Mentora
0
57
שבועותשבוע 6
סיכום שבוע

שבוע 6

אינטגרלים לא מסוימים — שיטות חישוב

פירוק לשברים חלקייםאינטגרלים טריגונומטרייםשיטת ε²
פתחי סיכום שבוע 6
📖

הרצאה 5

חומר חדש

→
✏️

תרגול 6

מתרגל הרצאה 5

→
📋

מטלה 6

תרגול 6 + הרצאה 5

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

סיכום שבוע 6

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • LCT: אם limalim aₙ/bₙ =L>0,= L > 0, שני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד

  • מבחן האינטגרל: השתמשי כשrandom קשה לחשב ישירות

  • טור חלופי מתכנס אם |aₙ| יורד למאפס

טעויות נפוצות

  • שכחת לבדוק שהפונקציה חיובית ויורדת לפני מבחן האינטגרל

  • שימוש ב-LCT כשהגבול הוא 0 או ∞(\infty (לא מסקנה)

  • בלבול בין התכנסות מוחלטת לבין התכנסות בתנאי

  • תרגול 6 היום: טור טלסקופי. • תנאי הכרחי. • משפט הזנבות. • מבחן ההשוואה. • מבחן ההשוואה הגבולי. • תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞n=k(an)\infty n=k ותהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} יהי . limN→∞N∑n=kanlim \mathbb{N} \to \infty \mathbb{N} ∑ n=k an מתכנס אם קיים הגבול ∞∑n=kan\infty ∑ n=k an נאמר שהטור במקרה זה נגדיר ∞∑n=kan=limN→∞N∑n=kan\infty ∑ n=k an = lim \mathbb{N} \to \infty \mathbb{N} ∑ n=k an תנאי הכרחי: . limn→∞an=0lim n\to \infty an = 0 טור מתכנס, אזי ∞∑n=kan\infty ∑ n=k an יהי , כלומר אם התנאי לא מתקיים הטורתנאי הכרחי ולא תנאי מספיק שימו לב שמדובר על מתבדר ואם התנאי מתקיים לא ניתן לדעת )על סמך הבדיקה של הגבול( אם הטור מתכנס או מתבדר. דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים, אם כן מצאו את ערכם: ∞∑n=1arctann.1\infty ∑ n=1 arctan n .1 פתרון: limn→∞arctann=Heinelimx→∞arctanx=π2≠0lim n\to \infty arctan n = Heine lim x\to \infty arctan x = \pi 2 \ne 0 מתנאי הכרחי. הטור מתבדר הגבול שונה מאפס ולכן 1

כלים מרכזיים

  • מבחן השוואה (CT)

  • מבחן גבול ההשוואה (LCT)

  • מבחן האינטגרל

  • מבחן לייבניץ

  • מבחן השוואה: LCT וCT

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 6

בכל טור — הבדיקה הראשונה: האם $a_n\to 0$? אם לא, מתבדר מיד.

מה לחזור קודם

  • סדרות וגבול סדרה

  • אינטגרלים לא אמיתיים

חובה לשנן

  • טור = גבול הסכומים החלקיים: ∑an=lim⁡NSN\sum a_n = \lim_{N} S_N

  • טור הנדסי: ∑n=0∞qn=11−q\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} עבור ∣q∣<1|q|<1

  • תנאי הכרחי: אם הטור מתכנס אז an→0a_n\to 0 (לא מספיק!)

  • הרמוני ∑1/n\sum 1/n מתבדר; טור pp: מתכנס ⟺ p>1p>1

  • מבחן השוואה ומבחן השוואה גבולי

כלים מרכזיים

  • טור הנדסי

  • טור טלסקופי

  • מבחן השוואה (רגיל וגבולי)

טעויות נפוצות

  • לחשוב ש-an→0a_n\to 0 מספיק להתכנסות (הטור ההרמוני!)

  • להשוות בכיוון הלא נכון

  • טעות בנוסחת הטור ההנדסי לפי אינדקס ההתחלה

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    הגדרת טור וסכומים חלקיים SNS_N

  2. 2

    טור הנדסי וטור טלסקופי

  3. 3

    תנאי הכרחי; הטור ההרמוני (מתבדר)

  4. 4

    טור pp

  5. 5

    מבחן השוואה ← מבחן השוואה גבולי

סיכום שבוע 6

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

להגדיר טורים אינסופיים ולהבין את הקשר בין הסדרה ana_n לסדרת הסכומים החלקיים. ללמוד מתי טור מתכנס ומדוע.

העיקרון המוביל

טור ∑an\sum a_n מוגדר כגבול של סכומים חלקיים — לא כסכום של אינסוף מספרים ישירות. התנאי ההכרחי (an→0a_n \to 0) הוא הכרחי בלבד — לא מספיק!

בנוי על: סדרות וגבולות (שבוע 2), אינטגרלים לא תקינים (שבוע 5)

נתונה סדרה {an}n=k∞\{a_n\}_{n=k}^\infty. הסכום החלקי ה-NN-י הוא SN=∑n=kNanS_N = \sum_{n=k}^N a_n.

הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס אם lim⁡N→∞SN=S\lim_{N\to\infty} S_N = S סופי. ערכו הוא SS.

אחרת הטור מתבדר.

למה זה נוסף?

מאפשר לדון ב'סכום אינסופי' בצורה מוגדרת היטב — לא כפעולת חיבור אלא כגבול.

