Mentora
0

Week Map

מפת 13 השבועות

לחצי על שבוע לצפייה בסיכום הרצאה, תרגול ומטלה. שבוע N כולל את הרצאה N-1, תרגול N ומטלה N (שבוע 1 — תרגול ומטלה בלבד).

10

שבועות זמינים

3

שבועות חסרים

4

סימולציות

מבנה הקורס: שבוע 1 נפתח בתרגול 1 ומטלה 1 (ללא הרצאה). מכאן והלאה, שבוע N כולל את הרצאה N-1, תרגול N ומטלה N.
1שבוע 1
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
גבולותטוריםנגזרותסדרות
ללא הרצאהתרגול 1
2שבוע 2
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
גבולותטוריםנגזרותסדרות
הרצאה 1תרגול 2
3שבוע 3
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
גבולותטוריםנגזרותסדרות
הרצאה 2תרגול 3
4שבוע 4
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
אינטגרלים לא אמיתייםגבולותהתכנסות בהחלטטורים
הרצאה 3תרגול 4
5שבוע 5
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
אינטגרלים לא אמיתייםגבולותטוריםמבחן ההשוואה
הרצאה 4תרגול 5
6שבוע 6
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
אינטגרלים לא אמיתייםגבולותטוריםמבחן ההשוואה
הרצאה 5תרגול 6
7שבוע 7
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
אינטגרלים לא אמיתייםגבולותהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאי
הרצאה 6תרגול 7
8שבוע 8
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
גבולותהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיטורים
הרצאה 7תרגול 8
9שבוע 9
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
גבולותהתכנסות בהחלטהתכנסות בתנאיטורי חזקות
הרצאה 8תרגול 9
10שבוע 10
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
גבולותטורי חזקותטוריםמבחן המנה
הרצאה 9תרגול 10
11שבוע 11
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
הרצאה 10תרגול 11
12שבוע 12
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
ללא הרצאהתרגול 12
13שבוע 13
הרצאה
תרגול
מטלה
סיכום
ללא הרצאהתרגול 13

טבלאות משפטים — אינפי ב

כל שורה כתובה כמו משפט קצר לזכור: מה המשפט אומר, ומה הסימן/הנוסחה שכדאי לזהות במבחן.

