1

כלומר:

∣x−12∣<1\left|\frac{x-1}{2}\right|<1
∣x−1∣<2|x-1|<2

פותחים:

−2<x−1<2-2<x-1<2

מוסיפים 1:

−1<x<3-1<x<3

שלב 4: ערך מפורש

∑n=0∞(x−12)n\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x-1}{2}\right)^n
11−x−12\frac{1}{1-\frac{x-1}{2}}

מסדרים:

[

\frac{1}{\frac{2-(x-1)}{2}}

\frac{2}{3-x}

]

לכן:

∑n=0∞(x−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{2^n}
23−x,−1<x<3\frac{2}{3-x},\quad -1<x<3

קצוות

כאן בגלל שזה גיאומטרי טהור, בקצוות:

(x=−1)(x=-1)

q=−1−12=−1q=\frac{-1-1}{2}=-1

אז:

∑(−1)n\sum (-1)^n

מתבדר.

(x=3)(x=3)

q=3−12=1q=\frac{3-1}{2}=1

אז:

∑1\sum 1

מתבדר.

תחום סופי:

(−1,3)(-1,3)
27.דוגמה עם קצה אחד שנכנס
∑n=1∞(x−4)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-4)^n}{n}

מרכז

x0=4x_0=4

מקדם

an=1na_n=\frac1n

רדיוס

כמו קודם:

L=lim⁡n→∞1n+11nL=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{n+1}}{\frac1n}
11

ולכן:

R=1R=1

הקטע הפנימי:

(3,5)(3,5)

קצה ימין: (x=5)(x=5)

∑n=1∞(5−4)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(5-4)^n}{n}
∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

מתבדר.

קצה שמאל: (x=3)(x=3)

∑n=1∞(3−4)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3-4)^n}{n}
∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}

מתכנס לפי לייבניץ.

תחום:

[3,5)[3,5)
28.דוגמה עם שני קצוות שנכנסים
∑n=1∞xnn2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}

מרכז

x0=0x_0=0

מקדם

an=1n2a_n=\frac1{n^2}

רדיוס

L=lim⁡n→∞1(n+1)21n2L=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)^2}}{\frac1{n^2}}
lim⁡n→∞n2(n+1)2\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}
11

לכן:

R=1R=1

פנים:

(−1,1)(-1,1)

קצה ימין: (x=1)(x=1)

∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}

מתכנס כי (p=2>1).(p=2>1).

קצה שמאל: (x=−1)(x=-1)

∑n=1∞(−1)nn2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}

מתכנס בהחלט, כי:

∑n=1∞∣(−1)nn2∣\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|
∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}

מתכנס.

תחום:

[−1,1][-1,1]
29.דוגמה עם אף קצה שלא נכנס
∑n=1∞xn\sum_{n=1}^{\infty}x^n

זה גיאומטרי עם:

q=xq=x

מתכנס אם:

∣x∣<1|x|<1

פנים:

(−1,1)(-1,1)

קצה ימין

x=1x=1
∑1\sum 1

מתבדר.

קצה שמאל

x=−1x=-1
∑(−1)n\sum (-1)^n

מתבדר.

תחום:

(−1,1)(-1,1)
30.דוגמה עם (R=(\mathbb{R}=\infty)
∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

כמו הטור של (ex).(e^x).

an=1n!a_n=\frac1{n!}

נוסחת מנה:

L=lim⁡n→∞1(n+1)!1n!L=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)!}}{\frac1{n!}}
lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0

לכן:

R=∞R=\infty

תחום ההתכנסות:

(−∞,∞)(-\infty,\infty)

אין קצוות לבדוק.

31.דוגמה עם (R=0)(\mathbb{R}=0)
∑n=1∞nnxn\sum_{n=1}^{\infty}n^n x^n

כאן:

an=nna_n=n^n

נוסחת שורש:

L=lim⁡n→∞nnnL=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^n}
lim⁡n→∞n\lim_{n\to\infty}n
∞\infty

לכן:

R=0R=0

כלומר הטור מתכנס רק ב:

x=0x=0

לכל (x\ne 0), האיבר הכללי לא שואף ל־0:

nnxn=(nx)nn^n x^n=(nx)^n

וזה לא יכול להתכנס ל־0 עבור (x\ne0) בסופו של דבר.

תחום:

0{0}
32.הטעויות הכי נפוצות

טעות 1: לא לבדוק קצוות

אם מצאת:

R=1R=1

והמרכז:

x0=0x_0=0

אסור ישר לכתוב:

(−1,1)(-1,1)

צריך לבדוק:

x=−1,x=1x=-1,\quad x=1

אלא אם (R=0)(\mathbb{R}=0) או (R=(\mathbb{R}=\infty).

טעות 2: לבדוק קצוות על הביטוי הלא נכון

בודקים קצוות בטור המקורי.

לא רק בתוך התנאי (∣x−x0∣<R).(|x-x_0|<\mathbb{R}).

לדוגמה:

∑xnn\sum\frac{x^n}{n}

אם (x=−1),(x=-1), מציבים בטור המקורי:

∑(−1)nn\sum\frac{(-1)^n}{n}

ולא אומרים “(∣x∣=1),(|x|=1), אז מתבדר”.

