∑
27

Intuition Map

מפת אינטואיציה

דף עבודה שמסביר מה כל ניסוח שאלה באמת מבקש, איזה כלים זמינים, אילו תנאים חייבים לבדוק, ואיך לבחור כיוון לפני חישובים.

מוצגים 13 מתוך 13 שבועות.

Toolbox Tables / טבלת בחירת כלי

ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
מצא תחום התכנסותלא מחפשים סכום. מחפשים עבור אילו ערכי x הטור מייצר מספר סופי.זיהוי טור חזקות, מבחן שורש/מנה, רדיוס, בדיקת קצוותהקצוות נבדקים כטורי מספרים רגילים, כל קצה בנפרד.
מצא סכום / ערך הטורלהחליף את הסיגמה בפונקציה מוכרת בתחום שבו מותר.בנק טורים מוכרים, הצבה, גזירה, אינטגרציה, קבוע לפי x=0הנוסחה תקפה רק בתחום ההתכנסות שנבדק.
בדוק התכנסות בהחלטבודקים האם הטור עם ערכים מוחלטים מתכנס.השוואה, השוואה גבולית, מנה, שורש, אינטגרלאחרי ערך מוחלט עובדים עם איברים אי-שליליים.
בדוק התכנסות בתנאיהטור המקורי מתכנס, אבל הטור המוחלט מתבדר.לייבניץ לטור חלופי ואז הוכחת התבדרות מוחלטתבלייבניץ חייבים איברים אי-שליליים, יורדים, ושואפים לאפס.
השתמש במבחן השוואהלחסום את הטור מלמעלה או מלמטה על ידי טור מוכר.גיאומטרי, הרמוני, p-series, טורי לוגריתםמבחני השוואה ישירים מיועדים לטורים אי-שליליים.
השתמש בהשוואה גבוליתלזהות את סדר הגודל הדומיננטי של האיבר הכללי.בחירת b_n לפי האיבר הדומיננטיהגבול צריך להיות מספר חיובי וסופי כדי להסיק יחד.

מתי גוזרים טור חזקות?

גוזרים כאשר הטור הנוכחי קשה לזיהוי, אבל הגזירה מפשטת מקדמים או מורידה חזקות. המטרה אינה לגזור כי אפשר, אלא להפוך ביטוי זר לטור מוכר.

  • • חלוקה ב-n נעלמת לעיתים אחרי גזירה.
  • • חזקות יורדות ויכולות להפוך לגיאומטרי.
  • • אחרי שמוצאים f', צריך לאינטגרל חזרה ולקבוע קבוע.
xnn→differentiatexn−1\frac{x^n}{n}\xrightarrow{\text{differentiate}}x^{n-1}
x2n+1→differentiate(2n+1)x2nx^{2n+1}\xrightarrow{\text{differentiate}}(2n+1)x^{2n}

מתי מאנטגרלים טור חזקות?

מאנטגרלים כאשר רוצים ליצור מכנים כמו n+1 או 2n+1, או להגיע לדפוסי ln ו-arctan מתוך טור גיאומטרי.

  • • אינטגרציה יוצרת מכנה חדש.
  • • היא שימושית במיוחד מטור גיאומטרי אל ln או arctan.
  • • חייבים לזכור קבוע אינטגרציה ותחום תקפות.
∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
∫11+x2 dx=arctan⁡x\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x

Known Series Bank / בנק טורים מוכרים

גיאומטרי

∑n=0∞xn=11−x,∣x∣<1\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},\quad |x|<1
איך מזהים:
חזקות עוקבות בלי n במכנה או במונה.
מה מוביל אליו:
הצבה t=x^2, t=-x, או הוצאת חזקה קבועה.
הצבות נפוצות:
x, -x, x^2, x-a
טעות נפוצה:
שכחת התנאי |x|<1 או שימוש בנוסחה בקצה.