הרצאה 1 — סדרות, גבולות, מונוטוניות ותתי־סדרות
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
הגדרת סדרהסדרה היא פונקציה שהקלט שלה הוא אינדקס טבעי והפלט שלה הוא איבר ממשי.a:N→R,an=a(n)a: \mathbb{N}\to\mathbb{R},\quad a_n=a(n)
גבול סדרההסדרה מתכנסת ל־LL אם החל ממקום מסוים כל איבריה קרובים ל־LL כמה שנרצה.∀ε>0 ∃N ∀n≥N:∣an−L∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N: |a_n-L|<\varepsilon
סדרה חסומהסדרה חסומה אם כל איבריה נשארים בתוך תחום מספרי קבוע ולא “בורחים” לאינסוף.∃M>0: ∣an∣≤M\exists M>0:\ |a_n|\le M
גבול אינסופיan→∞a_n\to\infty אומר שלכל רף MM, החל ממקום מסוים כל איברי הסדרה גדולים ממנו.∀M>0 ∃N ∀n≥N:an>M\forall M>0\ \exists N\ \forall n\ge N: a_n>M
התבדרותסדרה מתבדרת אם אין לה גבול ממשי; ייתכן שהיא שואפת ל־±∞\pm\infty או פשוט לא מתכנסת.למשל (−1)n(-1)^n לא מתכנסת כי הזוגיים והאי־זוגיים נותנים גבולות שונים.
סדרה עולה / יורדתמונוטוניות מתארת האם הסדרה תמיד עולה או תמיד יורדת החל מהאיבר הראשון או ממקום מסוים.an+1≥ana_{n+1}\ge a_n עולה, an+1≤ana_{n+1}\le a_n יורדת
משפט מונוטונית חסומהסדרה עולה וחסומה מלעיל מתכנסת, וסדרה יורדת וחסומה מלרע מתכנסת.עולה → הגבול הוא ה־sup⁡\sup; יורדת → הגבול הוא ה־inf⁡\inf.
משפט 1 — עולהאם (an)(a_n) עולה ומתכנסת, הגבול שלה הוא החסם העליון הקטן ביותר של איברי הסדרה.lim⁡an=sup⁡{an:n≥k}\lim a_n=\sup\{a_n:n\ge k\}
משפט 2 — יורדתאם (an)(a_n) יורדת ומתכנסת, הגבול שלה הוא החסם התחתון הגדול ביותר של איברי הסדרה.lim⁡an=inf⁡{an:n≥k}\lim a_n=\inf\{a_n:n\ge k\}
משפט 3 — הזזההזזה של הסדרה במספר קבוע של איברים לא משנה את הגבול שלה.lim⁡an+k=lim⁡an\lim a_{n+k}=\lim a_n
תת־סדרהתת־סדרה מתקבלת מבחירת אינדקסים עולים מתוך הסדרה המקורית.bk=ank,n1<n2<…b_k=a_{n_k},\quad n_1<n_2<\dots
משפט 4 — ירושה לתתי־סדרותאם סדרה מתכנסת ל־LL, אז כל תת־סדרה שלה מתכנסת גם היא ל־LL.גבול של סדרה “עובר בירושה” לכל תת־סדרה.
משפט 5 — זוגי ואי־זוגיאם תת־הסדרה הזוגית והאי־זוגית מתכנסות לאותו גבול, אז כל הסדרה מתכנסת לאותו גבול.a2k→L, a2k−1→L⇒an→La_{2k}\to L,\ a_{2k-1}\to L\Rightarrow a_n\to L
הרצאה 2 — אינטגרל לא מסוים, סכומי רימן ואינטגרביליות
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
פונקציה קדומהפונקציה FF היא קדומה של ff אם הנגזרת שלה מחזירה את ff.F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)
אינטגרל לא מסויםאינטגרל לא מסוים הוא כל משפחת הקדומות של הפונקציה.∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx=F(x)+C
משפט 1 — קדומות נבדלות בקבועאם FF ו־GG קדומות של אותה פונקציה על קטע, הן נבדלות רק בקבוע.F′(x)=G′(x)⇒F(x)=G(x)+CF'(x)=G'(x)\Rightarrow F(x)=G(x)+C
לינאריות באינטגרל לא מסויםאינטגרל של צירוף לינארי הוא הצירוף הלינארי של האינטגרלים.∫(αf+βg)=α∫f+β∫g\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g
אינטגרציה בחלקיםכשיש מכפלה של פונקציות, מחליפים אינטגרל של מכפלה באיבר קצה פחות אינטגרל חדש.∫u′v=uv−∫uv′\int u'v=uv-\int uv'
הצבהכשיש פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית שלה, מחליפים למשתנה חדש.∫g(F(x))F′(x)dx=∫g(t)dt\int g(F(x))F'(x)dx=\int g(t)dt