טעות 3: לחשוב שאם תנאי הכרחי מתקיים אז הטור מתכנס

אם:

an→0a_n\to0

זה לא אומר שהטור מתכנס.

למשל:

∑1n\sum\frac1n

האיבר הכללי שואף ל־0, אבל הטור מתבדר.

טעות 4: לשכוח ערך מוחלט בנוסחת מנה/שורש

ברדיוס משתמשים ב:

∣an+1an∣\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

או:

∣an∣n\sqrt[n]{|a_n|}

כי רדיוס קשור להתכנסות בהחלט.

טעות 5: לטעות במרכז

(x+3)n(x+3)^n

המרכז הוא:

x0=−3x_0=-3

לא (3).

כי:

x+3=x−(−3)x+3=x-(-3)

טעות 6: לחשוב שהרדיוס הוא התחום

הרדיוס הוא מספר.

התחום הוא קטע.

לדוגמה:

R=2,x0=−1R=2,\quad x_0=-1

התחום הפנימי הוא:

(−3,1)(-3,1)

לא “(R=2)(\mathbb{R}=2)” כתשובה סופית.

33.צורת כתיבה מסודרת להגשה

כאשר פותרים תרגיל, לכתוב כך:

שלב א: זיהוי

x0=…x_0=\dots
an=…a_n=\dots

שלב ב: חישוב רדיוס

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣=…L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dots

ולכן:

R=…R=\dots

שלב ג: קטע פנימי

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

ולכן:

⋯<x<…\dots <x<\dots

שלב ד: בדיקת קצוות

עבור (x=x0−R):(x=x_0-\mathbb{R}):

מציבים:

∑…\sum \dots

ומסיקים מתכנס / מתבדר.

עבור (x=x0+R):(x=x_0+\mathbb{R}):

מציבים:

∑…\sum \dots

ומסיקים מתכנס / מתבדר.

שלב ה: תחום סופי

…\boxed{\dots}

שלב ו: ערך מפורש אם מבקשים

אם זה גיאומטרי:

∑qn=11−q\sum q^n=\frac{1}{1-q}

ולכן:

f(x)=…\boxed{f(x)=\dots}
34.נוסח קצר לזכור בעל פה

טור חזקות:

∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n

מתכנס סביב המרכז (x0).(x_0).

יש רדיוס (R).

בתוך:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

מתכנס בהחלט.

בחוץ:

∣x−x0∣>R|x-x_0|>R

מתבדר.

בקצוות:

∣x−x0∣=R|x-x_0|=R

בודקים ידנית.

רדיוס מוצאים לרוב לפי:

R=1lim⁡∣an+1/an∣R=\frac{1}{\lim |a_{n+1}/a_n|}

או:

R=1lim⁡∣an∣nR=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{|a_n|}}

אם (L=0),(L=0), אז (R=(\mathbb{R}=\infty).

אם (L=(L=\infty), אז (R=0).(\mathbb{R}=0).

אם (0<L<(0<L<\infty), אז (R=(\mathbb{R}=\frac1L).

35.דף החלטה מהיר — מה לעשות כשאני רואה תרגיל?

אם רואה ((משהו)n))^n)

כנראה גיאומטרי.

להביא לצורה:

∑qn\sum q^n

ואז:

∣q∣<1,∑qn=11−q|q|<1,\quad \sum q^n=\frac1{1-q}

אם רואה (n!)

מבחן מנה.

אם רואה (nn),(n^n), או משהו בחזקת (n)

מבחן שורש.

אם רואה (\fracxnn),(frac{x^n}{n}), (\fracxnn2)frac{x^n}{n^2})

לרוב רדיוס (1), ואז קצוות חשובים.

אם מבקשים ערך מפורש

צריך להשתמש באחד מאלה:

∑qn=11−q\sum q^n=\frac1{1-q}

או לגזור/לאנטגרל טור ידוע.

36.נוסחאות זהב מההרצאה

טור גיאומטרי

∑n=0∞xn=11−x,∣x∣<1\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x},\quad |x|<1

נגזרת של גיאומטרי

∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2,∣x∣<1\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2},\quad |x|<1

אחרי כפל ב־(x)

∑n=1∞nxn=x(1−x)2,∣x∣<1\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2},\quad |x|<1

לוגריתם

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}

בתחום:

−1<x≤1-1<x\le 1

כי ב־(x=1)(x=1) מתקבל:

1−12+13−14+⋯=ln⁡21-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2

וב־(x=−1)(x=-1) מתקבל:

−∑1n-\sum\frac1n

שמתבדר.

אקספוננט

ex=∑n=0∞xnn!,x∈Re^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb{R}
37.סיכום־על במשפטים קצרים

  • טור חזקות הוא טור שתלוי ב־(x).

  • המרכז (x0)(x_0) הוא הנקודה שסביבה הטור בנוי.

  • הטור תמיד מתכנס במרכז.

  • תחום ההתכנסות הוא כל ערכי (x) שעבורם הטור מתכנס.

  • רדיוס התכנסות אומר כמה רחוק אפשר לזוז מהמרכז.

