∑
26
810
שבועותשבוע 9
📄 סיכום שבוע

שבוע 9

טורי טיילור ומקלורן

טור טיילורטור מקלורןשאריותפיתוח פונקציות בסיסיות
📖

הרצאה 9

חומר חדש

→
✏️

תרגול 9

מתרגל הרצאה 8

→
📋

מטלה 9

תרגול 9 + הרצאה 8

סיכום שבוע 9

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • גזירה/אינטגרציה של טור חזקות: R לא משתנה, הקצוות — בדקי מחדש

  • טורי מקלורן עיקריים: עליך לשנן eˣ, sin x, cos x, ln(1+x), 1/(1-x)

טעויות נפוצות

  • גזירה/אינטגרציה שינוי R אך לא בדיקת קצוות מחדש

  • שכחה ש-R לא משתנה בגזירה/אינטגרציה, אבל הקצוות כן

  • טעויות בנוסחת המקדמים aₙ = f^(n)(0)/n!

כלים מרכזיים

  • רדיוס התכנסות — נוסחת המנה/שורש

  • גזירת טור חזקות

  • אינטגרציה של טור חזקות

  • טיילור/מקלורן

  • חישוב R של ∑aₙxⁿ

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 9

בכל שאלת טור: (1) $a_n \to 0$? (2) $a_n \ge 0$? אם כן — מנה/שורש/השוואה. אם $(-1)^n$ — מוחלטת קודם, אחר-כך לייבניץ.

מה לחזור קודם

  • כל מבחני ההתכנסות

  • התכנסות מוחלטת ומותנית

  • הגדרת 'מתכנס', 'מתבדר', 'מוחלטת', 'מותנית'

חובה לשנן

  • ∑1/n\sum 1/n מתבדר

  • ∑1/n2\sum 1/n^2 מתכנס

  • ∑(−1)n+1/n\sum (-1)^{n+1}/n מתכנס מותנית (לייבניץ)

  • סדר עדיפות בדיקות: תנאי הכרחי → מוחלטת → לייבניץ → השוואה

כלים מרכזיים

  • תנאי הכרחי

  • מבחן מנה/שורש

  • מבחן השוואה / גבול השוואה

  • לייבניץ

טעויות נפוצות

  • לא לזהות שיש לייבניץ (לא בדקו את (−1)n(-1)^n)

  • לבלבל בין מבחנים שפועלים רק לאי-שליליים

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    חזרה על כל ההגדרות: מתכנס, מתבדר, מוחלטת, מותנית

  2. 2

    תרגול: זיהוי המבחן הנכון לפי מבנה ana_n

  3. 3

    דוגמאות על מבחן המנה והשורש יחד

  4. 4

    דוגמאות על לייבניץ + מוחלטת

  5. 5

    שאלות 'שאלות מעורבות' — בחירת מבחן

סיכום שבוע 9

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

להבין טורי חזקות: תחום התכנסות, רדיוס התכנסות, בדיקת קצוות וערך מפורש ללא סיגמה.

העיקרון המוביל

בטור חזקות קודם מוצאים את האזור הפנימי בעזרת רדיוס, ואז בודקים את הקצוות ידנית בטור המקורי.

בנוי על: טורים גיאומטריים, מבחן מנה, מבחן שורש, טורי $p$, לייבניץ והתכנסות מוחלטת

סיכום מלא

תרגול 9 — טורי חזקות

כן. הנה סיכום מלא, עמוס, מסודר ומפורט של תרגול 9 — טורי חזקות, עם משפטים חשובים מההרצאה כשצריך. זה בנוי כמו דף למידה: הגדרות, אינטואיציה, משפטים, דרך עבודה, דוגמאות, הערות וטעויות נפוצות.

סיכום מלא — תרגול 9: טורי חזקות

הנושא המרכזי בתרגול 9 הוא טורי חזקות: איך מזהים אותם, מה זה תחום התכנסות, מה זה רדיוס התכנסות, איך מוצאים אותו, איך בודקים קצוות, ואיך מוצאים ערך מפורש ללא סימן סיגמה. בתרגול מופיע במפורש שטור חזקות הוא מהצורה (\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n), ותחום ההתכנסות הוא קבוצת כל ערכי (x) שעבורם הטור מתכנס.

1. מה זה טור חזקות?

טור חזקות הוא טור מהצורה:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n

כלומר:

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+⋯a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots

פירוש הסימונים

סימון

משמעות

(x)

המשתנה שאנחנו מציבים בו ערכים

(x_0)

מרכז הטור

(a_n)

המקדמים של הטור

((x-x_0)^n)

החלק שהופך את הטור לטור חזקות

(\sum)

סכימה אינסופית

אינטואיציה

בטור רגיל, למשל:

∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

אין משתנה (x). זה פשוט טור מספרי.

אבל בטור חזקות יש (x). לכן אותו טור יכול להתכנס עבור ערך אחד של (x), ולהתבדר עבור ערך אחר.

לדוגמה:

∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty}x^n

אם (x=\frac12):

1+12+14+18+⋯1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots

מתכנס.

אם (x=2):

1+2+4+8+⋯1+2+4+8+\cdots

מתבדר.

אם (x=-1):

1−1+1−1+⋯1-1+1-1+\cdots

מתבדר, כי האיבר הכללי לא שואף ל־0.

לכן השאלה המרכזית בטורי חזקות היא:

עבור אילו ערכי (x) הטור מתכנס?

2. מרכז הטור (x_0)

בטור:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n

המספר (x_0) נקרא מרכז הטור.

איך מזהים את המרכז?

מסתכלים על הביטוי שבתוך הסוגריים.

דוגמאות

∑n=0∞an(x−5)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-5)^n

כאן:

x0=5x_0=5

כי כתוב (x-5).

∑n=0∞an(x+2)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x+2)^n

כאן:

x+2=x−(−2)x+2=x-(-2)

ולכן:

x0=−2x_0=-2
∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

כאן:

x=x−0x=x-0

ולכן:

x0=0x_0=0

הערה חשובה

אם אין סוגריים, כלומר כתוב פשוט (x^n), המרכז הוא תמיד:

x0=0x_0=0

3. למה טור חזקות תמיד מתכנס במרכז?

בטור:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n

אם מציבים:

x=x0x=x_0

מקבלים:

(x0−x0)n=0n(x_0-x_0)^n=0^n

ולכן כל האיברים עם (n\ge 1) מתאפסים.

נשאר רק:

a0a_0

כלומר הטור מתכנס לערך (a_0). זה מופיע בתרגול: הטור מתכנס תמיד בנקודה (x=x_0) לערך (a_0).

אינטואיציה

המרכז הוא המקום הכי “בטוח” של הטור.

שם כל החזקות מתאפסות, אז אין באמת סכימה אינסופית בעייתית.

4. תחום התכנסות

תחום ההתכנסות הוא:

x∈R:∑n=0∞an(x−x0)n מתכנס{x\in\mathbb{R}:\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \text{ מתכנס}}

במילים:

כל ערכי (x) שעבורם הטור מתכנס.

דוגמה בסיסית

∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty}x^n

זה טור גיאומטרי עם:

q=xq=x

טור גיאומטרי:

∑n=0∞qn\sum_{n=0}^{\infty}q^n

מתכנס אם ורק אם:

∣q∣<1|q|<1

לכן:

∣x∣<1|x|<1

כלומר:

−1<x<1-1<x<1

אז תחום ההתכנסות הוא:

(−1,1)(-1,1)

5. רדיוס התכנסות (R)

לכל טור חזקות יש רדיוס התכנסות (R), כאשר:

0≤R≤∞0\le R\le \infty

הרדיוס אומר כמה רחוק אפשר לזוז מהמרכז ועדיין להיות באזור שבו הטור מתכנס.