חלוקהחלוקה שוברת את הקטע לתת־קטעים שעליהם נבנים מלבנים.P=(x0,…,xn), a=x0<⋯<xn=bP=(x_0,\dots,x_n),\ a=x_0<\dots<x_n=b
סכום עליוןבסכום עליון לוקחים בכל תת־קטע את הערך הכי גבוה של הפונקציה.S‾(f,P)=∑Mk(xk−xk−1)\overline S(f,P)=\sum M_k(x_k-x_{k-1})
סכום תחתוןבסכום תחתון לוקחים בכל תת־קטע את הערך הכי נמוך של הפונקציה.S‾(f,P)=∑mk(xk−xk−1)\underline S(f,P)=\sum m_k(x_k-x_{k-1})
אינטגרביליותפונקציה אינטגרבילית אם הסכום העליון והתחתון שלה יכולים להיפגש לאותו מספר.I‾(f)=I‾(f)\underline I(f)=\overline I(f)
רציפה ⇒ אינטגרביליתאם ff רציפה על קטע סגור, אז היא אינטגרבילית עליו.כל פונקציה רציפה על [a,b][a,b] היא “מספיק טובה” לאינטגרל.
משפט 3 — פונקציה קבועהאינטגרל של פונקציה קבועה הוא גובה כפול רוחב.∫abc dx=c(b−a)\int_a^b c\,dx=c(b-a)
הרצאה 3 — תכונות אינטגרל מסוים, המשפט היסודי וניוטון־לייבניץ
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
לינאריותאינטגרל של סכום וכפל בסקלר מתפרק לסכום וכפל של אינטגרלים.∫ab(αf+βg)=α∫abf+β∫abg\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g
מונוטוניותאם פונקציה אחת קטנה מהשנייה בכל נקודה, אז גם האינטגרל שלה קטן יותר.f≤g⇒∫abf≤∫abgf\le g\Rightarrow \int_a^b f\le\int_a^b g
פיצול קטעיםאינטגרל על קטע שלם שווה לסכום האינטגרלים על חלקי הקטע.∫acf=∫abf+∫bcf\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f
החלפת גבולותהחלפת סדר הגבולות משנה רק את הסימן של האינטגרל.∫baf=−∫abf\int_b^a f=-\int_a^b f
קטע באורך אפסאינטגרל מנקודה לעצמה תמיד שווה אפס.∫aaf=0\int_a^a f=0
שינוי בנקודות סופיותשינוי של ערך הפונקציה במספר סופי של נקודות לא משנה אינטגרביליות ולא משנה את האינטגרל.מותר “לתקן” נקודה בעייתית כמו sin⁡xx\frac{\sin x}{x} ב־x=0x=0.
משפט 2 — ערך מוחלטהערך המוחלט של האינטגרל חסום על ידי האינטגרל של הערך המוחלט.∣∫abf∣≤∫ab∣f∣\left|\int_a^b f\right|\le\int_a^b |f|
משפט 3 — ערך ממוצע לאינטגרליםאם ff רציפה, אז יש נקודה שבה הפונקציה שווה לערך הממוצע שלה על הקטע.∃c∈[a,b]: f(c)=1b−a∫abf(x)dx\exists c\in[a,b]:\ f(c)=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx
משפט 4 — פונקציית השטח רציפהאם ff אינטגרבילית, אז פונקציית השטח המצטבר F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^x f(t)dt רציפה.אינטגרביליות מספיקה לרציפות של פונקציית השטח.
משפט 5 — המשפט היסודיהמשפט היסודי אומר ש־F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^x f(t)dt היא קדומה של ff, אם ff רציפה.F′(x0)=f(x0)F'(x_0)=f(x_0)
משפט 6 — ניוטון־לייבניץכדי לחשב אינטגרל מסוים של פונקציה רציפה, מוצאים קדומה ומציבים עליון פחות תחתון.∫abf(x)dx=G(b)−G(a)\int_a^b f(x)dx=G(b)-G(a)
הרצאה 4 — אינטגרציה בחלקים, הצבה ואינטגרלים לא אמיתיים
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
משפט 1 — חלקים במסויםבאינטגרל מסוים של מכפלה משתמשים בקדומות ובאיבר קצה כדי להחליף אינטגרל קשה באינטגרל נוח יותר.∫abu′(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x)dx\int_a^b u'(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)dx