  • בתוך הרדיוס יש התכנסות בהחלט.

  • מחוץ לרדיוס יש התבדרות.

  • בקצוות חייבים לבדוק בנפרד.

  • בקצוות יכולים לקבל התכנסות בהחלט, בתנאי או התבדרות.

  • אם זה גיאומטרי, מזהים (q), דורשים (∣q∣<1),(|q|<1), והערך הוא (\frac1{1-q}).

  • אם יש (an),(a_n), משתמשים במנה או שורש.

  • אם (L=0),(L=0), אז (R=(\mathbb{R}=\infty).

  • אם (L=(L=\infty), אז (R=0).(\mathbb{R}=0).

  • אם (0<L<(0<L<\infty), אז (R=(\mathbb{R}=\frac1L).

  • גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות מותרות בתוך הרדיוס, והרדיוס נשאר אותו דבר.

  • התכנסות בתנאי יכולה לקרות רק בקצוות.

  • לא כותבים תחום סופי לפני בדיקת קצוות.

זה הסיכום המלא של תרגול 9 + המשפטים המרכזיים מההרצאה שצריך כדי להבין את התמונה.

צורת ana_n

מבחן מומלץ

an↛0a_n \not\to 0

תנאי הכרחי — מתבדר

(f(n))n(f(n))^n

שורש

ana^n בלבד

שורש או מנה

n!n!

מנה

nnn^n

שורש

P(n)/Q(n)P(n)/Q(n) (פולינומים)

השוואה גבולית ל-1/ndeg⁡Q−deg⁡P1/n^{\deg Q - \deg P}

1/(np)1/(n^p) ישיר

טור pp

f(n)f(n) שניתן לאינטגרל

אינטגרל

(−1)nbn(-1)^n b_n

מוחלטת קודם, אח"כ לייבניץ

אינטואיציה

בחרי מבחן לפי הצורה של ana_n — לא לפי מה שנוח. טעות נפוצה: להפעיל מנה כשיש nnn^n.

שלושת האפשרויות:

  • מוחלטת: ∑∣an∣<∞\sum |a_n| < \infty (← ∑an\sum a_n מתכנס).

  • מותנית: ∑an\sum a_n מתכנס אך ∑∣an∣=∞\sum |a_n| = \infty.

  • מתבדר: ∑an\sum a_n לא מתכנס.

אינטואיציה

מוחלטת = חזק. מותנית = חלש (רק בזכות ביטול). מתבדרת = אין התכנסות.

הערות חשובות

  • כשנשאלים 'האם מתכנס?' — ציינו מוחלטת/מותנית/מתבדר, לא רק כן/לא.

  • בבחינות לרוב מבקשים לסווג — לא רק לקבוע.

כשמבחן מנה או שורש נותנים L=1L = 1, המבחן לא חושף כלום. צריך מבחן אחר.

אינטואיציה

גם הטור המתכנס ∑1/n2\sum 1/n^2 וגם המתבדר ∑1/n\sum 1/n נותנים L=1L=1 במנה ובשורש. לכן L=1L=1 לא מסייע.

מתי להשתמש?

כשקיבלת L=1L=1: נסי השוואה גבולית, אינטגרל, או לפרק את ana_n ישירות.

דוגמה

∑1/n\sum 1/n: מנה: (n/(n+1))→1(n/(n+1)) \to 1. שורש: 1/nn=1/n1/n→1\sqrt[n]{1/n} = 1/n^{1/n} \to 1. שני המבחנים לא עוזרים — צריך השוואה / אינטגרל.

תרשים שבוע 9

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

טור חזקות סביב x₀

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

משפט הרדיוס

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

R=1/limsup∣a\mathbb{R} = 1/limsup|aₙ∣(1/n)|^(1/n)

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

גזירה/אינטגרציה של טור חזקות: R לא משתנה, הקצוות — בדקי מחדש

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 8 — חומר חדש

הגדרות

  • טור חזקות סביב x₀

  • רדיוס התכנסות R

משפטים

  • משפט הרדיוס

  • גזירת טור חזקות שומרת על R

  • אינטגרציה של טור חזקות

נוסחאות מפתח

R=1/limsup∣a\mathbb{R} = 1/limsup|aₙ∣(1/n)|^(1/n)

Σaₙxⁿ גזיר ← Σnaₙxⁿ⁻¹ עם אותו R

חשוב למבחן

רדיוס התכנסות — שאלה שכיחה

חשוב למבחן

גזירה/אינטגרציה טור — כלי לחישוב סכומים

מקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

✏️ תרגול

תרגול 9 · מתרגל הרצאה 8

עבודה עם טורי חזקות: חישוב רדיוס התכנסות, גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות, ופיתוח טורי טיילור של פונקציות בסיסיות.

טכניקות

  • רדיוס התכנסות — נוסחת המנה/שורש

  • גזירת טור חזקות

  • אינטגרציה של טור חזקות

  • טיילור/מקלורן

חובה לתרגל

  • חישוב R של ∑a∑aₙxⁿ

  • גזירה ואינטגרציה של ∑a∑aₙxⁿ

  • פיתוח eˣ, sinx,cosx,1/(1−x)sin x, cos x, 1/(1-x) לטורי מקלורן

  • חישוב סכום טור חזקות

טעויות נפוצות

  • גזירה/אינטגרציה שינוי R אך לא בדיקת קצוות מחדש

  • שכחה ש-R לא משתנה בגזירה/אינטגרציה, אבל הקצוות כן

  • טעויות בנוסחת המקדמים aₙ =f(n)(0)/n!= f^(n)(0)/n!