אינטואיציה

אנחנו חוברים 'מלמטה' — S1,S2,S3,…S_1, S_2, S_3, \ldots — ושואלים אם הרצף הזה מתייצב.

הערות חשובות

  • שינוי מספר סופי של איברים בהתחלה לא משנה התכנסות (רק את הערך).

  • הטור והסדרה: an→0a_n \to 0 הוא תנאי הכרחי — הסדרה SNS_N לא יכולה להתייצב אם צועדים גדולים.

אם ∑an\sum a_n מתכנס, אז lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

מסקנה: אם an↛0a_n \not\to 0, הטור בהכרח מתבדר.

למה זה נוסף?

הוכחה: an=Sn−Sn−1→S−S=0a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0.

אינטואיציה

אם הטור מתכנס, הסכומים החלקיים חייבים 'להתייצב' — ואז כל צעד חדש ana_n חייב להיות קטן יותר ויותר.

מתי להשתמש?

תמיד בדקי זאת ראשונה! אם an↛0a_n \not\to 0 — הטור מתבדר ואין צורך בבדיקות נוספות.

טעות נפוצה

ההפך לא נכון: an→0a_n \to 0 לא מבטיח התכנסות! דוגמה: ∑1/n\sum 1/n — הרמוני, 1/n→01/n \to 0 אבל הטור מתבדר.

דוגמה

∑nn+1\sum \frac{n}{n+1}: nn+1→1≠0\frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0. מתבדר (תנאי הכרחי נכשל).

\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \quad \text{אם } |q| < 1

מתבדר אם ∣q∣≥1|q| \ge 1.

סכום חלקי: SN=1−qN+11−qS_N = \frac{1-q^{N+1}}{1-q}.

אינטואיציה

כשכל איבר הוא qq כפול קודמו, הסכום הוא מכונה גיאומטרית — ובמקרה ∣q∣<1|q|<1 היא 'מתכווצת' ומגיעה לערך סופי.

מתי להשתמש?

לזיהוי צורת qnq^n — ישירות. גם לאחר שינוי אינדקס.

הערות חשובות

  • לא לשכוח: המינוי הראשון. ∑n=0∞qn=1/(1−q)\sum_{n=0}^\infty q^n = 1/(1-q); ∑n=1∞qn=q/(1−q)\sum_{n=1}^\infty q^n = q/(1-q).

  • אם הטור מתחיל מ-n=kn=k: ∑n=k∞qn=qk/(1−q)\sum_{n=k}^\infty q^n = q^k/(1-q).

דוגמה

∑n=2∞(23)n=(2/3)21−2/3=4/91/3=43\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{(2/3)^2}{1-2/3} = \frac{4/9}{1/3} = \frac{4}{3}.

אם an=f(n)−f(n+1)a_n = f(n) - f(n+1), אז:

SN=∑n=1N(f(n)−f(n+1))=f(1)−f(N+1)S_N = \sum_{n=1}^N (f(n)-f(n+1)) = f(1) - f(N+1)

ואם f(N+1)→Lf(N+1) \to L, הטור מתכנס ל-f(1)−Lf(1) - L.

אינטואיציה

כמו מפלפל שמתהפך — כל איבר 'מוחק' חלק מהקודם. רק הראש והזנב נשארים.

מתי להשתמש?

כשניתן לכתוב ana_n כהפרש של פונקציה ב-nn ו-n+1n+1. לרוב: פירוק לשברים חלקיים.

דוגמה

∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}: 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}. SN=1−1N+1→1S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1.

אסור לכתוב ∑(an+bn)=∑an+∑bn\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n אם לא ידוע שכל אחד מהטורים מתכנס!

אינטואיציה

אם שניהם מתבדרים, הפיצול עלול לתת תשובה שגויה לגמרי.

טעות נפוצה

גם אם ∑(an−bn)\sum(a_n - b_n) מתכנס, לא ניתן להסיק שום דבר על ∑an\sum a_n ו-∑bn\sum b_n בנפרד. דוגמה: an=1/na_n = 1/n, bn=1/nb_n = 1/n — ∑(an−bn)=0\sum(a_n - b_n) = 0 מתכנס, אבל ∑an\sum a_n ו-∑bn\sum b_n מתבדרים.

תרשים שבוע 6

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

שבר חלקי

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

FTC

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

∫sin∫sin²xdx=x/2−sin(2x)/4x dx = x/2 - sin(2x)/4

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

LCT: אם limalim aₙ/bₙ =L>0,= L > 0, שני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 5 — חומר חדש

הגדרות

  • שבר חלקי

  • אינטגרל לא מסוים

משפטים

  • FTC

  • משפט פיתוח לשברים חלקיים

נוסחאות מפתח

∫sin∫sin²xdx=x/2−sin(2x)/4x dx = x/2 - sin(2x)/4

∫cos∫cos²xdx=x/2+sin(2x)/4x dx = x/2 + sin(2x)/4

חשוב למבחן

פירוק לשברים חלקיים — שיטה לבחינה

חשוב למבחן

אינטגרלים טריגונומטריים — קצת פחות שכיח

מקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

✏️ תרגול

תרגול 6 · מתרגל הרצאה 5

בדיקת התכנסות טורים עם מבחן השוואה, מבחן הגבול (LCT), מבחן האינטגרל, ומבחן סדרות חלופיות (Leibniz).