משפט 2 — הצבה במסויםבהצבה באינטגרל מסוים חייבים לשנות גם את גבולות האינטגרל לפי ההצבה.∫abg(f(x))f′(x)dx=∫f(a)f(b)g(t)dt\int_a^b g(f(x))f'(x)dx=\int_{f(a)}^{f(b)}g(t)dt
אינטגרל לא אמיתי ב־∞\inftyאינטגרל עד אינסוף מוגדר כגבול של אינטגרלים מסוימים עד נקודת קצה הולכת וגדלה.∫a∞f=lim⁡b→∞∫abf\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f
אינטגרל לא אמיתי ב־−∞-\inftyאינטגרל מ־−∞-\infty מוגדר כגבול שבו הגבול התחתון הולך שמאלה לאינסוף.∫−∞bf=lim⁡a→−∞∫abf\int_{-\infty}^b f=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f
כל הישראינטגרל על כל R\mathbb R מתכנס רק אם שני הצדדים מתכנסים בנפרד.∫−∞∞f=∫−∞0f+∫0∞f\int_{-\infty}^{\infty}f=\int_{-\infty}^{0}f+\int_{0}^{\infty}f
אי־רציפות פנימיתאם יש בעיה בתוך הקטע, מפרקים את האינטגרל לשני גבולות חד־צדדיים סביב נקודת הבעיה.lim⁡δ→0+∫ac−δf+lim⁡δ→0+∫c+δbf\lim_{\delta\to0^+}\int_a^{c-\delta}f+\lim_{\delta\to0^+}\int_{c+\delta}^{b}f
בעיה בקצה שמאלאם הפונקציה לא חסומה ליד aa, מתקרבים ל־aa מימין עם גבול.∫abf=lim⁡δ→0+∫a+δbf\int_a^b f=\lim_{\delta\to0^+}\int_{a+\delta}^{b}f
בעיה בקצה ימיןאם הפונקציה לא חסומה ליד bb, מתקרבים ל־bb משמאל עם גבול.∫abf=lim⁡δ→0+∫ab−δf\int_a^b f=\lim_{\delta\to0^+}\int_a^{b-\delta}f
אינטגרל pp באינסוףהאינטגרל ∫1∞1xpdx\int_1^\infty\frac{1}{x^p}dx מתכנס רק כאשר החזקה גדולה מ־1.p>1⇒מתכנס,p≤1⇒מתבדרp>1\Rightarrow\text{מתכנס},\quad p\le1\Rightarrow\text{מתבדר}
אינטגרל pp ליד אפסהאינטגרל ∫011xpdx\int_0^1\frac{1}{x^p}dx מתכנס רק כאשר החזקה קטנה מ־1.p<1⇒מתכנס,p≥1⇒מתבדרp<1\Rightarrow\text{מתכנס},\quad p\ge1\Rightarrow\text{מתבדר}
מבחן השוואה לאינטגרליםאם 0≤f≤g0\le f\le g, אז התכנסות של הגדול גוררת התכנסות של הקטן, והתבדרות של הקטן גוררת התבדרות של הגדול.מתכנס מלמעלה, מתבדר מלמטה.
הרצאה 5 — טורים: הגדרות, גיאומטרי, טלסקופי, הרמוני, השוואה
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
טור גיאומטריטור גיאומטרי מתכנס רק כשהבסיס בערך מוחלט קטן מ־1, ואז סכומו הוא 11−q\frac1{1-q}.∑n=0∞qn=11−q  ⟺  ∣q∣<1\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac1{1-q}\iff |q|<1
טור טלסקופיבטור טלסקופי רוב האיברים מצטמצמים, ונשארים רק איברי קצה.מחפשים פירוק כמו 1n(n−1)=1n−1−1n\frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n.
הגדרת טורטור הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים שלו.SN=∑n=kNan,∑n=k∞an=lim⁡N→∞SNS_N=\sum_{n=k}^N a_n,\quad \sum_{n=k}^{\infty}a_n=\lim_{N\to\infty}S_N
טור מתכנסטור מתכנס אם סדרת הסכומים החלקיים שלו מתכנסת למספר ממשי.בודקים את SNS_N, לא רק את ana_n.
הטור ההרמוניהטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שלו שואף ל־0.∑n=1∞1n=∞\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n=\infty
שינוי מספר סופי של איבריםמחיקה או הוספה של מספר סופי של איברים לא משנה התכנסות או התבדרות של טור, אלא רק את סכומו.תחילת הטור לא קובעת התכנסות.