  • אז אני בטוח שאם הייתי נותן, הייתי עושה עכשיו איזשהו סקר, לא מעט סטודנטים היו חושבים שאיי 2 בטור הזה, זה מה שמתקבל כשמציבים אין שווה 2, וזה ממש לא נכון.

  • אם אזור 2 נמחק, אני לא יכול להעסיק שום דבר לאזור 3 במשפט הבל, והאמת שזה בכלל לא נכון כשער 1 שווה לער 2. אם אתם רוצים להמשיך לחקור את זה, תעשו בבית, אני לא אפתח את זה לדיון, אני רק אומר, זה לא נכון כשער 1 שווה לער 2. למה?

  • ואז אתה לא יכול להגיד במשפט הבל שבאזור שלו זה מתבדר ואז זה בכלל לא נכון. אפשר לחשוב על זה בבית. הבנתי, סבבה. אם אין לכם מספיק הוכח או הפרש, תרגישו שהתרגיל קצר מדי.

מסקנות

גזירה/אינטגרציה של טור חזקות: R לא משתנה, הקצוות — בדקי מחדש

טורי מקלורן עיקריים: עליך לשנן eˣ, sinx,cosx,ln(1+x),1/(1−x)sin x, cos x, ln(1+x), 1/(1-x)

📋 מטלה

אין ניתוח מטלה לשבוע זה

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הרצאה 8 · 19.5.26 — מבחן הסוגריים, טורי חזקות, תחום ההתכנסות
הגדרה — הוספת סוגריים לטור
תהיינה (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^\infty ו-(bk)k=1∞(b_k)_{k=1}^\infty שתי סדרות. נאמר שהטור ∑k=1∞bk\sum_{k=1}^\infty b_k התקבל מהטור ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n ע"י הוספת סוגריים אם קיימת סדרה עולה ממש (nk)k=1∞(n_k)_{k=1}^\infty של מספרים טבעיים כך ש:
(i) n1=1n_1 = 1;
(ii) לכל k≥1k \ge 1 מתקיים bk=ank+ank+1+ank+2+⋯+ank+1−1b_k = a_{n_k} + a_{n_k+1} + a_{n_k+2} + \cdots + a_{n_{k+1}-1}.
משפט 2 — מבחן הסוגריים
תהיינה (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^\infty ו-(bk)k=1∞(b_k)_{k=1}^\infty כך שהטור ∑k=1∞bk\sum_{k=1}^\infty b_k התקבל מהטור ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n ע"י הוספת סוגריים. נניח שהטור ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס. אזי גם ∑k=1∞bk\sum_{k=1}^\infty b_k מתכנס, ובנוסף
∑k=1∞bk=∑n=1∞an.\sum_{k=1}^\infty b_k = \sum_{n=1}^\infty a_n.
הוכחה
תהיינה (SN)(S_N) ו-(TK)(T_K) סדרות הסכומים החלקיים של ∑an\sum a_n ו-∑bk\sum b_k בהתאמה: SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^N a_n, TK=∑l=1KblT_K = \sum_{l=1}^K b_l. לכל K≥1K \ge 1, בעזרת n1=1n_1 = 1:
TK=b1+⋯+bK=(an1+⋯+an2−1)+(an2+⋯+an3−1)+⋯+(anK+⋯+anK+1−1)=a1+⋯+anK+1−1=SnK+1−1.T_K = b_1 + \cdots + b_K = (a_{n_1} + \cdots + a_{n_2-1}) + (a_{n_2} + \cdots + a_{n_3-1}) + \cdots + (a_{n_K} + \cdots + a_{n_{K+1}-1}) = a_1 + \cdots + a_{n_{K+1}-1} = S_{n_{K+1}-1}.

כלומר TK=ScKT_K = S_{c_K} עבור cK=nK+1−1c_K = n_{K+1}-1, והסדרה (cK)(c_K) עולה ממש של מספרים טבעיים (cK+1=nK+2−1>nK+1−1=cKc_{K+1} = n_{K+2}-1 > n_{K+1}-1 = c_K, ו-cK≥c1=n2−1>n1−1=0c_K \ge c_1 = n_2-1 > n_1-1 = 0 ולכן cK≥1c_K \ge 1). לכן (TK)(T_K) היא תת-סדרה של (SN)(S_N), ומאחר ש-lim⁡SN\lim S_N קיים, מהירושה lim⁡K→∞TK=lim⁡N→∞SN\lim_{K\to\infty} T_K = \lim_{N\to\infty} S_N, כלומר ∑bk=∑an\sum b_k = \sum a_n.
תרגיל 1 — התבדרות $1+\frac12-\frac13+\frac14+\frac15-\frac16+\cdots$
הוכיחו או הפריכו: הטור 1+12−13+14+15−16+⋯1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \cdots מתבדר.
הוכחה
נניח בשלילה שהטור מתכנס לסכום SS. ממבחן הסוגריים,
S=(1+12−13)+(14+15−16)+⋯=∑n=1∞(13n−2+13n−1−13n)=∑n=1∞9n2−2(3n−2)(3n−1)⋅3n.S = \left(1 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3}\right) + \left(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{6}\right) + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \left( \tfrac{1}{3n-2} + \tfrac{1}{3n-1} - \tfrac{1}{3n} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{9n^2-2}{(3n-2)(3n-1)\cdot 3n}.