לפי תרגול 9, לכל טור חזקות יש רדיוס התכנסות כך שהטור מתכנס בהחלט בתוך הקטע ((x_0-R,x_0+R)), מתבדר מחוץ לקטע ([x_0-R,x_0+R]), ורק בקצוות צריך לבדוק בנפרד.

בצורה פשוטה

אם המרכז הוא (x_0), אז:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

זה האזור שבו הטור מתכנס בהחלט.

כלומר:

x0−R<x<x0+Rx_0-R<x<x_0+R

שלושה מצבים אפשריים לרדיוס

מצב 1: (0<R<\infty)

יש קטע פנימי:

(x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)

בתוכו הטור מתכנס בהחלט.

מחוץ לו הטור מתבדר.

בקצוות צריך לבדוק בנפרד:

x=x0−R,x=x0+Rx=x_0-R,\quad x=x_0+R

מצב 2: (R=\infty)

הטור מתכנס לכל (x\in\mathbb{R}).

אין קצוות לבדוק.

תחום ההתכנסות:

(−∞,∞)(-\infty,\infty)

מצב 3: (R=0)

הטור מתכנס רק במרכז:

x=x0x=x_0

תחום ההתכנסות:

x0{x_0}

6. מה קורה בקצוות?

אם מצאנו (R), אז יש לנו שני קצוות:

x=x0−Rx=x_0-R

ו־

x=x0+Rx=x_0+R

בפנים — מתכנס בהחלט.

בחוץ — מתבדר.

בקצוות — לא יודעים אוטומטית.

בתרגול כתוב שהנקודות היחידות שבהן הטור עשוי להתכנס בתנאי הן בקצוות, ושבכל תרגיל צריך לבדוק את הקצוות בנפרד.

למה צריך לבדוק קצוות?

כי המשפט נותן התכנסות רק כאשר:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

אבל בקצה מתקיים:

∣x−x0∣=R|x-x_0|=R

וזה לא כלול במשפט.

7. שיטת עבודה מלאה למציאת תחום התכנסות

כאשר נתון טור חזקות:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

עובדים כך:

שלב 1: מזהים את המרכז

מסתכלים על הביטוי:

(x−x0)n(x-x_0)^n

ומזהים את (x_0).

שלב 2: מזהים את (a_n)

זה המקדם של החזקה.

לדוגמה:

∑n=1∞(x−3)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n}

כאן:

x0=3x_0=3

ו־

an=1na_n=\frac{1}{n}

שלב 3: מוצאים רדיוס (R)

יש שלוש דרכים נפוצות:

  1. טור גיאומטרי — מזהים (q).

  2. נוסחת המנה.

  3. נוסחת השורש.

שלב 4: כותבים את הקטע הפנימי

(x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)

שלב 5: בודקים קצוות בנפרד

מציבים כל קצה בטור המקורי.

לא בטור אחרי חישוב רדיוס, אלא בטור המקורי.

שלב 6: כותבים תחום סופי

בהתאם לקצוות:

מצב

תחום

שני הקצוות לא נכנסים

((x_0-R,x_0+R))

שמאל נכנס, ימין לא

([x_0-R,x_0+R))

שמאל לא, ימין נכנס

((x_0-R,x_0+R])

שניהם נכנסים

([x_0-R,x_0+R])

8. נוסחת המנה לרדיוס

אם יש:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

ומחשבים:

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

אז:

R=R=
\begin{cases}
\infty & L=0\
0 & L=\infty\
\frac{1}{L} & 0<L<\infty
\end{cases}

זה מופיע בתרגול 9 בתור נוסחת המנה לרדיוס, יחד עם נוסחת השורש.

מתי נשתמש במנה?

נוח להשתמש במבחן מנה כאשר (a_n) כולל:

  • עצרות (n!)

  • חזקות כמו (3^n)

  • מכפלות

  • ביטויים שהיחס (a_{n+1}/a_n) מצטמצם יפה

דוגמה

∑n=1∞(x−2)n5n\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{5^n}

כאן:

x0=2x_0=2
an=15na_n=\frac{1}{5^n}

נחשב:

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
an+1=15n+1a_{n+1}=\frac{1}{5^{n+1}}

ולכן:

an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}
15n+115n\frac{\frac{1}{5^{n+1}}}{\frac{1}{5^n}}
15n+1⋅5n\frac{1}{5^{n+1}}\cdot 5^n
15\frac{1}{5}

אז:

L=15L=\frac15

ולכן:

R=1L=5R=\frac{1}{L}=5

הקטע הפנימי:

(2−5,2+5)=(−3,7)(2-5,2+5)=(-3,7)

עכשיו בודקים קצוות:

x=−3,x=7x=-3,\quad x=7

9. נוסחת השורש לרדיוס — קושי־הדמר

אם יש:

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

ומחשבים:

L=lim⁡n→∞∣an∣nL=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

אז:

R=R=
\begin{cases}
\infty & L=0\
0 & L=\infty\
\frac{1}{L} & 0<L<\infty
\end{cases}

גם זה מופיע בתרגול 9.

מתי נשתמש בשורש?

נוח להשתמש בשורש כאשר (a_n) כבר נמצא בחזקת (n), למשל:

an=(23)na_n=\left(\frac{2}{3}\right)^n

או:

an=nna_n=n^n

או:

an=1nna_n=\frac{1}{n^n}

10. טור גיאומטרי בתוך טור חזקות

הרבה תרגילים בתרגול 9 נפתרים פשוט על ידי זיהוי טור גיאומטרי.

טור גיאומטרי הוא:

∑n=0∞qn\sum_{n=0}^{\infty}q^n

והוא מתכנס אם ורק אם:

∣q∣<1|q|<1

ובמקרה כזה:

∑n=0∞qn=11−q\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}

דוגמה 1: הטור (\sum (-1)^n x^{2n})

נתון:

∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}

מסדרים:

x2n=(x2)nx^{2n}=(x^2)^n

ולכן:

(−1)nx2n(-1)^n x^{2n}
(−1)n(x2)n(-1)^n(x^2)^n
(−x2)n(-x^2)^n

אז:

∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}
∑n=0∞(−x2)n\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n

זה טור גיאומטרי עם:

q=−x2q=-x^2

מתכנס אם:

∣−x2∣<1|-x^2|<1

כלומר:

x2<1x^2<1

ולכן:

−1<x<1-1<x<1

הערך המפורש:

∑n=0∞(−x2)n\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n
11−(−x2)\frac{1}{1-(-x^2)}
11+x2\frac{1}{1+x^2}

לכן:

∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}
11+x2,−1<x<1\frac{1}{1+x^2},\quad -1<x<1

דוגמה 2 מהתרגול: (\sum \frac{(2x+3)^{2n}}{4^{2n}})

בתרגול 9 מסדרים את הטור הזה כטור גיאומטרי:

∑n=0∞(2x+3)2n42n\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x+3)^{2n}}{4^{2n}}

נסדר:

(2x+3)2n42n\frac{(2x+3)^{2n}}{4^{2n}}
(2x+34)2n\left(\frac{2x+3}{4}\right)^{2n}

עכשיו:

(2x+34)2n\left(\frac{2x+3}{4}\right)^{2n}
[(2x+34)2]n\left[\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2\right]^n

לכן:

q=(2x+34)2q=\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2

הטור מתכנס אם:

∣q∣<1|q|<1

כלומר:

∣(2x+34)2∣<1\left|\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2\right|<1

מאחר שריבוע הוא תמיד אי־שלילי:

(2x+34)2<1\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2<1

פותחים:

−1<2x+34<1-1<\frac{2x+3}{4}<1

כופלים ב־4:

−4<2x+3<4-4<2x+3<4

מחסרים 3:

−7<2x<1-7<2x<1

מחלקים ב־2:

−72<x<12-\frac72<x<\frac12

כלומר:

−3.5<x<0.5-3.5<x<0.5

בתרגול מציינים שהמרכז הוא:

x0=−1.5x_0=-1.5

ולכן הרדיוס הוא:

R=2R=2

הערך המפורש:

11−(2x+34)2\frac{1}{1-\left(\frac{2x+3}{4}\right)^2}

בתרגול זו בדיוק הדוגמה שבה מוצאים גם את התחום וגם את הערך ללא סיגמה.

11. איך מזהים שזה גיאומטרי?

תחפשי משהו מהצורה:

(משהו שתלוי ב־x)n(\text{משהו שתלוי ב־}x)^n

או משהו שאפשר לסדר לצורה הזאת.

סימנים מחשידים

ביטוי

מה עושים

(x^{2n})

כותבים ((x^2)^n)

((x+1)^{2n})

כותבים (((x+1)^2)^n)

((-1)^nx^n)

כותבים ((-x)^n)

(\frac{x^n}{3^n})

כותבים ((\frac{x}{3})^n)

(\frac{(2x+3)^{2n}}{4^{2n}})

כותבים (\left((\frac{2x+3}{4})^2\right)^n)

12. קצוות — איך בודקים בפועל?

אחרי שמצאת רדיוס, את מציבה את הקצוות בטור המקורי.

דוגמה מלאה

∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}

כאן:

x0=0x_0=0
an=1na_n=\frac1n

נוסחת מנה:

L=lim⁡n→∞an+1anL=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
lim⁡n→∞1n+11n\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac1n}
lim⁡n→∞nn+1\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}
11

לכן:

R=1R=1

הקטע הפנימי:

(−1,1)(-1,1)

עכשיו בודקים קצוות.

קצה ימין: (x=1)

∑n=1∞1nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n}{n}
∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

זה הטור ההרמוני.

הוא מתבדר.

לכן (x=1) לא נכנס.

קצה שמאל: (x=-1)

∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}

זה טור מתחלף.

הערך המוחלט שלו:

∑n=1∞∣(−1)nn∣\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|
∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

מתבדר.

אבל הטור המקורי מתכנס לפי לייבניץ, כי:

1n\frac1n

יורדת ושואפת ל־0.

לכן (x=-1) נכנס בהתכנסות בתנאי.

תחום ההתכנסות:

[−1,1)[-1,1)

13. טבלה: מה יכול לצאת בקצוות?

אחרי הצבת קצה יוצא

מסקנה

(\sum 1)

מתבדר, האיבר הכללי לא שואף ל־0

(\sum (-1)^n)

מתבדר, האיבר הכללי לא שואף ל־0

(\sum \frac1n)

מתבדר, הרמוני

(\sum \frac1{n^p})

מתכנס אם (p>1), מתבדר אם (p\le 1)

(\sum (-1)^n\frac1n)

מתכנס בתנאי לפי לייבניץ

(\sum (-1)^n\frac1{n^p})

לרוב בודקים לייבניץ; בהחלט אם (p>1), בתנאי אם (0<p\le1)

טור חיובי מסובך

השוואה / השוואה גבולית / שורש / מנה

טור עם עצרות

מבחן מנה

טור עם חזקות (n)

מבחן שורש

14. התכנסות בהחלט מול בתנאי בטורי חזקות

בתוך הרדיוס:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

הטור מתכנס בהחלט.

כלומר:

∑∣an(x−x0)n∣\sum |a_n(x-x_0)^n|

מתכנס.

בקצוות יכולה להיות:

  • התכנסות בהחלט

  • התכנסות בתנאי

  • התבדרות

אבל התכנסות בתנאי יכולה לקרות רק בקצוות, לא בתוך הקטע.

זה דגש חשוב מהתרגול.

15. משפט “אבל” מההרצאה — האינטואיציה

בהרצאה מופיע רעיון חשוב שנקרא לפעמים משפט אבל:

אם טור חזקות מתכנס בנקודה מסוימת (x_1), אז הוא מתכנס בהחלט לכל (x_2) שקרוב יותר למרכז:

∣x2−x0∣<∣x1−x0∣|x_2-x_0|<|x_1-x_0|

בהרצאה רואים את זה גם דרך ציור: אם יש נקודת התכנסות בצד אחד, אז כל מה שבפנים, קרוב יותר למרכז, גם מתכנס.

אינטואיציה

אם הטור הצליח להתכנס בנקודה רחוקה יחסית מהמרכז, אז ברור שבנקודה קרובה יותר למרכז החזקות יהיו קטנות יותר, ולכן יהיה “קל יותר” לטור להתכנס.

לדוגמה:

אם הטור מתכנס ב־(x=5), והמרכז הוא (x_0=0), אז הוא יתכנס גם בכל (x) עם:

∣x∣<5|x|<5

כלומר:

−5<x<5-5<x<5

למה זה חשוב?

זה מסביר למה תחום ההתכנסות של טור חזקות תמיד נראה כמו קטע סביב המרכז.

לא יכול להיות מצב מוזר כזה:

מתכנס ב־10,מתבדר ב־2\text{מתכנס ב־} 10,\quad \text{מתבדר ב־} 2

אם המרכז הוא 0.

כי אם הוא מתכנס רחוק — הוא חייב להתכנס קרוב יותר.

16. המשפט המשלים: אם מתבדר קרוב, אז מתבדר רחוק

מהמשפט הקודם נובע גם:

אם הטור מתבדר בנקודה (x_1), אז הוא מתבדר בכל נקודה (x_2) שרחוקה יותר מהמרכז:

∣x2−x0∣>∣x1−x0∣|x_2-x_0|>|x_1-x_0|

אינטואיציה

אם הטור כבר נכשל בנקודה קרובה יחסית, אז רחוק יותר מהמרכז החזקות גדלות עוד יותר, ולכן אין סיבה שיצליח.

17. איך רדיוס נבנה לפי ההרצאה?

בהרצאה מגדירים את הרדיוס בתור “המרחק המקסימלי” מהמרכז שבו יש התכנסות.

הרעיון:

R=sup⁡r≥0:הטור מתכנס לכל x∈[x0−r,x0+r]R=\sup{r\ge 0:\text{הטור מתכנס לכל }x\in[x_0-r,x_0+r]}

לא חייבים לכתוב את זה בכל פתרון, אבל חשוב להבין:

הרדיוס הוא הגבול בין אזור ההתכנסות לאזור ההתבדרות.

בציור בהרצאה רואים:

x0−Rx0x0+Rx_0-R \quad\quad x_0 \quad\quad x_0+R

בפנים ירוק — מתכנס.

בחוץ אדום — מתבדר.

בקצוות — סימן שאלה.

