תובנות, עצות ודוגמאות נגדיות

לופיטל תקף רק ב-0/0 או $\infty$/$\infty$ — לבדוק תנאים לפני כל שימוש!

כשיש גבול מהסוג $0\cdo t$$\infty$ — הוריד למכנה. איזה ביטוי? ניסוי וטעייה.

אחרי כל לופיטל — עצור ובדוק שהתקדמת. אם לא — שנה כיוון.

גבול חד-צדדי: לבדוק מימין ומשמאל בנפרד כשיש סימן תלוי כיוון.

נגזרת לא יכולה להיות אי-רציפות קפיצה/סליקה — רק אי-רציפות עיקרית (דרבו).

דרבו המורחב = ערך ביניים של הנגזרת — כלי הוכחה חשוב לשאלות 'הוכח שקיים c'.

NEVER הניחי שגבול קיים לפני שהוכחת — זו טעות קלאסית!

סדר נכון: (1) מונוטוניות, (2) חסימות, (3) הסקת גבול, (4) חישוב.

בסדרה אסור לעשות לופיטל ישירות — יש להשתמש בכלל היינה.

לסדרה רקורסיבית $a_{n+1}=f(a_n)$: אם f חסה, הגבול L מקיים L = f(L).

לבדוק אם f(x) = arctan(x): מתקיים 0 < arctan(x) < x לx>0 $\to$ יורדת ומתכנסת.

החלפת משתנה לא פותרת — רק מעבירה לאינטגרל אחר (בתקווה קל יותר).

לזהות 'ביטוי והנגזרת שלו' $\to$ אינטגרציה ישירה.

כשרואים שורש $\to$ להציב $t = \sqrt x ($נוח מאוד).

IBP: בחרי u = הפונקציה שנגזרתה פשוטה, dv = מה שנוח לאינטגרציה.

u וdv חייבים להיות מסומנים באותו אופן בכל המקרים.

F(x) = $\int_a^x f(t)\,dt$ היא תמיד רציפה, ואם f רציפה — גם גזירה.

F'(x) = f(x) — לא F'(x) = f(b)-f(a)! זו טעות קלאסית.

שאלה קלאסית: 'הוכח שקיים c כך שF(c)=1' $\to$ IVT על F.

$\int_{-a}^{a} f$ = 0 לפונקציה אי-זוגית — המשפט לאינטגרל מסוים בלבד.

$\int_{-a}^{a} f$ = $2\int_0^a f$ לפונקציה זוגית — המשפט לאינטגרל מסוים בלבד.

אסור ממש להשתמש בזה לאינטגרל לא-אמיתי בלי הצדקה.

ALWAYS לפתוח לפי הגדרה עם גבול — $\int_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int_a^R f$.

$\int_{-\infty}^{\infty} f=\int_{-\infty}^{0} f+\int_0^{\infty} f$ — שני גבולות נפרדים!

אם אחד מהם מתבדר — כל הביטוי מתבדר.

אסור להשתמש בניוטון-לייבניץ כשיש נקודת אי-רציפות בקטע.

כלל הזוגיות/אי-זוגיות חל על אינטגרל מסוים בלבד, לא אוטומטי ללא-אמיתי.

תנאי הכרחי: אם $\sum a_n$ מתכנס $\to$ $a_n\to 0$. אם $a_n$ ↛ 0 $\to$ מתבדר.

p-series: $\sum 1/n^p$ מתכנס אמ"מ p > 1.

מבחן LCT: אם $\lim a_n/b_n=L\ne 0,\infty$ $\to$ שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים.

אסור לפצל $\sum(a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n$ בלי ידיעה שניהם מתכנסים.

טלסקופי: לפתוח SN ולחשב lim SN.

גיאומטרי: $\sum q^n$ מתכנס אמ"מ |q| < 1, סכומו = a/(1-q).

מעריכים > פולינום >> לוגריתם: $a^n/n^k$ $\to$ 0 לכל a>1, k.

שורש $\leftarro w$ חזקות: $\sum x^n$, $\sum r^n$.

מנה $\leftarro w$ מכפלות/עצרת: $\sum n!$, $\sum a_n$$\cdo t$$b_n$.

אינטגרל $\leftarro w$ כשרואים 'ביטוי והנגזרת שלו'.

שורש/מנה = $1\to$ לא קובע! צריך כלי אחר.

$n^{1/n}\to$ 1 — לזכור לחישוב מבחן שורש.

ל-$n\geq 3$: $\sum$ $1/(n\cdotl n\bet a(n)) —$ מתכנס אמ"מ $\bet a>1 ($מבחן האינטגרל).

⚠ תמיד לקרוא: האם נתון שהטור אי-שלילי? אם לא — כל האינטואיציות מתאפסות!

מבחן ההשוואה רק לטורים אי-שליליים.

לייבניץ: שלושה תנאים — $a_n\geq 0$, $a_n$ יורד, $a_n\to 0$. חסרת 'יורד' $\to$ שגוי!

התכנסות מוחלטת $\Rightarro w$ התכנסות. ההפך לא נכון.

בתוך הרדיוס — מוחלט תמיד. בקצוות — לבדוק ידנית.

שתל אפסים: לדוגמה נגדית עם טור שאינו חיובי.

טריק $(a-b)^2$ $\geq$ 0: כשרואים מכפלה — לחסום עם AM-GM.

$R=1/\limsup |a_n|^{1/n}$ — או עם נוסחת המנה.

בתוך הרדיוס ($|x-x_0|<R$): מתכנס בהחלט תמיד.

בקצוות ($|x-x_0|=R$): יש לבדוק כל קצה בנפרד — יכול להיות כל מצב.

גזירה/אינטגרציה: R לא משתנה, אבל הקצוות — לבדוק מחדש.

טורי מקלורן: eˣ = $\sum x^n$/n!, sin(x) = $\sum (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!$, cos(x) = $\sum (-1)^n x^{2n}/(2n)!$, ln(1+x) = $\sum (-1)^{n+1}x^n/n$, 1/(1-x) = $\sum x^n$.