לוגריתם

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn,−1<x≤1\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n},\quad -1<x\le 1
איך מזהים:
מופיע 1/n עם סימנים מתחלפים.
מה מוביל אליו:
גזירה מסירה 1/n ומחזירה לטור גיאומטרי.
הצבות נפוצות:
x, -x, x^2
טעות נפוצה:
בלבול בין ln(1+x) לבין -ln(1-x).

ארקטנגנס

arctan⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1,−1≤x≤1\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1},\quad -1\le x\le 1
איך מזהים:
חזקות אי-זוגיות עם מכנה 2n+1 וסימן מתחלף.
מה מוביל אליו:
אינטגרציה של 1/(1+x^2).
הצבות נפוצות:
x, x^2, \sqrt{x}
טעות נפוצה:
להחמיץ שהחזקה היא 2n+1 ולא n.

אקספוננט

ex=∑n=0∞xnn!,x∈Re^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb{R}
איך מזהים:
עצרת n! במכנה ללא סימן מתחלף.
מה מוביל אליו:
הצבה ב-x או כפל בקבוע.
הצבות נפוצות:
x, -x, ax
טעות נפוצה:
להפעיל רדיוס סופי למרות שהטור מתכנס לכל x.

סינוס

sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,x∈R\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{R}
איך מזהים:
חזקות אי-זוגיות, עצרת אי-זוגית, סימן מתחלף.
מה מוביל אליו:
גזירה/אינטגרציה מול cos.
הצבות נפוצות:
x, ax, x^2
טעות נפוצה:
בלבול עם cos בגלל התחלה ב-n=0.

קוסינוס

cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,x∈R\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb{R}
איך מזהים:
חזקות זוגיות, עצרת זוגית, סימן מתחלף.
מה מוביל אליו:
גזירה/אינטגרציה מול sin.
הצבות נפוצות:
x, ax, x^2
טעות נפוצה:
שכחת האיבר הראשון 1.

מפה שבועית לפי מבנה הקורס

Week 1 · הרצאה 1 · תרגול 1

גבולות, לופיטל, דרבו

השאלה שואלת האם מותר להחליף ביטוי מסובך בביטוי נגזר פשוט יותר, או האם נגזרת יכולה לקבל ערכי ביניים.

נושאים במפה

גבולות, טורים, נגזרות, סדרות, פונקציות, רציפות

סוגי שאלות

חשב גבול, הוכח קיום נקודה, הוכח/הפרך על נגזרת

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: available, מטלה: available

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • אם אין צורה 0/0 או ∞/∞, לופיטל עדיין לא חוקי.
  • אם הנגזרת אמורה לקפוץ, חשוב דרבו: נגזרת מקיימת ערך ביניים.
  • אם התחום חד-צדדי, בדוק גבולות חד-צדדיים.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
חשב גבוללזהות את הצורה הלא-מוגדרת ולפשטלופיטל, שקילויות, חד-צדדייםלופיטל רק ב-0/0 או ∞/∞.
הוכח שקיים cלהפעיל משפט ערך ביניים על f או f'דרבו, רול, MVTצריך גזירות/רציפות לפי המשפט.

שימוש בלופיטל

מה השאלה שואלת?

האם היחס מתקרב למספר, אינסוף, או לא קיים אחרי שמסירים את הערפול.

Toolbox

  • • בדיקת צורה
  • • גזירת מונה ומכנה
  • • עצירה אחרי כל שלב
  • • מעבר לשיטה אחרת אם הביטוי הסתבך

Conditions

  • • 0/0 או ∞/∞
  • • גזירות בסביבה מנוקבת
  • • מכנה נגזר לא מתאפס בסביבה הנדרשת

איך מזהים?

  • • מילים כמו חשב גבול
  • • שברים עם exp, ln, sin
  • • צורה לא מוגדרת מפורשת

Common mistake

  • • להפעיל לופיטל על 0·∞ בלי המרה לשבר
  • • להמשיך לגזור כשהביטוי נעשה גרוע יותר

Max's note

אחרי כל לופיטל עוצרים ובודקים אם הכיוון באמת השתפר.