לינאריות טוריםאם שני טורים מתכנסים, אז גם כל צירוף לינארי שלהם מתכנס וסכומו הוא הצירוף של הסכומים.∑(αan+βbn)=α∑an+β∑bn\sum(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha\sum a_n+\beta\sum b_n
הכרחי להתכנסותאם טור מתכנס, אז האיבר הכללי חייב לשאוף ל־0.∑an מתכנס⇒an→0\sum a_n\text{ מתכנס}\Rightarrow a_n\to0
לא מספיקan→0a_n\to0 לא מספיק כדי שהטור יתכנס.דוגמה קלאסית: ∑1n\sum\frac1n.
טור חיוביבטור עם איברים אי־שליליים, סדרת הסכומים החלקיים עולה ולכן או שהיא מתכנסת או שואפת לאינסוף.לטורים חיוביים אפשר להשתמש ב־sup⁡\sup של הסכומים החלקיים.
מבחן השוואהאם 0≤an≤bn0\le a_n\le b_n, אז התכנסות של ∑bn\sum b_n גוררת התכנסות של ∑an\sum a_n, והתבדרות של ∑an\sum a_n גוררת התבדרות של ∑bn\sum b_n.מתכנס מלמעלה, מתבדר מלמטה.
טור ppהטור ∑1np\sum\frac1{n^p} מתכנס רק אם p>1p>1.p>1⇒מתכנס,p≤1⇒מתבדרp>1\Rightarrow\text{מתכנס},\quad p\le1\Rightarrow\text{מתבדר}
מבחן ההשוואה הגבוליאם היחס בין שני טורים חיוביים שואף למספר חיובי סופי, אז הם מתנהגים אותו דבר מבחינת התכנסות.lim⁡anbn=L, 0<L<∞\lim\frac{a_n}{b_n}=L,\ 0<L<\infty
הרצאה 6 — מבחני התכנסות: השוואה גבולית, שורש, מנה ואינטגרל
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
מבחן השוואה גבוליאם an,bn>0a_n,b_n>0 והיחס anbn\frac{a_n}{b_n} שואף ל־L∈(0,∞)L\in(0,\infty), שני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד.0<L<∞⇒∑an∼∑bn0<L<\infty\Rightarrow \sum a_n\sim\sum b_n
השוואה גבולית — L=0L=0אם anbn→0\frac{a_n}{b_n}\to0, אז ana_n קטן משמעותית מ־bnb_n, ולכן התכנסות של ∑bn\sum b_n גוררת התכנסות של ∑an\sum a_n.קטן ביחס לטור מתכנס ⇒ מתכנס.
השוואה גבולית — L=∞L=\inftyאם anbn→∞\frac{a_n}{b_n}\to\infty, אז ana_n גדול משמעותית מ־bnb_n, ולכן התבדרות של ∑bn\sum b_n גוררת התבדרות של ∑an\sum a_n.גדול ביחס לטור מתבדר ⇒ מתבדר.
מבחן השורשבטור חיובי, אם השורש ה־nn-י של ana_n שואף למספר קטן מ־1 הטור מתכנס, ואם גדול מ־1 הטור מתבדר.L=lim⁡annL=\lim\sqrt[n]{a_n}
שורש — מקרה גבוליאם במבחן השורש מתקבל L=1L=1, המבחן לא מכריע.צריך מבחן אחר.
מבחן המנהבטור חיובי, אם יחס איברים עוקבים קטן מ־1 בגבול הטור מתכנס, ואם גדול מ־1 הטור מתבדר.L=lim⁡an+1anL=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}
מנה — מקרה גבוליאם במבחן המנה מתקבל L=1L=1, המבחן לא מכריע.בדרך כלל עוברים להשוואה/אינטגרל/שורש.
מבחן אינטגרלאם ff חיובית, יורדת ושואפת ל־0, אז הטור ∑f(n)\sum f(n) והאינטגרל ∫f\int f מתכנסים או מתבדרים יחד.∑n=k∞f(n)↔∫k∞f(x)dx\sum_{n=k}^{\infty}f(n)\leftrightarrow \int_k^{\infty} f(x)dx
שימוש ב־pp-seriesכשמופיע 1np\frac1{n^p}, משווים מיד לטור pp.p>1p>1 מתכנס, p≤1p\le1 מתבדר.
הרצאה 7 — מבחן אינטגרל, התכנסות בהחלט וטורים מתחלפים
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
מבחן אינטגרללטור שמגיע מפונקציה חיובית יורדת ושואפת לאפס יש אותה התנהגות כמו האינטגרל הלא־אמיתי שלה.∑f(n)\sum f(n) מתכנס   ⟺  ∫f(x)dx\iff \int f(x)dx מתכנס
התכנסות בהחלטטור מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים שלו מתכנס.∑∣an∣<∞\sum |a_n|<\infty