טכניקות

  • מבחן השוואה (CT)

  • מבחן גבול ההשוואה (LCT)

  • מבחן האינטגרל

  • מבחן לייבניץ

חובה לתרגל

  • מבחן השוואה: LCT וCT

  • מבחן האינטגרל לטורים עם פונקציה יורדת

  • מבחן לייבניץ לטורים חלופיים

  • זיהוי טורים מהסוג p-series

טעויות נפוצות

  • שכחת לבדוק שהפונקציה חיובית ויורדת לפני מבחן האינטגרל

  • שימוש ב-LCT כשהגבול הוא 0 או ∞(\infty (לא מסקנה)

  • בלבול בין התכנסות מוחלטת לבין התכנסות בתנאי

  • תרגול 6 היום: טור טלסקופי. • תנאי הכרחי. • משפט הזנבות. • מבחן ההשוואה. • מבחן ההשוואה הגבולי. • תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞n=k(an)\infty n=k ותהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} יהי . limN→∞N∑n=kanlim \mathbb{N} \to \infty \mathbb{N} ∑ n=k an מתכנס אם קיים הגבול ∞∑n=kan\infty ∑ n=k an נאמר שהטור במקרה זה נגדיר ∞∑n=kan=limN→∞N∑n=kan\infty ∑ n=k an = lim \mathbb{N} \to \infty \mathbb{N} ∑ n=k an תנאי הכרחי: . limn→∞an=0lim n\to \infty an = 0 טור מתכנס, אזי ∞∑n=kan\infty ∑ n=k an יהי , כלומר אם התנאי לא מתקיים הטורתנאי הכרחי ולא תנאי מספיק שימו לב שמדובר על מתבדר ואם התנאי מתקיים לא ניתן לדעת )על סמך הבדיקה של הגבול( אם הטור מתכנס או מתבדר. דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים, אם כן מצאו את ערכם: ∞∑n=1arctann.1\infty ∑ n=1 arctan n .1 פתרון: limn→∞arctann=Heinelimx→∞arctanx=π2≠0lim n\to \infty arctan n = Heine lim x\to \infty arctan x = \pi 2 \ne 0 מתנאי הכרחי. הטור מתבדר הגבול שונה מאפס ולכן 1

מסקנות

LCT: אם limalim aₙ/bₙ =L>0,= L > 0, שני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד

מבחן האינטגרל: השתמשי כשrandom קשה לחשב ישירות

טור חלופי מתכנס אם |aₙ| יורד למאפס

📋 מטלה

מטלה 6 · מבוסס תרגול 6 + הרצאה 5

טבלת מטלה

מטלה 6 — שאלות לתרגול ומעקב

6 שאלות6 בעדיפות גבוהה
ש׳ 1
ש׳ 2
ש׳ 3
ש׳ 4
ש׳ 5
ש׳ 6

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הרצאה 5 · 30.4.26 — טורים, הטור ההנדסי, הטור הטלסקופי
משפט 0 — הטור ההנדסי
יהי q∈Rq \in \mathbb{R}. אזי
∑n=0∞qn={11−q∣q∣<1מתבדר∣q∣≥1\sum_{n=0}^\infty q^n = \begin{cases} \frac{1}{1-q} & |q| < 1 \\ \text{מתבדר} & |q| \ge 1 \end{cases}
הוכחה
עבור q≠1q \ne 1: ∑n=0∞qn=lim⁡N→∞1−qN+11−q=1−q∞1−q={11−q∣q∣<1מתבדר∣q∣>1\sum_{n=0}^\infty q^n = \lim_{N\to\infty}\frac{1-q^{N+1}}{1-q} = \frac{1-q^\infty}{1-q} = \begin{cases} \frac{1}{1-q} & |q|<1 \\ \text{מתבדר} & |q|>1 \end{cases} (נוסחת סכום סדרה הנדסית). עבור q=1q=1: ∑n=0∞1=lim⁡N→∞(N+1)=∞\sum_{n=0}^\infty 1 = \lim_{N\to\infty}(N+1) = \infty.
משפט 1 — הטור הטלסקופי
∑n=2∞1n(n−1)=1.\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = 1.
הוכחה
∑n=2∞1n(n−1)=lim⁡N→∞∑n=2N(1n−1−1n)=lim⁡N→∞[(1−12)+(12−13)+⋯+(1N−1−1N)]=lim⁡N→∞(1−1N)=1\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = \lim_{N\to\infty}\left[ \left(1-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\tfrac{1}{N-1}-\tfrac{1}{N}\right) \right] = \lim_{N\to\infty}\left( 1 - \frac{1}{N} \right) = 1

(סכום טלסקופי — האיברים האמצעיים מצטמצמים).
הגדרה — סדרת הסכומים החלקיים
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty סדרה. סדרת הסכומים החלקיים של (an)(a_n) היא הסדרה (SN)N=k∞(S_N)_{N=k}^\infty המוגדרת ע"י
SN=∑n=kNanלכל N≥k.S_N = \sum_{n=k}^N a_n \quad \text{לכל } N \ge k.

למשל Sk=akS_k = a_k, Sk+1=ak+ak+1S_{k+1} = a_k + a_{k+1}, Sk+2=ak+ak+1+ak+2S_{k+2} = a_k + a_{k+1} + a_{k+2}.
הגדרה 1 — התכנסות טור
∑n=k∞an=lim⁡N→∞∑n=kNan=lim⁡N→∞SN.\sum_{n=k}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^N a_n = \lim_{N\to\infty} S_N.