18. הערה חשובה: לא תמיד משתמשים בנוסחת מנה או שורש

בתרגול כתוב שיש מקרים שבהם מחשבים את (R) לפי נוסחת שורש או מנה, ויש מקרים שמחשבים בדרכים אחרות, למשל על ידי מציאת נקודה שבה הטור מתכנס בתנאי.

כלומר

אם אין לך גבול נוח של:

an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}

או:

∣an∣n\sqrt[n]{|a_n|}

לא חייבים להיתקע.

אפשר לפעמים להשתמש במשפטי התכנסות, בטורים מוכרים, או בטענה על סכום של טורי חזקות.

19. סכום או הפרש של שני טורי חזקות

בתרגול מופיע תרגיל:

יש שני טורי חזקות:

∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

ו־

∑n=0∞bnxn\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n

עם רדיוסי התכנסות שונים:

R1≠R2R_1\ne R_2

שואלים מה רדיוס ההתכנסות של:

∑n=0∞(an±bn)xn\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\pm b_n)x^n

התשובה:

R=min⁡R1,R2R=\min{R_1,R_2}

בתרגול מסבירים שאם (|x|<\min{R_1,R_2}), שני הטורים מתכנסים ולכן גם הסכום או ההפרש מתכנס. אם (|x|) בין הרדיוסים, אחד מתכנס ואחד מתבדר, ולכן הסכום או ההפרש מתבדר.

אינטואיציה

הטור החדש:

(an+bn)xn(a_n+b_n)x^n

יכול לעבוד רק איפה ששני הטורים המקוריים עובדים.

אם אחד מהם כבר מתבדר, אי אפשר שהחיבור הרגיל “יתקן” אותו, כאשר הרדיוסים שונים.

לכן הרדיוס של הסכום הוא הקטן מביניהם.

20. דוגמה: סכום של שני טורים

נניח:

∑anxn\sum a_nx^n

עם:

R1=2R_1=2

ו־

∑bnxn\sum b_nx^n

עם:

R2=5R_2=5

אז עבור:

∑(an+bn)xn\sum (a_n+b_n)x^n

הרדיוס הוא:

R=min⁡2,5=2R=\min{2,5}=2

כלומר:

R=2R=2

למה?

בתוך ((-2,2)): שני הטורים מתכנסים.

בין 2 ל־5: הטור הראשון כבר מתבדר והשני עדיין מתכנס.

מחוץ ל־5: שניהם מתבדרים.

לכן המקום הבטוח של הסכום הוא רק עד הרדיוס הקטן.

21. ערך מפורש ללא סיגמה

בתרגול מבקשים: “בתחום ההתכנסות, מצאו ערך מפורש ללא סימן הסיגמה.”

זה אומר שלא מספיק למצוא תחום. צריך להפוך את הטור לפונקציה רגילה.

הכלי המרכזי

הטור הגיאומטרי:

∑n=0∞qn=11−q,∣q∣<1\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q},\quad |q|<1

אז אם הצלחנו להפוך את הטור ל:

∑n=0∞(q(x))n\sum_{n=0}^{\infty}(q(x))^n

אז הערך הוא:

11−q(x)\frac{1}{1-q(x)}

דוגמה

∑n=0∞(x+1)2n\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^{2n}

נסדר:

(x+1)2n=((x+1)2)n(x+1)^{2n}=((x+1)^2)^n

אז:

q=(x+1)2q=(x+1)^2

התכנסות:

∣(x+1)2∣<1|(x+1)^2|<1

כלומר:

(x+1)2<1(x+1)^2<1
−1<x+1<1-1<x+1<1
−2<x<0-2<x<0

ערך מפורש:

11−(x+1)2\frac{1}{1-(x+1)^2}

22. גזירה של טור חזקות — מההרצאה

בהרצאה 9 מופיע משפט חשוב: בתוך תחום ההתכנסות, אפשר לגזור טור חזקות איבר־איבר.

אם:

f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

אז בתוך הרדיוס:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

מתקיים:

f′(x)=∑n=1∞nan(x−x0)n−1f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-x_0)^{n-1}

ההרצאה מציגה את הגזירה של טור חזקות ואת העובדה שרדיוס ההתכנסות של הטור הנגזר נשאר אותו (R).

אינטואיציה

זה כמו לגזור פולינום:

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots

רק שיש אינסוף איברים.

בפולינום רגיל:

ddx(x−x0)n=n(x−x0)n−1\frac{d}{dx}(x-x_0)^n=n(x-x_0)^{n-1}

אז גם כאן:

an(x−x0)na_n(x-x_0)^n

נגזר ל:

nan(x−x0)n−1n a_n(x-x_0)^{n-1}

דוגמה קלאסית

אנחנו יודעים:

∑n=0∞xn=11−x,∣x∣<1\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},\quad |x|<1

נגזור שני צדדים.

צד שמאל:

ddx∑n=0∞xn\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^n
∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}

צד ימין:

ddx(11−x)\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)
1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2}

לכן:

∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}
1(1−x)2,∣x∣<1\frac{1}{(1-x)^2},\quad |x|<1

אם רוצים:

∑n=1∞nxn\sum_{n=1}^{\infty}nx^n

כופלים ב־(x):

∑n=1∞nxn\sum_{n=1}^{\infty}nx^n
x(1−x)2\frac{x}{(1-x)^2}

23. אינטגרציה של טור חזקות — מההרצאה

אם:

f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

אז בתוך הרדיוס:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

אפשר לעשות אינטגרל איבר־איבר:

∫f(x),dx\int f(x),dx
∑n=0∞an(x−x0)n+1n+1+C\sum_{n=0}^{\infty}a_n\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1}+C

גם כאן רדיוס ההתכנסות נשאר אותו (R). בהרצאה 9 מופיע שימוש באינטגרציה של טורי חזקות, למשל כדי לקבל טורים של (\ln(1+x)) ו־(e^x).

דוגמה: הטור של (\ln(1+x))

מתחילים מהטור הגיאומטרי:

11+x=11−(−x)\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}

ולכן:

11+x\frac{1}{1+x}
∑n=0∞(−x)n\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n
∑n=0∞(−1)nxn\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n

בתנאי:

∣x∣<1|x|<1

עכשיו עושים אינטגרל מ־0 עד (x):

∫0x11+t,dt\int_0^x \frac{1}{1+t},dt
∫0x∑n=0∞(−1)ntn,dt\int_0^x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n,dt

צד שמאל:

ln⁡(1+x)\ln(1+x)

צד ימין:

∑n=0∞(−1)nxn+1n+1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}

כלומר:

ln⁡(1+x)\ln(1+x)
∑n=0∞(−1)nxn+1n+1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}

או עם אינדקס מ־1:

ln⁡(1+x)\ln(1+x)
∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}

בתחילה זה נכון ל:

−1<x<1-1<x<1

ואז בודקים קצוות.

בהרצאה מופיע בדיוק הרעיון שהטור:

∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}

נותן את (\ln(1+x)), ובקצה (x=1) מתקבל הטור ההרמוני המתחלף שערכו (\ln 2).

24. דוגמה חשובה: (\ln 2)

מהטור:

ln⁡(1+x)\ln(1+x)
∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}

נציב:

x=1x=1

מקבלים:

ln⁡2\ln 2
∑n=1∞(−1)n+11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}

כלומר:

ln⁡2\ln 2
1−12+13−14+⋯1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots

וזה בדיוק הטור ההרמוני המתחלף.