KaTeX examples

lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Week 2 · הרצאה 2 · תרגול 2

סדרות, גבולות, רקורסיות

לפני שמחשבים גבול של סדרה, מוכיחים שהגבול בכלל קיים.

נושאים במפה

גבולות, טורים, נגזרות, סדרות, פונקציות, רציפות

סוגי שאלות

מצא גבול סדרה, סדרה רקורסיבית, מונוטוניות וחסימות

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: available, מטלה: available

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • רקורסיה: מונוטוניות וחסימות לפני הצבת L.
  • אם יש שתי תתי-סדרות עם גבולות שונים, אין גבול.
  • Squeeze עובד כששני החסמים הולכים לאותו ערך.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
מצא גבול רקורסיהלהבין לאן התהליך מתייצבאינדוקציה, מונוטוניות, חסימות, משוואת גבולאסור להציב L לפני שהוכח קיום גבול.
הוכח התכנסות סדרהלהראות שהזנב מתייצבמונוטונית וחסומה, קושי, סנדוויץ'צריך חסם מתאים או שליטה בזנב.

סדרה רקורסיבית

מה השאלה שואלת?

האם התהליך מתכנס, ואם כן לאיזה נקודת שיווי משקל.

Toolbox

  • • ניחוש חסם
  • • אינדוקציה
  • • מונוטוניות
  • • משוואה L=f(L)

Conditions

  • • קיום גבול לפני הצבה
  • • שמירה על תחום ההגדרה
  • • בחירת הפתרון שמתאים לחסם

איך מזהים?

  • • a_{n+1}=f(a_n)
  • • נתון a_1
  • • שואלים מצא lim

Common mistake

  • • להניח קיום גבול כשלב ראשון
  • • לקבל פתרון שלא מתאים לסימן או לחסם

Max's note

חישוב L הוא רק טיוטה עד שהוכחה התכנסות.

KaTeX examples

an+1=f(an),L=f(L)a_{n+1}=f(a_n),\quad L=f(L)

Week 3 · הרצאה 3 · תרגול 3

נגזרות גבוהות, MVT, טיילור

השבוע מלמד לבחור בין משפטי ערך ביניים לבין קירוב מקומי בעזרת טיילור.

נושאים במפה

גבולות, טורים, נגזרות, סדרות, פונקציות

סוגי שאלות

הוכחת אי-שוויון, נגזרת מסדר n, פיתוח טיילור, גבול עם שארית

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: available, מטלה: available

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • אי-שוויון על קטע: חשוב MVT או רול.
  • קירוב ליד נקודה: חשוב טיילור.
  • שארית קובעת אם הקירוב באמת מספיק.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
הוכח אי-שוויוןלשלוט בשינוי של פונקציהMVT, רול, מונוטוניות מנגזרתרציפות בקטע סגור וגזירות בפנים.
חשב גבול עם פונקציותלהחליף פונקציה בפולינום מקומיטיילור ושאריתצריך סדר פיתוח מספיק גבוה.

פיתוח טיילור

מה השאלה שואלת?

מה הפונקציה עושה ליד נקודה, עד סדר שגיאה נשלט.

Toolbox

  • • בחירת מרכז
  • • חישוב מקדמים
  • • כתיבת שארית
  • • מחיקת איברים זניחים רק עם הצדקה

Conditions

  • • גזירות מספקת
  • • מרכז מתאים לנקודת הגבול
  • • שארית קטנה מהאיבר המוביל

איך מזהים?

  • • x→0
  • • sin, cos, e^x, ln
  • • ביטול בין איברים מובילים

Common mistake

  • • פיתוח לסדר נמוך מדי
  • • שכחת שארית כשזו שאלת הוכחה

KaTeX examples

Pn(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)kP_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Week 4 · הרצאה 4 · תרגול 4

אינטגרל רימן ו-FTC

האינטגרל הוא פונקציית שטח; שאלות רבות הופכות לשאלות על פונקציה חדשה F.