ואומרים שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס אם סדרת הסכומים החלקיים (SN)(S_N) מתכנסת.
משפט 2 — הטור ההרמוני מתבדר
הטור ההרמוני מתבדר:
∑n=1∞1n=1+12+13+⋯=∞.\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty.
הוכחה
נניח בשלילה שהטור ההרמוני מתכנס, כלומר קיים S∈RS \in \mathbb{R} כך ש-S=∑n=1∞1nS = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}. נביט בסדרת הסכומים החלקיים SN=∑n=1N1nS_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}. אזי lim⁡N→∞SN=S\lim_{N\to\infty} S_N = S וגם lim⁡N→∞S2N=S\lim_{N\to\infty} S_{2N} = S, ולכן ממשפט הירושה lim⁡N→∞(S2N−SN)=S−S=0\lim_{N\to\infty}(S_{2N} - S_N) = S - S = 0.
אך לכל N∈NN \in \mathbb{N},
S2N−SN=∑n=N+12N1n=1N+1+1N+2+⋯+12N≥12N+⋯+12N⏟N מחוברים=N⋅12N=12.S_{2N} - S_N = \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n} = \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} + \cdots + \frac{1}{2N} \ge \underbrace{\frac{1}{2N} + \cdots + \frac{1}{2N}}_{N \text{ מחוברים}} = N \cdot \frac{1}{2N} = \frac{1}{2}.

לכן S2N−SN≥12S_{2N} - S_N \ge \frac{1}{2} לכל NN, וממונוטוניות הגבול 0=lim⁡N→∞(S2N−SN)≥120 = \lim_{N\to\infty}(S_{2N} - S_N) \ge \frac{1}{2} — סתירה.
הגדרה — זנב הטור
תהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה ויהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z}. הזנב ה-kk-י של הטור ∑n=0∞an\sum_{n=0}^\infty a_n הוא הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n.
משפט 3 — התכנסות הטור והזנב
תהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה ויהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z}. אזי הטור ∑n=0∞an\sum_{n=0}^\infty a_n מתכנס אם"ם הזנב ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס, ובמקרה זה
∑n=0∞an=∑n=k∞an+∑n=0k−1an.\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=k}^\infty a_n + \sum_{n=0}^{k-1} a_n.
הוכחה
(⇐\Leftarrow) נניח שהטור ∑n=0∞an\sum_{n=0}^\infty a_n מתכנס, כלומר קיים S=∑n=0∞anS = \sum_{n=0}^\infty a_n. אזי
∑n=k∞an=lim⁡N→∞∑n=kNan=lim⁡N→∞[∑n=0Nan−∑n=0k−1an]=S−∑n=0k−1an,\sum_{n=k}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^N a_n = \lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=0}^N a_n - \sum_{n=0}^{k-1} a_n \right] = S - \sum_{n=0}^{k-1} a_n,

ולכן הזנב מתכנס ו-∑n=0∞an=S=∑n=k∞an+∑n=0k−1an\sum_{n=0}^\infty a_n = S = \sum_{n=k}^\infty a_n + \sum_{n=0}^{k-1} a_n.
(⇒\Rightarrow) נניח שהזנב ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס, כלומר קיים S1=∑n=k∞anS_1 = \sum_{n=k}^\infty a_n. אזי
∑n=0∞an=lim⁡N→∞∑n=0Nan=lim⁡N→∞[∑n=kNan+∑n=0k−1an]=S1+∑n=0k−1an=∑n=k∞an+∑n=0k−1an.\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N a_n = \lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=k}^N a_n + \sum_{n=0}^{k-1} a_n \right] = S_1 + \sum_{n=0}^{k-1} a_n = \sum_{n=k}^\infty a_n + \sum_{n=0}^{k-1} a_n.
משפט 4 — לינאריות הטור
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהיינה (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty, (bn)n=k∞(b_n)_{n=k}^\infty שתי סדרות. נניח שהטורים ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n ו-∑n=k∞bn\sum_{n=k}^\infty b_n מתכנסים. יהיו α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}. אזי הטור ∑n=k∞(αan+βbn)\sum_{n=k}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n) מתכנס ובנוסף
∑n=k∞(αan+βbn)=α∑n=k∞an+β∑n=k∞bn.\sum_{n=k}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n) = \alpha \sum_{n=k}^\infty a_n + \beta \sum_{n=k}^\infty b_n.
הוכחה
נסמן S1=∑n=k∞anS_1 = \sum_{n=k}^\infty a_n ו-S2=∑n=k∞bnS_2 = \sum_{n=k}^\infty b_n. אזי
∑n=k∞(αan+βbn)=lim⁡N→∞∑n=kN(αan+βbn)=lim⁡N→∞[α∑n=kNan+β∑n=kNbn]=αS1+βS2=α∑n=k∞an+β∑n=k∞bn\sum_{n=k}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^N (\alpha a_n + \beta b_n) = \lim_{N\to\infty}\left[ \alpha \sum_{n=k}^N a_n + \beta \sum_{n=k}^N b_n \right] = \alpha S_1 + \beta S_2 = \alpha \sum_{n=k}^\infty a_n + \beta \sum_{n=k}^\infty b_n