25. הטור של (e^x)

בהרצאה מופיע גם:

ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

לכל:

x∈Rx\in\mathbb{R}

כלומר רדיוס ההתכנסות:

R=∞R=\infty

למה?

כאן:

an=1n!a_n=\frac1{n!}

נשתמש במנה:

an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}
1(n+1)!1n!\frac{\frac1{(n+1)!}}{\frac1{n!}}
n!(n+1)!\frac{n!}{(n+1)!}
1n+1\frac1{n+1}

ולכן:

L=lim⁡n→∞1n+1=0L=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0

אז:

R=∞R=\infty

לכן:

exe^x

מיוצג על ידי הטור שלו לכל (x).

26. דוגמה: למצוא תחום וערך מפורש

נפתור דוגמה מלאה:

∑n=0∞(x−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{2^n}

שלב 1: מזהים מרכז

x0=1x_0=1

שלב 2: מסדרים כגיאומטרי

(x−1)n2n\frac{(x-1)^n}{2^n}
(x−12)n\left(\frac{x-1}{2}\right)^n

אז:

q=x−12q=\frac{x-1}{2}

שלב 3: תנאי התכנסות

∣q∣<1|q|<1

כלומר:

∣x−12∣<1\left|\frac{x-1}{2}\right|<1
∣x−1∣<2|x-1|<2

פותחים:

−2<x−1<2-2<x-1<2

מוסיפים 1:

−1<x<3-1<x<3

שלב 4: ערך מפורש

∑n=0∞(x−12)n\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x-1}{2}\right)^n
11−x−12\frac{1}{1-\frac{x-1}{2}}

מסדרים:

[

\frac{1}{\frac{2-(x-1)}{2}}

\frac{2}{3-x}

]

לכן:

∑n=0∞(x−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{2^n}
23−x,−1<x<3\frac{2}{3-x},\quad -1<x<3

קצוות

כאן בגלל שזה גיאומטרי טהור, בקצוות:

(x=-1)

q=−1−12=−1q=\frac{-1-1}{2}=-1

אז:

∑(−1)n\sum (-1)^n

מתבדר.

(x=3)

q=3−12=1q=\frac{3-1}{2}=1

אז:

∑1\sum 1

מתבדר.

תחום סופי:

(−1,3)(-1,3)

27. דוגמה עם קצה אחד שנכנס

∑n=1∞(x−4)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-4)^n}{n}

מרכז

x0=4x_0=4

מקדם

an=1na_n=\frac1n

רדיוס

כמו קודם:

L=lim⁡n→∞1n+11nL=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{n+1}}{\frac1n}
11

ולכן:

R=1R=1

הקטע הפנימי:

(3,5)(3,5)

קצה ימין: (x=5)

∑n=1∞(5−4)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(5-4)^n}{n}
∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

מתבדר.

קצה שמאל: (x=3)

∑n=1∞(3−4)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3-4)^n}{n}
∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}

מתכנס לפי לייבניץ.

תחום:

[3,5)[3,5)

28. דוגמה עם שני קצוות שנכנסים

∑n=1∞xnn2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}

מרכז

x0=0x_0=0

מקדם

an=1n2a_n=\frac1{n^2}

רדיוס

L=lim⁡n→∞1(n+1)21n2L=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)^2}}{\frac1{n^2}}
lim⁡n→∞n2(n+1)2\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}
11

לכן:

R=1R=1

פנים:

(−1,1)(-1,1)

קצה ימין: (x=1)

∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}

מתכנס כי (p=2>1).

קצה שמאל: (x=-1)

∑n=1∞(−1)nn2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}

מתכנס בהחלט, כי:

∑n=1∞∣(−1)nn2∣\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|
∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}

מתכנס.

תחום:

[−1,1][-1,1]

29. דוגמה עם אף קצה שלא נכנס

∑n=1∞xn\sum_{n=1}^{\infty}x^n

זה גיאומטרי עם:

q=xq=x

מתכנס אם:

∣x∣<1|x|<1

פנים:

(−1,1)(-1,1)

קצה ימין

x=1x=1
∑1\sum 1

מתבדר.

קצה שמאל

x=−1x=-1
∑(−1)n\sum (-1)^n

מתבדר.

תחום:

(−1,1)(-1,1)

30. דוגמה עם (R=\infty)

∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

כמו הטור של (e^x).

an=1n!a_n=\frac1{n!}

נוסחת מנה:

L=lim⁡n→∞1(n+1)!1n!L=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)!}}{\frac1{n!}}
lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0

לכן:

R=∞R=\infty

תחום ההתכנסות:

(−∞,∞)(-\infty,\infty)

אין קצוות לבדוק.

31. דוגמה עם (R=0)

∑n=1∞nnxn\sum_{n=1}^{\infty}n^n x^n

כאן:

an=nna_n=n^n

נוסחת שורש:

L=lim⁡n→∞nnnL=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^n}
lim⁡n→∞n\lim_{n\to\infty}n
∞\infty

לכן:

R=0R=0

כלומר הטור מתכנס רק ב:

x=0x=0

לכל (x\ne 0), האיבר הכללי לא שואף ל־0:

nnxn=(nx)nn^n x^n=(nx)^n

וזה לא יכול להתכנס ל־0 עבור (x\ne0) בסופו של דבר.

תחום:

0{0}

32. הטעויות הכי נפוצות

טעות 1: לא לבדוק קצוות

אם מצאת:

R=1R=1

והמרכז:

x0=0x_0=0

אסור ישר לכתוב:

(−1,1)(-1,1)

צריך לבדוק:

x=−1,x=1x=-1,\quad x=1

אלא אם (R=0) או (R=\infty).

טעות 2: לבדוק קצוות על הביטוי הלא נכון

בודקים קצוות בטור המקורי.

לא רק בתוך התנאי (|x-x_0|<R).

לדוגמה:

∑xnn\sum\frac{x^n}{n}

אם (x=-1), מציבים בטור המקורי:

∑(−1)nn\sum\frac{(-1)^n}{n}

ולא אומרים “(|x|=1), אז מתבדר”.

טעות 3: לחשוב שאם תנאי הכרחי מתקיים אז הטור מתכנס

אם:

an→0a_n\to0

זה לא אומר שהטור מתכנס.

למשל:

∑1n\sum\frac1n

האיבר הכללי שואף ל־0, אבל הטור מתבדר.

טעות 4: לשכוח ערך מוחלט בנוסחת מנה/שורש

ברדיוס משתמשים ב:

∣an+1an∣\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

או:

∣an∣n\sqrt[n]{|a_n|}

כי רדיוס קשור להתכנסות בהחלט.

טעות 5: לטעות במרכז

(x+3)n(x+3)^n

המרכז הוא:

x0=−3x_0=-3

לא (3).

כי:

x+3=x−(−3)x+3=x-(-3)

טעות 6: לחשוב שהרדיוס הוא התחום

הרדיוס הוא מספר.

התחום הוא קטע.

לדוגמה:

R=2,x0=−1R=2,\quad x_0=-1

התחום הפנימי הוא:

(−3,1)(-3,1)

לא “(R=2)” כתשובה סופית.

33. צורת כתיבה מסודרת להגשה

כאשר פותרים תרגיל, לכתוב כך:

שלב א: זיהוי

x0=…x_0=\dots
an=…a_n=\dots

שלב ב: חישוב רדיוס

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣=…L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dots

ולכן:

R=…R=\dots

שלב ג: קטע פנימי

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

ולכן:

⋯<x<…\dots <x<\dots

שלב ד: בדיקת קצוות

עבור (x=x_0-R):

מציבים:

∑…\sum \dots

ומסיקים מתכנס / מתבדר.