ממבחן ההשוואה הגבולי עם bn=1nb_n = \frac{1}{n}: L=lim⁡n→∞n(9n2−2)(3n−2)(3n−1)⋅3n=927=13≠0L = \lim_{n\to\infty}\frac{n(9n^2-2)}{(3n-2)(3n-1)\cdot 3n} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} \ne 0. מאחר ש-∑1n\sum \frac{1}{n} מתבדר, גם הטור עם הסוגריים מתבדר — בסתירה לכך שהטור המקורי מתכנס (כי אז ממבחן הסוגריים הטור עם הסוגריים היה מתכנס). לכן הטור המקורי מתבדר.
תרגיל 2 — השמטת אפסים אינה משנה התכנסות
תהיינה (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^\infty ו-(bn)n=1∞(b_n)_{n=1}^\infty כך שלכל nn מתקיים bn={akn=2k−10n=2kb_n = \begin{cases} a_k & n = 2k-1 \\ 0 & n = 2k \end{cases}. הוכיחו ש-∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס אם"ם ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס, ובמקרה זה ∑bn=∑an\sum b_n = \sum a_n.
הוכחה
(⇐\Leftarrow) נניח ∑an=S\sum a_n = S. תהי (SN)(S_N) סדרת הסכומים החלקיים של ∑bn\sum b_n. אזי
S2N=b1+⋯+b2N=a1+0+a2+0+⋯+aN+0=∑n=1Nan,S_{2N} = b_1 + \cdots + b_{2N} = a_1 + 0 + a_2 + 0 + \cdots + a_N + 0 = \sum_{n=1}^N a_n,

ולכן lim⁡S2N=S\lim S_{2N} = S. כמו כן S2N−1=a1+⋯+aN=∑n=1NanS_{2N-1} = a_1 + \cdots + a_N = \sum_{n=1}^N a_n, ולכן lim⁡S2N−1=S\lim S_{2N-1} = S. שתי תת-הסדרות שואפות ל-SS, ולכן lim⁡SN=S\lim S_N = S, כלומר ∑bn=S\sum b_n = S.
(⇒\Rightarrow) נניח ∑bn=S\sum b_n = S. אזי, ע"י הוספת סוגריים, ∑an=(a1+0)+(a2+0)+⋯=(b1+b2)+(b3+b4)+⋯=b1+b2+b3+⋯=S\sum a_n = (a_1 + 0) + (a_2 + 0) + \cdots = (b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \cdots = b_1 + b_2 + b_3 + \cdots = S (ממבחן הסוגריים).
הגדרה — טור חזקות
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R}. טור חזקות סביב x0x_0 הוא טור מהצורה
∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯ ,\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots,