(מאריתמטיקת גבולות וכפל בקבוע).
מסקנה 1 — סכום והפרש של טורים מתכנסים
יהיו (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty, (bn)n=k∞(b_n)_{n=k}^\infty סדרות כך שהטורים ∑an\sum a_n ו-∑bn\sum b_n מתכנסים. אזי הטור ∑n=k∞(an±bn)\sum_{n=k}^\infty (a_n \pm b_n) מתכנס ובנוסף
∑n=k∞(an±bn)=∑n=k∞an±∑n=k∞bn.\sum_{n=k}^\infty (a_n \pm b_n) = \sum_{n=k}^\infty a_n \pm \sum_{n=k}^\infty b_n.
הוכחה
נבחר α=1\alpha = 1 ו-β=±1\beta = \pm 1 במשפט 4 (לינאריות).
מסקנה 2 — כפל טור בקבוע שונה מאפס
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty סדרה, ויהי 0≠α∈R0 \ne \alpha \in \mathbb{R}. אזי הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס אם"ם הטור ∑n=k∞(αan)\sum_{n=k}^\infty (\alpha a_n) מתכנס, ובמקרה זה
∑n=k∞(αan)=α∑n=k∞an.\sum_{n=k}^\infty (\alpha a_n) = \alpha \sum_{n=k}^\infty a_n.
הוכחה
(⇐\Leftarrow) אם ∑an\sum a_n מתכנס, אזי מלינאריות (עם β=0\beta = 0) ∑(αan)=α∑an\sum (\alpha a_n) = \alpha \sum a_n מתכנס.
(⇒\Rightarrow) אם ∑(αan)\sum (\alpha a_n) מתכנס, אזי מאחר ש-α≠0\alpha \ne 0 נכתוב ∑an=∑(1α⋅αan)=1α∑(αan)\sum a_n = \sum \left( \frac{1}{\alpha} \cdot \alpha a_n \right) = \frac{1}{\alpha}\sum (\alpha a_n), שמתכנס (כפל הטור ∑(αan)\sum(\alpha a_n) בקבוע 1α\frac{1}{\alpha}). ובכך ∑(αan)=α∑an\sum (\alpha a_n) = \alpha \sum a_n.
תרגיל 1 — התבדרות $\sum \ln(1+\frac{1}{n})$
הראו שהטור ∑n=1∞ln⁡(1+1n)\sum_{n=1}^\infty \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) מתבדר.
הוכחה
∑n=1∞ln⁡(1+1n)=lim⁡N→∞∑n=1Nln⁡(n+1n)=lim⁡N→∞∑n=1N(ln⁡(n+1)−ln⁡n)\sum_{n=1}^\infty \ln\left(1+\tfrac{1}{n}\right) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N \ln\left(\tfrac{n+1}{n}\right) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N \big( \ln(n+1) - \ln n \big)

=lim⁡N→∞[(ln⁡2−ln⁡1)+(ln⁡3−ln⁡2)+⋯+(ln⁡(N+1)−ln⁡N)]=lim⁡N→∞[ln⁡(N+1)−ln⁡1]=lim⁡N→∞ln⁡(N+1)=∞= \lim_{N\to\infty}\big[ (\ln 2 - \ln 1) + (\ln 3 - \ln 2) + \cdots + (\ln(N+1) - \ln N) \big] = \lim_{N\to\infty}\big[ \ln(N+1) - \ln 1 \big] = \lim_{N\to\infty}\ln(N+1) = \infty

(סכום טלסקופי). לכן הטור מתבדר.
תרגיל 2 — בעיית בונוס (טור הנדסי)
[בעיית מילים על בונוס של 25% בבחינה — ניסוח הסיפור בכתב היד אינו ברור לי לגמרי]. הסכום הנדרש מסתכם לטור הנדסי:
3+14⋅3+142⋅3+143⋅3+⋯3 + \frac{1}{4}\cdot 3 + \frac{1}{4^2}\cdot 3 + \frac{1}{4^3}\cdot 3 + \cdots
הוכחה
3+14⋅3+142⋅3+⋯=∑n=0∞34n=3∑n=0∞14n=3⋅11−14=33/4=4.3 + \frac{1}{4}\cdot 3 + \frac{1}{4^2}\cdot 3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{3}{4^n} = 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n} = 3 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{3}{3/4} = 4.
משפט 5 — תנאי הכרחי להתכנסות
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty סדרה. אם הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס, אזי
lim⁡n→∞an=0.\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
הוכחה
נניח שהטור מתכנס, כלומר קיים S=∑n=k∞anS = \sum_{n=k}^\infty a_n. אזי
lim⁡n→∞an=lim⁡N→∞aN=lim⁡N→∞[∑n=kNan−∑n=kN−1an]=lim⁡N→∞(SN−SN−1)=S−S=0.\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} a_N = \lim_{N\to\infty}\left[ \sum_{n=k}^N a_n - \sum_{n=k}^{N-1} a_n \right] = \lim_{N\to\infty}(S_N - S_{N-1}) = S - S = 0.
דוגמאות — שימוש בתנאי ההכרחי
(1) ∑n=3∞2n−13n+7\sum_{n=3}^\infty \frac{2n-1}{3n+7} מתבדר, כי lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞2−1n3+7n=23≠0\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{7}{n}} = \frac{2}{3} \ne 0 (התנאי ההכרחי נכשל).
(2) ∑n=1∞cos⁡(1n)\sum_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{1}{n}\right) מתבדר, כי lim⁡n→∞cos⁡1n=cos⁡0=1≠0\lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{n} = \cos 0 = 1 \ne 0.
(3) ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}: כאן lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty} a_n = 0 אבל הטור **מתבדר**. כלומר התנאי ההכרחי אינו מספיק — lim⁡an=0\lim a_n = 0 אינו גורר התכנסות.
הגדרה — טור אי-שלילי וסימון $\sum a_n < \infty$
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty סדרה. אם an≥0a_n \ge 0 לכל n≥kn \ge k נאמר שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n אי-שלילי. אם הטור אי-שלילי, נסמן ∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^\infty a_n < \infty אם הטור מתכנס.
הערה 2 — סדרת הסכומים החלקיים של טור אי-שלילי עולה
אם הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n אי-שלילי, אזי סדרת הסכומים החלקיים (SN)(S_N) עולה, כי SN+1−SN=aN+1≥0S_{N+1} - S_N = a_{N+1} \ge 0, ולכן SN≤SN+1S_N \le S_{N+1} לכל N≥kN \ge k. לכן הטור מתכנס במובן הרחב, ו-
∑n=k∞an=lim⁡N→∞SN=sup⁡{SN:N≥k}.\sum_{n=k}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \sup\{ S_N : N \ge k \}.