בהחלט ⇒ רגילאם טור מתכנס בהחלט, אז הוא מתכנס גם בלי הערך המוחלט.∑∣an∣ מתכנס⇒∑an מתכנס\sum |a_n|\text{ מתכנס}\Rightarrow\sum a_n\text{ מתכנס}
התכנסות בתנאיטור מתכנס בתנאי אם הוא מתכנס, אבל לא מתכנס בהחלט.מתכנס רגיל + הערכים המוחלטים מתבדרים.
טור מתחלףטור מהצורה ∑(−1)n+1an\sum(-1)^{n+1}a_n נקרא מתחלף כאשר an≥0a_n\ge0.הסימנים מתחלפים פלוס/מינוס.
מבחן לייבניץאם ana_n יורדת לאפס, אז הטור המתחלף ∑(−1)n+1an\sum(-1)^{n+1}a_n מתכנס.an↓0⇒∑(−1)n+1an מתכנסa_n\downarrow0\Rightarrow\sum(-1)^{n+1}a_n\text{ מתכנס}
הערכת סכום בלייבניץסכום של טור מתחלף נמצא בין סכומים חלקיים זוגיים ואי־זוגיים, והשגיאה חסומה על ידי האיבר הבא.∣S−SN∣≤aN+1|S-S_N|\le a_{N+1}
ההרמוני המתחלף∑(−1)n+11n\sum(-1)^{n+1}\frac1n מתכנס בתנאי: מתכנס לפי לייבניץ אבל לא בהחלט.∑1n מתבדר\sum \frac1n\text{ מתבדר}
הרצאה 8 — קיבוץ טורים, טורי חזקות ורדיוס התכנסות
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
קיבוץ איבריםקיבוץ של איברים עוקבים בטור מתכנס לא משנה את סכום הטור, אבל קיבוץ יכול להיות מסוכן אם הטור לא מתכנס.מותר לקבץ בבטחה אחרי שיודעים שהטור מתכנס.
טור חזקותטור חזקות הוא טור שבו המשתנה מופיע בחזקות סביב מרכז x0x_0.∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
במרכז הטורבטור חזקות תמיד יש התכנסות ב־x=x0x=x_0, כי כל החזקות מתאפסות ונשאר a0a_0.x=x0⇒∑an(x−x0)n=a0x=x_0\Rightarrow\sum a_n(x-x_0)^n=a_0
למת אבלאם טור חזקות מתכנס בנקודה אחת, אז הוא מתכנס בהחלט בכל נקודה קרובה יותר למרכז.התכנסות בנקודה גוררת התכנסות פנימה.
רדיוס התכנסותרדיוס ההתכנסות הוא המרחק מהמרכז עד הקצה שבו הטור עובר ממתכנס למתבדר.∣x−x0∣<R|x-x_0|<R מתכנס, ∣x−x0∣>R|x-x_0|>R מתבדר
אפשרויות לרדיוסרדיוס התכנסות יכול להיות 00, מספר חיובי סופי, או ∞\infty.R=0R=0: רק המרכז; R=∞R=\infty: כל R\mathbb R.
קצוות התחוםבנקודות ∣x−x0∣=R|x-x_0|=R הרדיוס לא מכריע וצריך לבדוק כל קצה בנפרד.קצוות תמיד בדיקה נפרדת.
נוסחת קושי־הדמראפשר למצוא רדיוס התכנסות בעזרת גבול השורש של המקדמים.L=lim⁡∣an∣n,R=1LL=\lim\sqrt[n]{|a_n|},\quad R=\frac1L
טור גיאומטרי כטור חזקותהטור ∑xn\sum x^n הוא הדוגמה הבסיסית: מתכנס רק עבור ∣x∣<1|x|<1.∑n=0∞xn=11−x\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x}
הרצאה 9 — גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות, טורים מוכרים
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
גזירת טור חזקותבתוך תחום ההתכנסות מותר לגזור טור חזקות איבר־איבר, והרדיוס נשאר אותו רדיוס.(∑an(x−x0)n)′=∑nan(x−x0)n−1\left(\sum a_n(x-x_0)^n\right)'=\sum n a_n(x-x_0)^{n-1}
אינטגרציה של טור חזקותבתוך תחום ההתכנסות מותר לעשות אינטגרל לטור חזקות איבר־איבר, והרדיוס נשאר אותו רדיוס.∫∑an(x−x0)ndx=∑an(x−x0)n+1n+1+C\int\sum a_n(x-x_0)^n dx=\sum a_n\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1}+C
התנהגות בקצוות אחרי גזירה/אינטגרלהרדיוס נשאר אותו רדיוס, אבל בקצוות תחום ההתכנסות צריך לבדוק מחדש.קצוות לא עוברים אוטומטית.
טור ל־ln⁡(1+x)\ln(1+x)מקבלים את ln⁡(1+x)\ln(1+x) מאינטגרציה של הטור הגיאומטרי של 11+x\frac1{1+x}.ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}