עבור (x=x_0+R):

מציבים:

∑…\sum \dots

ומסיקים מתכנס / מתבדר.

שלב ה: תחום סופי

…\boxed{\dots}

שלב ו: ערך מפורש אם מבקשים

אם זה גיאומטרי:

∑qn=11−q\sum q^n=\frac{1}{1-q}

ולכן:

f(x)=…\boxed{f(x)=\dots}

34. נוסח קצר לזכור בעל פה

טור חזקות:

∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n

מתכנס סביב המרכז (x_0).

יש רדיוס (R).

בתוך:

∣x−x0∣<R|x-x_0|<R

מתכנס בהחלט.

בחוץ:

∣x−x0∣>R|x-x_0|>R

מתבדר.

בקצוות:

∣x−x0∣=R|x-x_0|=R

בודקים ידנית.

רדיוס מוצאים לרוב לפי:

R=1lim⁡∣an+1/an∣R=\frac{1}{\lim |a_{n+1}/a_n|}

או:

R=1lim⁡∣an∣nR=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{|a_n|}}

אם (L=0), אז (R=\infty).

אם (L=\infty), אז (R=0).

אם (0<L<\infty), אז (R=\frac1L).

35. דף החלטה מהיר — מה לעשות כשאני רואה תרגיל?

אם רואה ((משהו)^n)

כנראה גיאומטרי.

להביא לצורה:

∑qn\sum q^n

ואז:

∣q∣<1,∑qn=11−q|q|<1,\quad \sum q^n=\frac1{1-q}

אם רואה (n!)

מבחן מנה.

אם רואה (n^n), או משהו בחזקת (n)

מבחן שורש.

אם רואה (\frac{x^n}{n}), (\frac{x^n}{n^2})

לרוב רדיוס (1), ואז קצוות חשובים.

אם מבקשים ערך מפורש

צריך להשתמש באחד מאלה:

∑qn=11−q\sum q^n=\frac1{1-q}

או לגזור/לאנטגרל טור ידוע.

36. נוסחאות זהב מההרצאה

טור גיאומטרי

∑n=0∞xn=11−x,∣x∣<1\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x},\quad |x|<1

נגזרת של גיאומטרי

∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2,∣x∣<1\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2},\quad |x|<1

אחרי כפל ב־(x)

∑n=1∞nxn=x(1−x)2,∣x∣<1\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2},\quad |x|<1

לוגריתם

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}

בתחום:

−1<x≤1-1<x\le 1

כי ב־(x=1) מתקבל:

1−12+13−14+⋯=ln⁡21-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2

וב־(x=-1) מתקבל:

−∑1n-\sum\frac1n

שמתבדר.

אקספוננט

ex=∑n=0∞xnn!,x∈Re^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb{R}

37. סיכום־על במשפטים קצרים

  • טור חזקות הוא טור שתלוי ב־(x).

  • המרכז (x_0) הוא הנקודה שסביבה הטור בנוי.

  • הטור תמיד מתכנס במרכז.

  • תחום ההתכנסות הוא כל ערכי (x) שעבורם הטור מתכנס.

  • רדיוס התכנסות אומר כמה רחוק אפשר לזוז מהמרכז.

  • בתוך הרדיוס יש התכנסות בהחלט.

  • מחוץ לרדיוס יש התבדרות.

  • בקצוות חייבים לבדוק בנפרד.

  • בקצוות יכולים לקבל התכנסות בהחלט, בתנאי או התבדרות.

  • אם זה גיאומטרי, מזהים (q), דורשים (|q|<1), והערך הוא (\frac1{1-q}).

  • אם יש (a_n), משתמשים במנה או שורש.

  • אם (L=0), אז (R=\infty).

  • אם (L=\infty), אז (R=0).

  • אם (0<L<\infty), אז (R=\frac1L).

  • גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות מותרות בתוך הרדיוס, והרדיוס נשאר אותו דבר.

  • התכנסות בתנאי יכולה לקרות רק בקצוות.

  • לא כותבים תחום סופי לפני בדיקת קצוות.

זה הסיכום המלא של תרגול 9 + המשפטים המרכזיים מההרצאה שצריך כדי להבין את התמונה.

צורת ana_n

מבחן מומלץ

an↛0a_n \not\to 0

תנאי הכרחי — מתבדר

(f(n))n(f(n))^n

שורש

ana^n בלבד

שורש או מנה

n!n!

מנה

nnn^n

שורש

P(n)/Q(n)P(n)/Q(n) (פולינומים)

השוואה גבולית ל-1/ndeg⁡Q−deg⁡P1/n^{\deg Q - \deg P}

1/(np)1/(n^p) ישיר

**טור pp**

f(n)f(n) שניתן לאינטגרל

אינטגרל

(−1)nbn(-1)^n b_n

מוחלטת קודם, אח"כ לייבניץ

אינטואיציה

בחרי מבחן לפי הצורה של ana_n — לא לפי מה שנוח. טעות נפוצה: להפעיל מנה כשיש nnn^n.

שלושת האפשרויות:

  • מוחלטת: ∑∣an∣<∞\sum |a_n| < \infty (← ∑an\sum a_n מתכנס).

  • מותנית: ∑an\sum a_n מתכנס אך ∑∣an∣=∞\sum |a_n| = \infty.

  • מתבדר: ∑an\sum a_n לא מתכנס.

אינטואיציה

מוחלטת = חזק. מותנית = חלש (רק בזכות ביטול). מתבדרת = אין התכנסות.

הערות חשובות

  • כשנשאלים 'האם מתכנס?' — ציינו מוחלטת/מותנית/מתבדר, לא רק כן/לא.

  • בבחינות לרוב מבקשים לסווג — לא רק לקבוע.

כשמבחן מנה או שורש נותנים L=1L = 1, המבחן לא חושף כלום. צריך מבחן אחר.

אינטואיציה

גם הטור המתכנס ∑1/n2\sum 1/n^2 וגם המתבדר ∑1/n\sum 1/n נותנים L=1L=1 במנה ובשורש. לכן L=1L=1 לא מסייע.

מתי להשתמש?

כשקיבלת L=1L=1: נסי השוואה גבולית, אינטגרל, או לפרק את ana_n ישירות.

דוגמה

∑1/n\sum 1/n: מנה: (n/(n+1))→1(n/(n+1)) \to 1. שורש: 1/nn=1/n1/n→1\sqrt[n]{1/n} = 1/n^{1/n} \to 1. שני המבחנים לא עוזרים — צריך השוואה / אינטגרל.

תרשים שבוע 9

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

טור טיילור של f סביב x₀

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

כל פונקציה C^∞ שווה לטור טיילור שלה בתחום R

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

eˣ = Σ xⁿ/n! (כל x)

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

גזירה/אינטגרציה של טור חזקות: R לא משתנה, הקצוות — בדקי מחדש

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 9 — חומר חדש

הגדרות

  • טור טיילור של f סביב x₀

  • שארית לגרנז'

  • שארית קושי

משפטים

  • כל פונקציה C^∞ שווה לטור טיילור שלה בתחום R

נוסחאות מפתח

eˣ = Σ xⁿ/n! (כל x)

sin x = Σ (-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)!

cos x = Σ (-1)ⁿx^(2n)/(2n)!

ln(1+x) = Σ (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n (|x|≤1, x≠-1)

1/(1-x) = Σ xⁿ (|x|<1)

חשוב למבחן

טורי מקלורן עיקריים — חובה לשנן

חשוב למבחן

שאלת חישוב סכום עם טיילור — שכיח

מקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

✏️ תרגול

תרגול 9 · מתרגל הרצאה 8

עבודה עם טורי חזקות: חישוב רדיוס התכנסות, גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות, ופיתוח טורי טיילור של פונקציות בסיסיות.