נושאים במפה

אינטגרלים לא אמיתיים, גבולות, טורים, מבחן ההשוואה, נגזרות, סדרות, פונקציות, רציפות

סוגי שאלות

חשב אינטגרל מסוים, גזור אינטגרל עם גבול משתנה, הוכח קיום בעזרת F

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: available, מטלה: available

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • F(x)=∫_a^x f(t)dt היא פונקציה, ואפשר להפעיל עליה משפטים.
  • בהחלפת משתנה באינטגרל מסוים מחליפים גם גבולות.
  • IBP מתאים כשנגזרת של גורם אחד מפשטת.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
חשב ∫לצבור שטח או להשתמש באנטי-נגזרתFTC, הצבה, חלקיםרציפות/אינטגרביליות לפי המשפט.
גזור ∫ עם x בגבוללהבין איך השטח משתנה כש-x זזFTC2 וכלל השרשרתהאינטגרנד רציף בנקודות הרלוונטיות.

פונקציית שטח

מה השאלה שואלת?

להפוך אינטגרל תלוי-x לפונקציה שאפשר לגזור או להפעיל עליה IVT.

Toolbox

  • • הגדרת F
  • • FTC
  • • IVT/MVT על F
  • • בדיקת ערכי קצה

Conditions

  • • f אינטגרבילית
  • • לגזירה צריך רציפות
  • • גבולות משתנים דורשים כלל שרשרת

איך מזהים?

  • • ∫_a^x
  • • קיים c
  • • נתון על שטח מצטבר

Common mistake

  • • להתייחס ל-F כאל מספר ולא פונקציה
  • • לשכוח נגזרת של גבול פנימי

Max's note

ברגע שמפנימים ש-F היא פונקציה, אפשר לעשות עליה לופיטל, לגרנז' וכלים רגילים.

KaTeX examples

F(x)=∫axf(t) dt,F′(x)=f(x)F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,\quad F'(x)=f(x)

Week 5 · הרצאה 5 · תרגול 5

אינטגרלים לא אמיתיים ושיטות חישוב

השאלה היא האם שטח אינסופי או ליד נקודת בעיה נשאר סופי.

נושאים במפה

אינטגרלים לא אמיתיים, גבולות, טורים, מבחן ההשוואה, נגזרות, סדרות, פונקציות, רציפות

סוגי שאלות

בדוק התכנסות אינטגרל לא אמיתי, חשב אינטגרל עם סינגולריות, פירוק לשברים חלקיים

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: missing, מטלה: available

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • אם יש בעיה בתוך הקטע, מפצלים שם.
  • אינטגרל מ-−∞ עד ∞ הוא שני גבולות נפרדים.
  • ניוטון-לייבניץ דורש רציפות בקטע.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
בדוק ∫ לא אמיתיהאם השטח ליד הבעיה סופיגבול, השוואה, p-integralפיצול בכל נקודת אי-רציפות או אינסוף.
חשב פונקציה רציונליתלפרק לביטויים עם אנטי-נגזרות מוכרותשברים חלקייםפירוק מכנה לגורמים ומקדמים נכונים.

אינטגרל לא אמיתי

מה השאלה שואלת?

האם הגבול של שטחים חלקיים קיים וסופי.

Toolbox

  • • זיהוי נקודות בעיה
  • • פיצול
  • • השוואה
  • • חישוב גבול

Conditions

  • • כל חלק חייב להתכנס
  • • לא משתמשים בערך ראשי במקום אינטגרל רגיל
  • • זוגיות לא מצילה סינגולריות

איך מזהים?

  • • ∞ בגבול
  • • פונקציה לא מוגדרת בנקודה
  • • שורש או חזקה במכנה

Common mistake

  • • ∫_{-1}^{1}1/x dx=0
  • • פיצול לא מוצדק של ביטויים מתבדרים

Max's note

כל המשפטים של אינטגרל מסוים לא עוברים אוטומטית לאינטגרלים לא אמיתיים.