כאשר (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה של מספרים ממשיים ו-x∈Rx \in \mathbb{R}.
הגדרה — תחום ההתכנסות
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ותהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה. תחום ההתכנסות של טור החזקות ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n הוא קבוצת כל ערכי ה-x∈Rx \in \mathbb{R} שעבורם הטור מתכנס.
הערה 1 — טור חזקות מתכנס תמיד ב-$x_0$
טור החזקות ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n מתכנס תמיד בנקודה x0x_0 עצמה (לערך a0a_0), ולכן תחום ההתכנסות אינו ריק. אכן,
∑n=0∞an(x0−x0)n=a0+0+0+⋯=a0.\sum_{n=0}^\infty a_n(x_0-x_0)^n = a_0 + 0 + 0 + \cdots = a_0.
תרגיל 3 — תחום וסכום של $\sum (x+1)^{2n}$
מצאו את תחום ההתכנסות של ∑n=0∞(x+1)2n\sum_{n=0}^\infty (x+1)^{2n} וחשבו את סכום הטור באותו תחום.
הוכחה
בהצבה t=(x+1)2t = (x+1)^2: ∑n=0∞(x+1)2n=∑n=0∞tn\sum_{n=0}^\infty (x+1)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty t^n, ומכאן הטור מתכנס אם"ם (x+1)2=∣t∣<1(x+1)^2 = |t| < 1, כלומר ∣x+1∣<1|x+1| < 1, כלומר −2<x<0-2 < x < 0. בתחום זה,
∑n=0∞(x+1)2n=∑n=0∞tn=11−t=11−(x+1)2.\sum_{n=0}^\infty (x+1)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty t^n = \frac{1}{1-t} = \frac{1}{1-(x+1)^2}.
משפט 2 (אבל) — משפט אבל
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ותהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה של מספרים ממשיים. יהיו x1,x2∈Rx_1, x_2 \in \mathbb{R} כך ש-∣x2−x0∣<∣x1−x0∣|x_2 - x_0| < |x_1 - x_0|. נניח שטור החזקות ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n מתכנס בנקודה x=x1x = x_1. אזי הטור מתכנס בהחלט בנקודה x=x2x = x_2.
הוכחה
מאחר ש-∑an(x1−x0)n\sum a_n(x_1-x_0)^n מתכנס, מהתנאי ההכרחי lim⁡n→∞an(x1−x0)n=0\lim_{n\to\infty} a_n(x_1-x_0)^n = 0, ולכן קיים N1N_1 כך שלכל n≥N1n \ge N_1 מתקיים ∣an∣∣x1−x0∣n=∣an(x1−x0)n−0∣<1|a_n||x_1-x_0|^n = |a_n(x_1-x_0)^n - 0| < 1 (∗)(*). נסמן q=∣x2−x0∣∣x1−x0∣q = \frac{|x_2-x_0|}{|x_1-x_0|}; מאחר ש-∣x2−x0∣<∣x1−x0∣|x_2-x_0| < |x_1-x_0|, מתקיים 0≤q<10 \le q < 1. אזי
∑n=N1∞∣an(x2−x0)n∣=∑n=N1∞∣an∣∣x1−x0∣n⋅∣x2−x0∣n∣x1−x0∣n  ≤(∗)  ∑n=N1∞(∣x2−x0∣∣x1−x0∣)n=∑n=N1∞qn<∞\sum_{n=N_1}^\infty |a_n(x_2-x_0)^n| = \sum_{n=N_1}^\infty |a_n||x_1-x_0|^n \cdot \frac{|x_2-x_0|^n}{|x_1-x_0|^n} \;\underset{(*)}{\le}\; \sum_{n=N_1}^\infty \left( \frac{|x_2-x_0|}{|x_1-x_0|} \right)^n = \sum_{n=N_1}^\infty q^n < \infty

(הטור ההנדסי מתכנס כי 0≤q<10 \le q < 1). לכן ∑∣an(x2−x0)n∣<∞\sum |a_n(x_2-x_0)^n| < \infty, כלומר הטור מתכנס בהחלט ב-x2x_2.
הגדרה — רדיוס ההתכנסות
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ויהי ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות. רדיוס ההתכנסות של הטור מוגדר ע"י
R=sup⁡{r≥0:הטור מתכנס לכל x∈[x0−r,x0+r]}.R = \sup\{ r \ge 0 : \text{הטור מתכנס לכל } x \in [x_0-r, x_0+r] \}.
הערה 2 — $R$ מוגדר היטב
מאחר שהטור מתכנס ב-x0x_0 (הערה 1), הוא מתכנס לכל x∈[x0−0,x0+0]x \in [x_0-0, x_0+0], ולכן 00 שייך לקבוצה שבהגדרה והקבוצה אינה ריקה. לכן RR מוגדר היטב (ייתכן R=∞R = \infty).
משפט 3 — התכנסות טור חזקות לפי רדיוס ההתכנסות
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ותהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה, ויהי RR רדיוס ההתכנסות של ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. אזי:
(i) אם R=∞R = \infty — הטור מתכנס בהחלט לכל x∈Rx \in \mathbb{R};
(ii) אם R=0R = 0 — הטור מתבדר לכל x≠x0x \ne x_0 (ומתכנס ב-x0x_0);
(iii) אם 0<R<∞0 < R < \infty — הטור מתכנס בהחלט אם ∣x−x0∣<R|x-x_0| < R, ומתבדר אם ∣x−x0∣>R|x-x_0| > R (ושם lim⁡an(x−x0)n≠0\lim a_n(x-x_0)^n \ne 0). עבור ∣x−x0∣=R|x-x_0| = R — לא קובע, יש לבדוק כל קצה בנפרד.
הוכחה
המשפט לא הוכח בהרצאה (ההוכחה נשענת על משפט אבל).
מסקנה 1 — צורת תחום ההתכנסות
תחום ההתכנסות של טור חזקות יכול להיות בעל אי-ודאות רק בנקודות הקצה x0±Rx_0 \pm R. בפנים (∣x−x0∣<R|x-x_0| < R) הטור תמיד מתכנס ובחוץ (∣x−x0∣>R|x-x_0| > R) תמיד מתבדר, ולכן תחום ההתכנסות הוא אחד מהקטעים (x0−R,x0+R)(x_0-R, x_0+R), [x0−R,x0+R)[x_0-R, x_0+R), (x0−R,x0+R](x_0-R, x_0+R], [x0−R,x0+R][x_0-R, x_0+R].
תרגיל 4 — תחום ההתכנסות של $\sum \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$
מצאו את תחום ההתכנסות של ∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}.
הוכחה
כאן x0=0x_0 = 0. בנקודה x=1x = 1: ∑(−1)n+1n=1−12+13−⋯\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots — הטור ההרמוני המתחלף, מתכנס (לייבניץ). לכן R=1R = 1. בנקודה x=−1x = -1: ∑(−1)n+1(−1)nn=∑(−1)2n+1n=−∑1n=−∞\sum \frac{(-1)^{n+1}(-1)^n}{n} = \sum \frac{(-1)^{2n+1}}{n} = -\sum \frac{1}{n} = -\infty (מתבדר). לכן תחום ההתכנסות הוא (−1,1](-1, 1].
תרגיל 5 — תחום ההתכנסות של $\sum \frac{x^n}{n!}$
מצאו את תחום ההתכנסות של ∑n=0∞xnn!=10!+x1!+x22!+⋯\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots.
הוכחה
לכל xx קבוע, ממבחן המנה:
lim⁡n→∞∣x∣n+1/(n+1)!∣x∣n/n!=lim⁡n→∞∣x∣n+1=0<1.\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n+1}/(n+1)!}{|x|^n/n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1} = 0 < 1.

