תובנות, עצות ודוגמאות נגדיות

לופיטל תקף רק בצורה $0/0$ או $\infty/\infty$ — לבדוק תנאים לפני כל שימוש!

כשיש גבול מהצורה $0\cdot\infty$ — להוריד למכנה. איזה ביטוי? ניסוי וטעייה.

אחרי כל לופיטל — עצור ובדוק שהתקדמת. אם לא — שנה כיוון.

גבול חד-צדדי: לבדוק מימין ומשמאל בנפרד כשיש סימן תלוי כיוון.

נגזרת לא יכולה להיות אי-רציפות קפיצה/סליקה — רק אי-רציפות עיקרית (דרבו).

דרבו המורחב = ערך ביניים של הנגזרת — כלי הוכחה חשוב לשאלות 'הוכח שקיים $c$'.

אף פעם אל תניחי שגבול קיים לפני שהוכחת — זו טעות קלאסית!

סדר נכון: (1) מונוטוניות, (2) חסימות, (3) הסקת גבול, (4) חישוב.

בסדרה אסור לעשות לופיטל ישירות — יש להשתמש בכלל היינה.

לסדרה רקורסיבית $a_{n+1}=f(a_n)$: אם $f$ רציפה, הגבול $L$ מקיים $L=f(L)$.

עבור $f(x)=\arctan x$: מתקיים $0 < \arctan x < x$ עבור $x>0$, ולכן הסדרה יורדת ומתכנסת.

החלפת משתנה לא פותרת — רק מעבירה לאינטגרל אחר (בתקווה קל יותר).

לזהות 'ביטוי והנגזרת שלו' — אינטגרציה ישירה.

כשרואים שורש — להציב $t=\sqrt{x}$ (נוח מאוד).

אינטגרציה בחלקים: בחרי $u$ = הפונקציה שנגזרתה פשוטה, ו-$dv$ = מה שנוח לאינטגרציה.

$u$ ו-$dv$ חייבים להיות מסומנים באותו אופן בכל המקרים.

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ היא תמיד רציפה, ואם $f$ רציפה — גם גזירה.

$F'(x)=f(x)$ — ולא $F'(x)=f(b)-f(a)$! זו טעות קלאסית.

שאלה קלאסית: 'הוכח שקיים $c$ כך ש-$F(c)=1$' — משפט ערך הביניים על $F$.

$\int_{-a}^{a} f = 0$ לפונקציה אי-זוגית — המשפט לאינטגרל מסוים בלבד.

$\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f$ לפונקציה זוגית — המשפט לאינטגרל מסוים בלבד.

אסור להשתמש בזה לאינטגרל לא-אמיתי בלי הצדקה.

תמיד לפתוח לפי ההגדרה עם גבול — $\int_a^{\infty} f = \lim_{R\to\infty} \int_a^R f$.

$\int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{0} f + \int_0^{\infty} f$ — שני גבולות נפרדים!

אם אחד מהם מתבדר — כל הביטוי מתבדר.

אסור להשתמש בניוטון-לייבניץ כשיש נקודת אי-רציפות בקטע.

כלל הזוגיות/אי-זוגיות חל על אינטגרל מסוים בלבד, לא אוטומטית על אינטגרל לא-אמיתי.

תנאי הכרחי: אם $\sum a_n$ מתכנס אז $a_n \to 0$. אם $a_n \not\to 0$ אז הטור מתבדר.

טור $p$: $\sum \frac{1}{n^p}$ מתכנס אם ורק אם $p>1$.

מבחן ההשוואה הגבולי (LCT): אם $\lim a_n/b_n = L$ עם $L\neq 0,\infty$ — שני הטורים מתכנסים יחד או מתבדרים יחד.

אסור לפצל $\sum(a_n+b_n) = \sum a_n + \sum b_n$ בלי לדעת ששניהם מתכנסים.

טלסקופי: לפתוח את הסכום החלקי $S_N$ ולחשב $\lim S_N$.

טור גיאומטרי: $\sum q^n$ מתכנס אם ורק אם $|q|<1$, וסכומו $\frac{a}{1-q}$.

מעריכי $\gg$ פולינום $\gg$ לוגריתם: $a^n/n^k \to 0$ לכל $a>1$ ולכל $k$.

מבחן השורש $\leftarro w$ חזקות: $\sum x^n,\ \sum r^n$.

מבחן המנה $\leftarro w$ מכפלות/עצרת: $\sum n!,\ \sum a_n b_n$.

מבחן האינטגרל $\leftarro w$ כשרואים 'ביטוי והנגזרת שלו'.

שורש/מנה $=1$ — לא קובע! צריך כלי אחר.

$n^{1/n} \to 1$ — לזכור לחישוב מבחן השורש.

עבור $n\geq 3$: $\sum \frac{1}{n\,\ln^\beta n}$ מתכנס אם ורק אם $\beta>1$ (מבחן האינטגרל).

⚠ תמיד לקרוא: האם נתון שהטור אי-שלילי? אם לא — כל האינטואיציות מתאפסות!

מבחן ההשוואה רק לטורים אי-שליליים.

לייבניץ: שלושה תנאים — $a_n \geq 0$, $a_n$ יורד, ו-$a_n \to 0$. חסר 'יורד' — הטענה שגויה!

התכנסות בהחלט $\Rightarrow$ התכנסות. ההפך לא נכון.

בתוך הרדיוס — מתכנס בהחלט תמיד. בקצוות — לבדוק ידנית.

שתילת אפסים: לדוגמה נגדית עם טור שאינו אי-שלילי.

טריק $(a-b)^2 \geq 0$: כשרואים מכפלה — לחסום עם אי-שוויון הממוצעים (AM-GM).

$R = 1/\limsup |a_n|^{1/n}$ — או עם נוסחת המנה.

בתוך הרדיוס ($|x-x_0|<R$): מתכנס בהחלט תמיד.

בקצוות ($|x-x_0|=R$): יש לבדוק כל קצה בנפרד — יכול להיות כל מצב.

גזירה/אינטגרציה: $R$ לא משתנה, אבל את הקצוות צריך לבדוק מחדש.

טורי מקלורן: $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$, $\ \sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\ \cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$, $\ \ln(1+x) = \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$, $\ \frac{1}{1-x} = \sum x^n$.