KaTeX examples

∫−∞∞f=∫−∞0f+∫0∞f\int_{-\infty}^{\infty}f=\int_{-\infty}^{0}f+\int_0^{\infty}f

Week 6 · הרצאה 6 · תרגול 6

טורים בסיסיים, השוואה ואינטגרל

לא מחשבים את סכום הטור; מחליטים אם סכומי הזנב מתייצבים.

נושאים במפה

גבולות, טורים, מבחן ההשוואה, סדרות, פונקציות, רציפות

סוגי שאלות

קבע התכנסות, טור טלסקופי, השוואה, מבחן האינטגרל

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: available, מטלה: available

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • אם a_n לא שואף לאפס, הטור מתבדר מיד.
  • השוואה דורשת איברים אי-שליליים.
  • טלסקופי פותרים דרך סכום חלקי, לא דרך פיצול טורים אינסופיים.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
קבע התכנסות טור חיובילזהות האם הזנב מספיק קטןp-series, גיאומטרי, השוואה, LCTa_n≥0 לפחות מאינדקס מסוים.
מבחן אינטגרללהחליף סכום בשטח דומהפונקציה חיובית יורדתחיוביות, רציפות וירידה.

בחירת מבחן לטור חיובי

מה השאלה שואלת?

האם האיבר הכללי מתנהג כמו טור מוכר.

Toolbox

  • • בדיקת a_n→0
  • • p-series
  • • גיאומטרי
  • • השוואה
  • • השוואה גבולית
  • • אינטגרל

Conditions

  • • אי-שליליות
  • • ב-LCT גבול חיובי וסופי
  • • באינטגרל פונקציה יורדת

איך מזהים?

  • • שברים עם פולינומים
  • • שורשים
  • • ln n
  • • ביטוי שנראה כמו פונקציה יורדת

Common mistake

  • • לחשוב ש-a_n→0 מספיק להתכנסות
  • • להפריד ∑(a_n-b_n) בלי ששני הטורים מתכנסים

Max's note

אסור לפצל טור אינסופי לשניים לפני שיודעים שהפיצול חוקי.

KaTeX examples

∑n=1∞1np⟺p>1\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\quad\Longleftrightarrow\quad p>1

Week 7 · הרצאה 7 · תרגול 7

מנה, שורש, לייבניץ ומבוא לרדיוס

עצרת ומכפלות מבקשות מנה; חזקות n מבקשות שורש; סימן מתחלף מבקש לייבניץ.

נושאים במפה

אינטגרלים לא אמיתיים, גבולות, התכנסות בהחלט, התכנסות בתנאי, טורים, מבחן ההשוואה, מבחן המנה, מבחן השורש, נגזרות, סדרות, פונקציות

סוגי שאלות

מבחן מנה, מבחן שורש, טור חלופי, רדיוס התכנסות

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: available, מטלה: available

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • n! או מכפלה → מנה.
  • (...)^n → שורש.
  • אם המבחן נותן 1, הוא לא קובע.
  • קצוות רדיוס לא נפתרים אוטומטית.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
טור עם n!האם היחס בין איברים עוקבים קטן מ-1מבחן מנהL<1 מתכנס, L>1 מתבדר, L=1 לא קובע.
טור עם חזקה nמה הבסיס האפקטיבי של האיברמבחן שורשעובדים על |a_n|.

מנה מול שורש

מה השאלה שואלת?

איזה מבחן יעלים את המבנה המסובך הכי מהר.

Toolbox

  • • מנה לעצרת
  • • שורש לחזקות n
  • • השוואת סדרי גודל
  • • בדיקת מקרה L=1

Conditions

  • • המבחנים קובעים רק אם L≠1
  • • בטורים עם סימנים בודקים מוחלט אם צריך

איך מזהים?

  • • n!
  • • 1·4·7···
  • • n^n
  • • (\frac{n}{n+1})^n

Common mistake

  • • להסיק משהו מ-L=1
  • • לשכוח ערך מוחלט במבחן

Max's note

כשאת רואה מכפלות או עצרת, דבר ראשון מבחן המנה.