לכן הטור מתכנס בהחלט לכל x∈Rx \in \mathbb{R}, R=∞R = \infty, ותחום ההתכנסות הוא (−∞,∞)=R(-\infty, \infty) = \mathbb{R}.
תרגיל 6 — תחום ההתכנסות של $\sum n^n x^n$
מצאו את תחום ההתכנסות של ∑n=1∞nnxn=x+22x2+33x3+⋯\sum_{n=1}^\infty n^n x^n = x + 2^2 x^2 + 3^3 x^3 + \cdots.
הוכחה
עבור x≠0x \ne 0: lim⁡n→∞∣nnxn∣=lim⁡n→∞(n∣x∣)n=∞≠0\lim_{n\to\infty}|n^n x^n| = \lim_{n\to\infty}(n|x|)^n = \infty \ne 0, ולכן מהתנאי ההכרחי הטור מתבדר. לכן R=0R = 0 ותחום ההתכנסות הוא {0}\{0\}.
משפט 4 — נוסחת קושי-אדמר (מבחן השורש)
(קושי-אדמר) תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ותהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה, ויהי RR רדיוס ההתכנסות של ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. נניח שקיים הגבול L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. אזי:
(i) אם L=0L = 0 אז R=∞R = \infty;
(ii) אם L=∞L = \infty אז R=0R = 0;
(iii) אם 0<L<∞0 < L < \infty אז R=1LR = \frac{1}{L}.
הוכחה
נשתמש במבחן השורש על הטור ∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n, שעבורו ∣an(x−x0)n∣n=∣an∣n⋅∣x−x0∣→L∣x−x0∣\sqrt[n]{|a_n(x-x_0)^n|} = \sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0| \to L|x-x_0|.
**(i) L=0L=0:** לכל xx, lim⁡∣an(x−x0)n∣n=L∣x−x0∣=0<1\lim \sqrt[n]{|a_n(x-x_0)^n|} = L|x-x_0| = 0 < 1, ולכן ממבחן השורש הטור מתכנס בהחלט לכל x∈Rx \in \mathbb{R}, כלומר R=∞R = \infty.
**(ii) L=∞L=\infty:** לכל x≠x0x \ne x_0, lim⁡∣an(x−x0)n∣n=L∣x−x0∣=∞\lim \sqrt[n]{|a_n(x-x_0)^n|} = L|x-x_0| = \infty, ולכן קיים N1N_1 שממנו ∣an(x−x0)n∣≥1|a_n(x-x_0)^n| \ge 1, כך ש-lim⁡an(x−x0)n≠0\lim a_n(x-x_0)^n \ne 0 והטור מתבדר; R=0R = 0.
**(iii) 0<L<∞0 < L < \infty:** נסמן R1=1LR_1 = \frac{1}{L}. אם ∣x−x0∣<R1|x-x_0| < R_1: lim⁡∣an(x−x0)n∣n=L∣x−x0∣=∣x−x0∣R1<1\lim \sqrt[n]{|a_n(x-x_0)^n|} = L|x-x_0| = \frac{|x-x_0|}{R_1} < 1, ולכן מתכנס בהחלט. אם ∣x−x0∣>R1|x-x_0| > R_1: הגבול =∣x−x0∣R1>1= \frac{|x-x_0|}{R_1} > 1, ולכן lim⁡an(x−x0)n≠0\lim a_n(x-x_0)^n \ne 0 והטור מתבדר. לכן R=R1=1LR = R_1 = \frac{1}{L}.
מסקנה 3 — סימון מקוצר לרדיוס
נרשם בקיצור
R=lim⁡n→∞1∣an∣n,R = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}},

בהתאמה ש-1∞=0\frac{1}{\infty} = 0 ו-10+=∞\frac{1}{0^+} = \infty.
משפט 5 — נוסחת המנה לרדיוס ההתכנסות
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ותהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה, ויהי RR רדיוס ההתכנסות של ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. נניח שקיים הגבול L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|. אזי:
(i) אם L=0L = 0 אז R=∞R = \infty;
(ii) אם L=∞L = \infty אז R=0R = 0;
(iii) אם 0<L<∞0 < L < \infty אז R=1LR = \frac{1}{L}.
הוכחה
כמו הוכחת משפט 4, בעזרת מבחן המנה (במקום מבחן השורש) על ∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n.
תרגיל 7 — תחום ההתכנסות של $\sum \frac{2^n(x+1)^n}{n}$
מצאו את תחום ההתכנסות של ∑n=1∞2n(x+1)nn\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n(x+1)^n}{n}.
הוכחה
כאן x0=−1x_0 = -1. מנוסחת קושי-אדמר,
R=1lim⁡n→∞∣an∣n=1lim⁡n→∞2nnn=1lim⁡n→∞2nn=12.R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{n}}} = \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt[n]{n}}} = \frac{1}{2}.