טכניקות

  • רדיוס התכנסות — נוסחת המנה/שורש

  • גזירת טור חזקות

  • אינטגרציה של טור חזקות

  • טיילור/מקלורן

חובה לתרגל

  • חישוב R של ∑aₙxⁿ

  • גזירה ואינטגרציה של ∑aₙxⁿ

  • פיתוח eˣ, sin x, cos x, 1/(1-x) לטורי מקלורן

  • חישוב סכום טור חזקות

טעויות נפוצות

  • גזירה/אינטגרציה שינוי R אך לא בדיקת קצוות מחדש

  • שכחה ש-R לא משתנה בגזירה/אינטגרציה, אבל הקצוות כן

  • טעויות בנוסחת המקדמים aₙ = f^(n)(0)/n!

מסקנות

גזירה/אינטגרציה של טור חזקות: R לא משתנה, הקצוות — בדקי מחדש

טורי מקלורן עיקריים: עליך לשנן eˣ, sin x, cos x, ln(1+x), 1/(1-x)

📋 מטלה

אין ניתוח מטלה לשבוע זה

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

ציטוט מקור

הגדרות ומשפטים מהרצאה

טקסט שחולץ בפועל מהקבצים — אם OCR לא קריא, מוצג סיכום מקושר.

1. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפטים עם אינטואיציה — חלק ב׳

טור חזקות — 1

2. הגדרהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

הגדרה )8 הרצאה + 9 תרגול(

:ניסוח תהי (aₙ) סדרה של מספרים ממשיים ותהי x₀ ∈ ℝ טור החזקות של . (aₙ) סביב x₀ :הוא

Σ(n=0→∞) aₙ · (x−x₀)ⁿ = a₀ + a₁(x−x₀) + a₂(x−x₀)² + ...

תחום ההתכנסות הוא קבוצת כל ערכי x .שעבורם הטור מתכנס

אינטואיציה

פונקציה בפרמטר“ טור חזקות הוא x המרכז .” x₀ והמקדמים ,הוא נקודת המדידה aₙ .קובעים את העוצמה של כל חזקה

הטור מתכנס תמיד במרכז — 1

3. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )8 הרצאה(

:ניסוח הטור תמיד מתכנס בנקודה x = x₀ לערך , a₀ .

aₙ · (x₀ − x₀)ⁿ = aₙ · 0ⁿ = 0 for n ≥ 1

:לכן נשאר רק האיבר הראשון a₀ .

אינטואיציה

.תמיד יש לפחות נקודה אחת שבה הוא מתכנס .טור חזקות לא מתבדר בכל מקום :זו נקודת העוגן

רדיוס ההתכנסות — 2

4. הגדרהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

הגדרה )8 הרצאה(

:ניסוח יהי Σ aₙ(x−x₀)ⁿ :רדיוס ההתכנסות מוגדר כך .טור חזקות

R = sup { r ≥ 0 : the series converges absolutely for every x ∈ [x₀−r, x₀+r] }

אינטואיציה

R סביב ”רדיוס האזור הבטוח“ הוא x₀ המנה או בזיהוי/משתמשים בנוסחאות השורש ;בפועל כמעט לא מחשבים סופרמום .

.מבנה

מתכנס בהחלט ⇒ קרוב יותר למרכז — 2

5. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )8 הרצאה(

:ניסוח יהיו x₁, x₂ ∈ ℝ כך ש־ |x₂−x₀| < |x₁−x₀| אם . Σaₙ(x₁−x₀)ⁿ אז ,מתכנס Σaₙ(x₂−x₀)ⁿ .מתכנס בהחלט

אינטואיציה

הוא שורד ,אם הטור שורד רחוק יותר .זה ה

6. למהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

למה תחום ההתכנסות הוא קטע ולא אוסף נקודות מפוזר

.בהחלט בכל נקודה קרובה יותר

3

:

7. מסקנהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

מסקנה קריטית .הכול בהחלט — בתוך הרדיוס .התכנסות בתנאי יכולה להופיע רק בקצוות

4

:חשוב אם הגבול L .לא משתמשים בנוסחה הזו — לא קיים

שלושת המקרים של רדיוס ההתכנסות — 3

8. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )8 הרצאה(

:ניסוח לכל טור חזקות קיים R ∈ [0,∞] :כך ש

מקרה מה קורה

R = ∞ הטור מתכנס בהחלט לכל x ∈ ℝ .

R = 0 הטור מתכנס רק במרכז x = x₀ ומתבדר לכל , x ≠ x₀ .

0 < R < ∞ |x−x₀| < R ;מתכנס בהחלט ⇒ |x−x₀| > R ;מתבדר ⇒ |x−x₀| = R .לבדוק בנפרד ⇒

אינטואיציה

.והקצוות הם נקודת השאלה ,מחוץ לו התבדרות ,יש קטע ברור של התכנסות :”המפה המלאה“ זו

מבחן השורש לרדיוס :קושי־הדמר — 4

9. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )8 הרצאה(

:ניסוח :במובן הרחב ,אם קיים הגבול

L = lim(n→∞) ⁿ√|aₙ|

:אז

L = 0 → R = ∞ | L = ∞ → R = 0 | 0<L<∞ → R = 1/L

אינטואיציה

:לפי מבחן השורש ⁿ√|aₙ(x−x₀)ⁿ| = ⁿ√|aₙ| · |x−x₀| → L·|x−x₀| לכן ההתכנסות מתקבלת כאשר הביטוי קטן .

.1מ־

מבחן המנה לרדיוס — הערה )9 תרגול(

:ניסוח :אם קיים

L = lim(n→∞) |aₙ₊₁ / aₙ|

אז R = 1/L .לפי אותם חוקים של מבחן השורש

אינטואיציה

מבחן המנה נוח כשיש עצרת n! מבחן השורש נוח כשיש .או מכפלות n√ או nⁿ .

5

:זהירות כאשר R₁ = R₂ .יכול לקרות ביטול בין המקדמים .אי אפשר להסיק מראש מה הרדיוס של הסכום —

דוגמאות מהירות לטור גיאומטרי

טור זיהוי

10. מסקנהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

מסקנה

Σ(−1)ⁿx²ⁿ t = −x² |t|<1 → −1<x<1 :והסכום , 1/(1+x²) .

Σ((2x+3)/4)²ⁿ t = ((2x+3)/4)² |t|<1 → −3.5<x<0.5 ולכן , x₀=−1.5 , R=2 .

:סיכום בשורה אחת מה x₀ ? ← מה R ? ← ?מה קורה בקצוות ←

?מה הסכום :אם גיאומטרי

הפרש שני טורי חזקות / סכום —

11. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )9 תרגול(

:ניסוח יהיו Σaₙxⁿ , Σbₙxⁿ עם רדיוסי התכנסות R₁, R₂ אם . R₁ ≠ R₂ :אז ,

R(aₙ ± bₙ) = min { R₁ , R₂ }

אינטואיציה

.ולכן הסכום או ההפרש מתבדרים ,בין הרדיוסים אחד כבר מתבדר .בתוך הרדיוס הקטן שני הטורים מתכנסים

השוואת טורי חזקות —

12. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )9 תרגול(

:ניסוח יהיו Σaₙ(x−x₀)ⁿ , Σbₙ(x−x₀)ⁿ עם רדיוסי התכנסות R₁, R₂ אם . |aₙ| ≤ |bₙ| לכל n ≥ 0 אז , R₁ ≥ R₂ .