אם (SN)(S_N) חסומה מלעיל הטור מתכנס, ואם אינה חסומה מלעיל אזי ∑n=k∞an=∞\sum_{n=k}^\infty a_n = \infty.
משפט 6 — מבחן ההשוואה (לטורים אי-שליליים)
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהיינה (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty, (bn)n=k∞(b_n)_{n=k}^\infty שתי סדרות. נניח כי:
(i) 0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n לכל n≥kn \ge k;
(ii) ∑n=k∞bn<∞\sum_{n=k}^\infty b_n < \infty.
אזי ∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^\infty a_n < \infty ובנוסף ∑n=k∞an≤∑n=k∞bn\sum_{n=k}^\infty a_n \le \sum_{n=k}^\infty b_n.
הוכחה
מהיות ∑bn\sum b_n מתכנס, קיים S=∑n=k∞bn=sup⁡{∑n=kNbn:N≥k}S = \sum_{n=k}^\infty b_n = \sup\{ \sum_{n=k}^N b_n : N \ge k \}. תהי (SN)(S_N) סדרת הסכומים החלקיים של ∑an\sum a_n, כלומר SN=∑n=kNanS_N = \sum_{n=k}^N a_n. מאחר ש-an≥0a_n \ge 0 הסדרה (SN)(S_N) עולה, ולכל N≥kN \ge k מתקיים
SN=∑n=kNan  ≤an≤bn  ∑n=kNbn≤S.S_N = \sum_{n=k}^N a_n \;\underset{a_n \le b_n}{\le}\; \sum_{n=k}^N b_n \le S.

לכן (SN)(S_N) עולה וחסומה מלעיל ע"י SS, ומכאן (עולה + חסומה מלעיל) היא מתכנסת, כלומר ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס. ובנוסף
∑n=k∞an=lim⁡N→∞SN=sup⁡{SN:N≥k}≤S=∑n=k∞bn.\sum_{n=k}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \sup\{ S_N : N \ge k \} \le S = \sum_{n=k}^\infty b_n.
דוגמאות — מבחן ההשוואה
(1) ∑n=1∞1n2+1\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} מתכנס: ∑n=2∞1n2+1≤∑n=2∞1n2≤∑n=2∞1n(n−1)<∞\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2+1} \le \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} \le \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} < \infty (טלסקופי). מכאן ומהזנב ∑n=1∞1n2+1<∞\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} < \infty (מתכנס).
(2) 1+13+15+17+⋯=∑n=1∞12n−1≥∑n=1∞12n=12∑n=1∞1n=∞1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1} \ge \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty (ההרמוני). לכן הטור מתבדר.
משפט 7 — הטור ה-$p$ (ההרמוני המוכלל)
יהי p∈Rp \in \mathbb{R}. אזי
∑n=1∞1np={מתכנסp>1מתבדרp≤1\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} = \begin{cases} \text{מתכנס} & p > 1 \\ \text{מתבדר} & p \le 1 \end{cases}
דוגמאות — הטור ה-$p$
∑n=1∞1n1.1<∞\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.1}} < \infty (מתכנס, p=1.1>1p = 1.1 > 1). ∑n=1∞1n=∞\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} = \infty (מתבדר, p=12≤1p = \frac{1}{2} \le 1, דומה להרמוני).
משפט 8 — מבחן ההשוואה הגבולי (לטורים אי-שליליים)
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהיינה (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty, (bn)n=k∞(b_n)_{n=k}^\infty שתי סדרות. נניח כי:
(i) an>0a_n > 0 ו-bn>0b_n > 0 לכל n≥kn \ge k;
(ii) קיים L∈RL \in \mathbb{R} כך ש-L>0L > 0 ו-L=lim⁡n→∞anbnL = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}.
אזי ∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^\infty a_n < \infty אם"ם ∑n=k∞bn<∞\sum_{n=k}^\infty b_n < \infty.
תרגיל 4 — מבחן ההשוואה הגבולי
(1) ∑n=1∞1n2−n+3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-n+3} — נבחר bn=1n2b_n = \frac{1}{n^2}. אזי L=lim⁡n→∞1/(n2−n+3)1/n2=lim⁡n→∞n2n2−n+3=lim⁡n→∞11−1n+3n2=1L = \lim_{n\to\infty}\frac{1/(n^2-n+3)}{1/n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-n+3} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}} = 1. מאחר ש-∑1n2\sum \frac{1}{n^2} מתכנס (p=2p=2), גם הטור מתכנס.
(2) ∑n=1∞1n1.5−n+3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^{1.5}-n+3}} — נבחר bn=1n3/4b_n = \frac{1}{n^{3/4}}. אזי L=lim⁡n→∞1/n1.5−n+31/n3/4=lim⁡n→∞n3/2n3/2−n+3=1L = \lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt{n^{1.5}-n+3}}{1/n^{3/4}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n^{3/2}}{n^{3/2}-n+3}} = 1. מאחר ש-∑1n3/4\sum \frac{1}{n^{3/4}} מתבדר (p=34≤1p=\frac{3}{4} \le 1), גם הטור מתבדר.