KaTeX examples

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

Week 8 · הרצאה 8 · תרגול 8

התכנסות בהחלט, בתנאי וקצוות

ברגע שאין אי-שליליות, קודם מפרידים בין הטור המקורי לבין הטור המוחלט.

נושאים במפה

גבולות, התכנסות בהחלט, התכנסות בתנאי, טורים, מבחן ההשוואה, מבחן השורש, סדרות

סוגי שאלות

בדוק בהחלט/בתנאי, לייבניץ, הוכח/הפרך, בדיקת קצוות תחום

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: multiple, מטלה: missing

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • התכנסות בהחלט גוררת התכנסות.
  • התכנסות בתנאי יכולה לקרות רק כשהמוחלט מתבדר.
  • לייבניץ בלי ירידה לא מספיק.
  • אם אין אי-שליליות, השוואה ישירה מסוכנת.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
התכנסות בהחלטהאם ∑|a_n| מתכנסהשוואה, מנה, שורש, אינטגרלאחרי ערך מוחלט יש טור אי-שלילי.
התכנסות בתנאיהמקורי מתכנס אך המוחלט לאלייבניץ + הוכחת התבדרות מוחלטתa_n≥0, יורד, a_n→0.

שאלת בהחלט או בתנאי

מה השאלה שואלת?

האם הסימנים באמת עוזרים להתכנסות, או שהטור חזק מספיק גם בלי סימנים.

Toolbox

  • • בדיקת ∑|a_n|
  • • אם מתכנס: בהחלט
  • • אם מתבדר: בדיקת המקורי
  • • לייבניץ או טריקים של סוגריים

Conditions

  • • לייבניץ דורש ירידה
  • • השוואה רק אחרי אי-שליליות
  • • בקצוות אין כלל אוטומטי

איך מזהים?

  • • (-1)^n
  • • sin n
  • • תחום התכנסות עם x=±R
  • • המילים בהחלט/בתנאי

Common mistake

  • • לדלג על התבדרות המוחלט
  • • להשתמש בלייבניץ בלי ירידה
  • • להניח שכל טור מתחלף מתכנס

Max's note

מקס הדגיש: לקרוא אם נתון שהטור אי-שלילי. בלי זה כל אינטואיציית ההשוואה משתנה.

KaTeX examples

∑(−1)nanan↓0\sum (-1)^n a_n\quad a_n\downarrow 0

Week 9 · הרצאה 9 · תרגול 9

טורי חזקות, טיילור ומקלורן

קודם מוצאים איפה הטור עובד; רק אחר כך מנסים לזהות איזו פונקציה הוא מייצג.

נושאים במפה

גבולות, התכנסות בתנאי, טורי חזקות, טורים, מבחן ההשוואה, מבחן המנה, מבחן השורש, סדרות, פונקציות, רדיוס התכנסות

סוגי שאלות

מצא רדיוס, מצא תחום התכנסות, מצא סכום טור, פתח טיילור, חשב נגזרת ממקדם

סטטוס חומרים

הרצאה: available, תרגול: available, מטלה: missing

Short rules / אם רואים את זה → חושבים על זה

  • |x-x0|<R הוא רק האינטרוול הפנימי.
  • קצוות בודקים מחדש.
  • גזירה ואינטגרציה לא משנות R, אבל כן דורשות בדיקת קצוות מחדש.
  • אם רואים 1/n, שקול גזירה; אם רוצים 1/(n+1), שקול אינטגרציה.
ניסוח שאלהמה זה אומרToolboxתנאים
מצא תחום התכנסותעבור אילו x הטור מייצר מספרמנה/שורש, רדיוס, קצוותקצוות כטורי מספרים רגילים.
מצא סכוםלהחליף סיגמה בפונקציה מוכרתבנק טורים, הצבה, גזירה, אינטגרציהלציין תחום שבו הנוסחה תקפה.