נבדוק את הקצוות. ב-x=−1+12=−12x = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}: ∑2n(1/2)nn=∑1n=∞\sum \frac{2^n (1/2)^n}{n} = \sum \frac{1}{n} = \infty (מתבדר). ב-x=−32x = -\frac{3}{2} (כלומר x+1=−12x+1 = -\frac{1}{2}): ∑2n(−1/2)nn=∑(−1)nn=−∑(−1)n+1n\sum \frac{2^n(-1/2)^n}{n} = \sum \frac{(-1)^n}{n} = -\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} — מתכנס (הרמוני מתחלף, לייבניץ). לכן תחום ההתכנסות הוא [−32,−12)\left[ -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right).
תרגיל 8 — תחום ההתכנסות של $\sum \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$
מצאו את תחום ההתכנסות של ∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}.
הוכחה
ב-x=1x = 1: ∑(−1)n2n+1=1−13+15−⋯\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots מתכנס (טור מתחלף, לייבניץ). ב-x=−1x = -1: ∑(−1)n2n+1(−1)2n+1=−∑(−1)n2n+1\sum \frac{(-1)^n}{2n+1}(-1)^{2n+1} = -\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} מתכנס (גם כן מתחלף). לכן תחום ההתכנסות הוא [−1,1][-1, 1].

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

Week 9

שבוע 9

טורי חזקות + רדיוס התכנסות

תרגול 9

תובנות שבועיות

9
שבוע 9תרגול 9 · טורי חזקות + רדיוס התכנסות
פתח

  • R=1/lim sup⁡∣an∣1/nR = 1/\limsup |a_n|^{1/n} — או עם נוסחת המנה.

  • בתוך הרדיוס (∣x−x0∣<R|x-x_0|<R): מתכנס בהחלט תמיד.

  • בקצוות (∣x−x0∣=R|x-x_0|=R): יש לבדוק כל קצה בנפרד — יכול להיות כל מצב.

  • גזירה/אינטגרציה: RR לא משתנה, אבל את הקצוות צריך לבדוק מחדש.

  • טורי מקלורן: ex=∑xnn!e^x = \sum \frac{x^n}{n!},  sin⁡x=∑(−1)nx2n+1(2n+1)!\ \sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},  cos⁡x=∑(−1)nx2n(2n)!\ \cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},  ln⁡(1+x)=∑(−1)n+1xnn\ \ln(1+x) = \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n},  11−x=∑xn\ \frac{1}{1-x} = \sum x^n.

טעויות נפוצות

שכחת בדיקת קצוות בתחום ההתכנסות

שבוע 9

תמיד לבדוק את הקצוות בנפרד — יכול להיות כל מצב שם.

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

מינוס 11. מינוס 11, מצוין. בוא נשאל עוד שאלה למשל, מה זה ה-22 פה?

2
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

אם אני מציב n=1n = 1, אני אקבל (−1)1−1⋅x1+151−2\frac{(-1)^{1-1} \cdot x^{1+1}}{5^{1-2}}.

3
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

a2a_2 זה המקדם של xx בריבוע, או במקרה הזה (x+1)(x+1) בריבוע. אין פה (x+1)(x+1) בריבוע, שזה אומר מיידית ש־a2a_2 הוא 00. ואם תשאלו אותי מה זה,

4
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

זה a1a_1. ואם תשאלו אותי מה זה, זה a3a_3. ומה זה a4a_4? ברור 00, אין מה לחשוב, אין פה חזקות זוגיות בכלל. אם אין פה חזקות זוגיות, זה אומר שהמקדם הוא פשוט 00.

5
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

# מינוס 1. מצוין.

כל מי שחשב בראש ש11 וטעה, אני אגיד לכם למה טעיתם אם חשבתם 11. כי a2a_2 זה לא מה שמתקבל כשאני מציב n=2n = 2.

6
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

an=2a_n = 2 זה המקדם של x2x^2, x2x^2 פה מתקבל כשאני מציב n=1n = 1, כשאני מציב n=1n = 1 זה x2x^2 ופה כתוב (−1)1(-1)^1 שזה −1-1.

7
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

אז זה וואלה, זה אחד משפט באינפי. זה הוכחה מורכבת, זה משפט כבד. האם זה מה שקרה פה? ממש לא. לא, פשוט נתת שם חדש. בדיוק, חבר'ה, זה מי שאמר סימון, אהבתי.

8
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

יש לי פה פרמטר, אני קורא לו בשם אחר. ואני חושב שדוגמה טובה לזה, אני אראה לכם את זה למשל למטה פה. נגיד מישהו יגיד לכם את השאלה הבאה, קבעו עבור אילו ערכי α\alpha הטור הזה מתכנס.

שבוע 8שבוע 10