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

ציטוט מקור

הגדרות ומשפטים מהרצאה

טקסט שחולץ בפועל מהקבצים — אם OCR לא קריא, מוצג סיכום מקושר.

1. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט .7

אינסופיים טורים — 5 הרצאה .8

לטורים מבחנים טבלת .9

דומים דברים בין חשובות השוואות .10

בתרגילים מומלצת עבודה צורת .11

למבחן אחרונים דגשים .12

ההרצאות מכל לזכור המרכזי הרעיון

:עולמות שני בין מחבר 5–4 הרצאות של החומר

.שמתפוצצת פונקציה או אינסופי תחום :בעיה עם אינטגרלים — אמיתיים לא אינטגרלים .1

.חלקיים סכומים של גבול דרך שבודקים אינסופי סכום — אינסופיים טורים .2

בשניהם שחוזר הרעיון

ב הבעיה את מחליפים אלא ,ישירות מציבים לא — בעיה נקודת או "אינסוף" כשיש

גבול

.

אמיתי לא אינטגרל אינסופי טור

מתכנס

.וסופי קיים הגבול אם

מתבדר

. -ל שווה או קיים לא הגבול אם

טורים מול אמיתיים לא אינטגרלים — מהירה השוואה טבלת

נושא אמיתי לא אינטגרל אינסופי טור

?בודקים מה בעייתי בתחום אינטגרל/שטח אינסופי סכום

?מגדירים איך רגילים אינטגרלים של גבול בעזרת חלקיים סכומים של גבול בעזרת

אם מתכנס וסופי קיים הגבול וסופי קיים החלקיים הסכומים גבול

אם מתבדר אינסופי או קיים לא הגבול אינסופי או קיים לא הגבול

מרכזית דוגמה

בשאלות שחוזרים זהב כללי

? מוסיפים מתי .1

:מסוים לא באינטגרל

:מתבטל והקבוע גבולות מציבים בסוף כי , מוסיפים לא אמיתי לא או מסוים באינטגרל

? זה מה .2

.ימין מצד ל־ מתקרבים אלא , באמת מציבים לא :אומר

.ימין מצד אליו ומתקרבים ב־ בעייתית הפונקציה כי , באינטגרל למשל בזה משתמשים

?אינסוף ומתי שווה מתי .3

מצב של סי

2. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

.למעלה מלמטה עולה התבדרות .למטה מלמעלה יורדת התכנסות

השוואה ו

3. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפטי אמיתיים לא אינטגרלים — 4 הרצאה

בחלקים אינטגרציה — 1

4. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

:אז . -ב ברציפות גזירות פונקציות תהיינה

מכלל באה הנוסחה .גבולות עם רק ,מסוים לא מאינטגרל שמכירים בחלקים אינטגרציה של כלל אותו :הסבר

. המכפלה

.יותר פשוט יהיה הביטוי האינטגרציה שאחרי כך בוחרים בפועל

משתנה החלפת — 2

5. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

a)\ תהיינה

לב שימי

חייבים משתנה החלפת אחרי מסוים באינטגרל

או

,החדש המשתנה לפי הגבולות את גם להחליף

או

. במשתנה ביטוי לבין של גבולות בין לערבב אסור .המקורי למשתנה בסוף לחזור

אמיתיים לא אינטגרלים של הגדרות

מימין אינסופי תחום —

6. הגדרהמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

הגדרה

:ונגדיר מתכנס האינטגרל אז הגבול קיים אם . בכל אינטגרבילית תהי

משמאל אינסופי תחום —

7. הגדרהמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

הגדרה

:בנפרד מתכנסים האינטגרלים שני אם רק מתכנס

אזהרה

לדוגמה) בנפרד צד כל לבדוק צריך .התכנסות מזה ולהסיק ישר לחשב אסור

.(מטעה הסימטרי הגבול —

ימין בקצה אי־רציפות

.( ) שמאל מצד מתקרבים -ב בעיה

שמאל בקצה אי־רציפות

.( ) ימין מצד מתקרבים -ב בעיה

אמיתיים לא לאינטגרלים מההרצאה בסיסיות דוגמאות

1 דוגמה

2 דוגמה

3 דוגמה

4 דוגמה

בקצה בעיה — 5 דוגמה

בקצה בעיה — 6 דוגמה

שילוב — 7 דוגמה

p אינטגרלי — 3

8. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

א חלק ב חלק

אינטואיציה

. -ל מתכנס ולכן יותר מהר יורדת הפונקציה ,יותר גדול -ש ככל .באינסוף היא הבעיה -ב

. -ל דווקא מתכנס ולכן ליד יותר חזק מתפוצצת הפונקציה ,יותר גדול -ש ככל . -ב היא הבעיה -ב