אינטואיציה

גם הטור הקטן ,בכל מקום שבו הטור הגדול מתכנס בהחלט .מקדמים קטנים יותר מאפשרים אזור התכנסות גדול יותר

.מתכנס בהחלט לפי השוואה

זיהוי טור גיאומטרי — כלי )9 תרגול(

:ניסוח אם אפשר לסדר את הטור לצורה Σtⁿ כאשר , t תלוי ב־ x :אז ,

Σ(n=0→∞) tⁿ = 1 / (1 − t), בתנאי |t| < 1

מחלצים מ־ |t|<1 את תחום ה־ x ומשם מזהים את , x₀ ואת R .

אינטואיציה

.הוא נותן גם תחום התכנסות וגם סכום מפורש בצעד אחד :זה הכלי המהיר ביותר

6

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

דוגמאות: , ומצאו את תחוםR עבור כל אחד מהטורים הבאים, חשבו את רדיוס ההתכנסות, ההתכנסות. בתחום ההתכנסות, מצאו ערך מפורש )ללא סימן הסיגמה(. . ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n .1 פתרון: מדובר בטור גיאומטרי, נסדר את הטור ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n = ∞ ∑ n=0 (−1)n (x2)n = ∞ ∑ n=0 (−x2)n = t=−x2 ∞ ∑ n=0 tn = |t|<1 1 1 − t = 1 1 − (−x2) = 1 1 + x2 , כלומר הטור מתכנס אם"ם| t |< 1 הטור מתכנס אם"ם | −x2 |< 1 ⇔| x2 |< 1 ⇔ x2 < 1 ⇔ −1 < x < 1 .R = 1 ולכן רדיוס ההתכנסות של הטור הוא x0 = 0 נשים לב ש . ∞ ∑ n=0 (2x+3)2n 42n .2 פתרון: מדובר בטור גיאומטרי, נסדר את הטור ∞ ∑ n=0 (2x + 3)2n 42n = ∞ ∑ n=0 ( 2x + 3 4 )2n = ∞ ∑ n=0 (( 2x + 3

2
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

תרגיל: שתי סדרות של מספרים ממשיים. (bn)∞ n=0 ו (an)∞ n=0 יהיו בהתאמה R2 6 = R1 טורי חזקות עם רדיוסי התכנסות ∞ ∑ n=0 bn · xn , ∞ ∑ n=0 an · xn יהיו .R1, R2 6 = ∞ כך ש . ∞ ∑ n=0 (an ± bn) · xn מצאו את רדיוס ההתכנסות של טור החזקות פתרון: ראשית נשים לב שלא נוכל להשתמש בנוסחת המנה או השורש מכיוון שלא נתון שהגבולות קיימים. נחלק את הפתרון לשלושה חלקים )נראה שרטוט בכיתה(: .x ∈ R יהי , במקרה זה שני הטורים מתכנסים ולכן גם הסכום מתכנס| x |< min {R1, R2} 1. אם מאשט"מ. , במקרה זה אנחנו יודעים שטור אחדmin {R1, R2} <| x |< max {R1, R2} 2. אם מתבדר שווה מתבדר(. ± מתכנס וטור אחד מתבדר ולכן הטור מתבדר )מתכנס ,

3
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

דוגמא: . ∞ ∑ n=1 4n n · x2n+3 חשבו את תחום ההתכנסות של טור החזקות הבא: פתרון: נסדר את הטור ∞ ∑ n=1 4n n · x2n+3 = x3 ∞ ∑ n=1 4n n · x2n נסתכל על הטור ∞ ∑ n=1 4n n · x2n = t=x2 ∞ ∑ n=1 4n n · tn כעת נמצא את רדיוס ההתכנסות L = lim n→∞ n √ 4n n = lim n→∞ 4 n 1 n = AOL 4 הוא t ולכן רדיוס ההתכנסות של הטור עם R = 1 L = 1 4 ולכן הטור מתכנס לכל t0 = 0 נשים לב ש | t |< 1 4 ⇒| x2 |< 1 4 ⇒ x2 < 1 4 ⇒ − 1 2 < x < 1 2 .x < − 1 2 או x > 1 2 ומתבדר לכל כעת נבדוק את הקצוות בנפרד: , כי מכפלה של מספר קבוע לא תשנה אתx3 נשים לב שאין צורך להציב ב . ∞ ∑ n=1 4n n · x2n ההתכנסות או ההתבדרות של הטור ולכן נציב את הקצוו

4
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

דוגמא נוספת: . ∞ ∑ n=1 sin2 ( 1 n ) · (x − 3)n חשבו את תחום ההתכנסות של טור החזקות הבא: פתרון: נמצא תחילה את רדיוס ההתכנסות ∞ ∑ n=1 sin2 ( 1 n ) · (x − 3)n = ∞ ∑ n=1 sin2 ( 1 n ) · tn R = 1 L = lim n→∞ sin2 ( 1 n ) sin2 ( 1 n+1 ) = lim n→∞       [ sin2( 1 n ) [ 1 n2 ] ] [ sin2( 1 n+1 ) [ 1 (n+1)2 ] ] · (n + 1)2 n2       = 1 1 · 1 = 1 לכן הטור מתכנס לכל | t |< 1 ⇒| x − 3 |< 1 ⇒ 2 < x < 4 .x < 2 או x > 4 ומתבדר לכל נבדוק בנפרד את הקצוות: :x = 2 עבור ∞ ∑ n=1 sin2 ( 1 n ) (2 − 3)n = ∞ ∑ n=1 sin2 ( 1 n ) (−1)n הטור מתכנס בהחלט, כי ∞ ∑ n=1 | sin2 ( 1 n ) (−1)n |= ∞ ∑ n=1 sin2 ( 1 n ) ≤ ∞

5
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: שתי סדרות של מספרים ממשיים. (bn)∞ n=0 ו (an)∞ n=0 יהיו .R טור חזקות עם רדיוס התכנסות ∞ ∑ n=0 an · xn 1. יהי מתכנס בהחלט. ∞ ∑ n=0 an , אזיR > 1 אם פתרון: הטענה נכונה. ולכן x = 1 , אזי בפרט הטור מתכנס בהחלט בR > 1 והיות ש x0 = 0 נשים לב ש ∞ ∑ n=0 an · 1n = ∞ ∑ n=0 an מתכנס בהחלט. טורי חזקות עם רדיוסי ∞ ∑ n=0 bn · (x − x0)n , ∞ ∑ n=0 an · (x − x0)n ויהיו x0 ∈ R 2. יהי בהתאמה. R2, R1 התכנסות .R1 ≥ R2 אזי 0 ≤ n ∈ Z לכל | an |≤| bn | אם פתרון: הטענה נכונה. .R1 ≥ 0 = R2 , אזR2 = 0 אם אחרת: מתכנס ∞ ∑ n=0 bn · (x − x0)n . אזי טור החזקות| x1 − x0 |< R2 כך ש x1 ∈ R

שבוע 8שבוע 10