הצבת קצה בלוגמותר להציב בקצה רק אחרי שבודקים שהטור מתכנס שם.x=1⇒∑(−1)n+1n=ln⁡2x=1\Rightarrow\sum\frac{(-1)^{n+1}}n=\ln2
טור ל־exe^xהפונקציה exe^x שווה לטור החזקות שלה לכל xx.ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
טור ל־arctan⁡x\arctan xמקבלים את arctan⁡x\arctan x מאינטגרציה של 11+x2\frac1{1+x^2}.arctan⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}
ערך π/4\pi/4הצבה x=1x=1 בטור של arctan⁡x\arctan x נותנת את טור לייבניץ ל־π/4\pi/4.π4=1−13+15−17+…\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots
פיתוח טיילוראם פונקציה שווה לטור חזקות סביב x0x_0, אז מקדמי הטור נקבעים לפי הנגזרות שלה ב־x0x_0.an=f(n)(x0)n!a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}
הרצאה 10 — פולינומי טיילור, שארית לגרנז׳ ופונקציות אנליטיות
נושא / משפטמה הוא אומר במשפט אחדנוסחה / זיהוי
יחידות מקדמי טור חזקותאם פונקציה שווה לטור חזקות, המקדמים נקבעים באופן יחיד על ידי הנגזרות בנקודת המרכז.an=f(n)(x0)n!a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}
פולינום טיילורפולינום טיילור מסדר NN הוא הקירוב הפולינומי של ff סביב x0x_0 לפי הנגזרות עד סדר NN.TN(x)=∑n=0Nf(n)(x0)n!(x−x0)nT_N(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
שארית טיילורהשארית היא ההפרש בין הפונקציה לבין פולינום טיילור.RN(x)=f(x)−TN(x)R_N(x)=f(x)-T_N(x)
תכונות פולינום טיילורפולינום טיילור והפונקציה מסכימים בנקודת המרכז בכל הנגזרות עד סדר NN.TN(k)(x0)=f(k)(x0),0≤k≤NT_N^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0),\quad 0\le k\le N
משפט טיילור עם שארית לגרנז׳ההפרש בין הפונקציה לפולינום טיילור ניתן על ידי נגזרת מסדר N+1N+1 בנקודה כלשהי בין x0x_0 ל־xx.RN(x)=f(N+1)(c)(N+1)!(x−x0)N+1R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}(x-x_0)^{N+1}
מקרה N=0N=0משפט טיילור עבור N=0N=0 הוא בעצם משפט לגרנז׳.f(x)−f(x0)=f′(c)(x−x0)f(x)-f(x_0)=f'(c)(x-x_0)
קירוב עם שגיאהכדי לקרב מספר בעזרת טיילור בוחרים NN כך שחסם השארית קטן מהדיוק המבוקש.∣RN(x)∣<ε|R_N(x)|<\varepsilon
פונקציה אנליטיתפונקציה אנליטית היא פונקציה ששווה לטור טיילור שלה בסביבה של המרכז.f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
טור טיילור של exe^xטור טיילור של exe^x סביב 0 שווה לפונקציה לכל xx.ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
טור סביב מרכז אחראם מפתחים את exe^x סביב x0=1x_0=1, מקבלים את אותו רעיון אבל בחזקות של x−1x-1.ex=∑n=0∞en!(x−1)ne^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n
טור טיילור של sin⁡x\sin xטור טיילור של sin⁡x\sin x כולל רק חזקות אי־זוגיות עם סימנים מתחלפים.sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}
טור טיילור של cos⁡x\cos xטור טיילור של cos⁡x\cos x כולל רק חזקות זוגיות עם סימנים מתחלפים.cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}
טור גיאומטרי כפונקציההפונקציה 11−x\frac1{1-x} שווה לטור הגיאומטרי שלה רק כאשר ∣x∣<1|x|<1.11−x=∑n=0∞xn\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n