תחום התכנסות

מה השאלה שואלת?

לא מה סכום הטור, אלא איפה הביטוי האינסופי חוקי.

Toolbox

  • • זיהוי מרכז x_0
  • • מבחן שורש או מנה
  • • פתרון |x-x_0|<R
  • • בדיקת x=x_0±R

Conditions

  • • בתוך הרדיוס התכנסות בהחלט
  • • בקצוות אין קיצור דרך
  • • אם x^{2n}, אפשר t=x^2

איך מזהים?

  • • \sum a_n(x-x_0)^n
  • • מצא תחום/רדיוס
  • • x^n או (x-a)^n

Common mistake

  • • לשכוח קצוות
  • • להחזיר R במקום תחום
  • • לא לתרגם חזרה מהצבה t

KaTeX examples

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
∣x−x0∣<R|x-x_0|<R
R=1lim⁡n→∞∣an∣nR=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}

מציאת ערך הטור

מה השאלה שואלת?

אחרי שיודעים איפה הטור מתכנס, רוצים להסיר את הסיגמה ולהגיע לפונקציה מוכרת.

Toolbox

  • • התאמה לבנק טורים
  • • הצבה
  • • גזירה להסרת n במכנה
  • • אינטגרציה ליצירת מכנים
  • • קבוע לפי x=0

Conditions

  • • עובדים בתוך תחום ההתכנסות
  • • אחרי אינטגרציה מוסיפים קבוע
  • • בסוף מציינים תחום

איך מזהים?

  • • מצא את הסכום
  • • חשב \sum
  • • טור דומה ל-ln/arctan/geometric

Common mistake

  • • למצוא נוסחה בלי תחום
  • • לשכוח קבוע אינטגרציה
  • • להבדיל בין ערך הטור לבין תחום התכנסות

KaTeX examples

f(x)=∑n=1∞xnnf(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
f′(x)=∑n=1∞xn−1=11−xf'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}
f(x)=−ln⁡(1−x)f(x)=-\ln(1-x)

Week 10 · הרצאה 10 · תרגול 10

שבוע ללא חומרים זמינים לניתוח אינטואיציה

במפת הקורס השבוע קיים, אך לא נמצאו עבורו חומרים מועלים מספיקים לבניית בלוק אינטואיציה אמין.

נושאים במפה

לא זוהו נושאים

סוגי שאלות

אין בלוק אינטואיציה ידני לשבוע זה

סטטוס חומרים

הרצאה: missing, תרגול: missing, מטלה: missing

Week 11 · הרצאה 11 · תרגול 11

שבוע ללא חומרים זמינים לניתוח אינטואיציה

במפת הקורס השבוע קיים, אך לא נמצאו עבורו חומרים מועלים מספיקים לבניית בלוק אינטואיציה אמין.

נושאים במפה

לא זוהו נושאים

סוגי שאלות

אין בלוק אינטואיציה ידני לשבוע זה

סטטוס חומרים

הרצאה: missing, תרגול: missing, מטלה: missing

Week 12 · הרצאה 12 · תרגול 12

שבוע ללא חומרים זמינים לניתוח אינטואיציה

במפת הקורס השבוע קיים, אך לא נמצאו עבורו חומרים מועלים מספיקים לבניית בלוק אינטואיציה אמין.

נושאים במפה

לא זוהו נושאים

סוגי שאלות

אין בלוק אינטואיציה ידני לשבוע זה

סטטוס חומרים

הרצאה: missing, תרגול: missing, מטלה: missing

Week 13 · הרצאה 13 · תרגול 13

שבוע ללא חומרים זמינים לניתוח אינטואיציה

במפת הקורס השבוע קיים, אך לא נמצאו עבורו חומרים מועלים מספיקים לבניית בלוק אינטואיציה אמין.

נושאים במפה

לא זוהו נושאים

סוגי שאלות

אין בלוק אינטואיציה ידני לשבוע זה

סטטוס חומרים

הרצאה: missing, תרגול: missing, מטלה: missing