אינטגרל ?מתי מתכנס ?מתי מתבדר מתכנס אם ערך

אמיתיים לא לאינטגרלים השוואה

9. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

:וגם מתכנס גם אז ,מתכנס אם . : שלכל נניח

.מתבדר הגדול גם ,מתבדר הקטן אם :הפוכה

10. מסקנהמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

מסקנה

בהחלט התכנסות

.התכנסות גוררת בהחלט התכנסות כלומר .מתכנס אז אם

אינסופיים טורים — 5 הרצאה

גיאומטרי טור

. :דוגמה

טלסקופי טור

:מרכזית דוגמה

:הפירוק

.קצה איברי רק נשארים — מצטמצמים האיברים רוב

חלקיים וסכומים טור —

11. הגדרהמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

הגדרה

:חלקיים סכומים סדרת נגדיר

.מתבדר — אחרת .הגבול הוא וערכו מתכנס הטור — וסופי קיים אם

ההרמוני הטור התבדרות — 1

12. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

. -ש למרות ,מתבדר ההרמוני הטור

המלכוד נקודת

.קלאסית נגדית דוגמה הוא ההרמוני הטור .יתכנס שהטור כדי מספיק לא זה אם

טורים של בסיסיות תכונות

איברים של סופי מספר שינוי

כמו בדיוק מתבדר ,למשל .(הסכום ערך את לשנות יכול רק) ההתכנסות על השפעה אין

.

לינאריות

:אז -ו מתכנסים אם

בקבוע כפל

.מתכנס מתכנס :הסכום ערך את רק ,התכנסות משנה לא

הכרחי תנאי — 5

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

Week 6

שבוע 6

טורים — מבחני התכנסות בסיסיים

תרגול 6

תובנות שבועיות

6
שבוע 6תרגול 6 · טורים — מבחני התכנסות בסיסיים
פתח

  • תנאי הכרחי: אם ∑an\sum a_n מתכנס אז an→0a_n \to 0. אם an↛0a_n \not\to 0 אז הטור מתבדר.

  • טור pp: ∑1np\sum \frac{1}{n^p} מתכנס אם ורק אם p>1p>1.

  • מבחן ההשוואה הגבולי (LCT): אם lim⁡an/bn=L\lim a_n/b_n = L עם L≠0,∞L\neq 0,\infty — שני הטורים מתכנסים יחד או מתבדרים יחד.

  • אסור לפצל ∑(an+bn)=∑an+∑bn\sum(a_n+b_n) = \sum a_n + \sum b_n בלי לדעת ששניהם מתכנסים.

  • טלסקופי: לפתוח את הסכום החלקי SNS_N ולחשב lim⁡SN\lim S_N.

  • טור גיאומטרי: ∑qn\sum q^n מתכנס אם ורק אם ∣q∣<1|q|<1, וסכומו a1−q\frac{a}{1-q}.

טיפ

כשרואים ∑1n g(n)\sum \frac{1}{n\,g(n)} — בדקי האם g(n)g(n) גדל מספיק מהר כדי להביס את 1n\frac{1}{n}.

אינטואיציות שמקס הדגיש

תרגול 6טורים

אסור לפצל טור אינסופי לשניים בלי הצדקה

∑(an+bn)≠∑an+∑bn\sum(a_n+b_n) \neq \sum a_n + \sum b_n בלי לדעת ששניהם מתכנסים. אותו כלל חל על אינטגרלים לא אמיתיים.

לא מפרידים גבול של סכום/הפרש לסכום/הפרש גבולות, אלא אם יודעים שכל הגבולות קיימים.

טעויות נפוצות

פיצול טור אינסופי לשניים בלי הצדקה

שבוע 6

אסור! לפתוח SNS_N, לחשב, ואז לקחת גבול.

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

# תרגול 6

היום: טור טלסקופי.

תנאי הכרחי.

משפט הזנבות.

מבחן ההשוואה.

מבחן ההשוואה הגבולי.

## תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים.

נאמר שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n מתכנס אם קיים הגבול lim⁡N→∞∑n=kNan\lim_{N \to \infty} \sum_{n=k}^{N} a_n

במקרה זה נגדיר:

∑n=k∞an=lim⁡N→∞∑n=kNan\sum_{n=k}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=k}^{N} a_n

## תנאי הכרחי

יהי ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n טור מתכנס, אזי lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0

כלומר אם התנאי לא מתקיים הטור מתבדר ואם התנאי מתקיים לא ניתן לדעת (על סמך הבדיקה של הגבול) אם הטור מתכנס או

2
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

.3

∑n=1∞1nα(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\alpha(n)} כאשר α(n)=⌊23+n2n⌋\alpha(n) = \left\lfloor \frac{23+n}{2n} \right\rfloor לכל n∈Nn \in \mathbb{N}

פתרון:

נשים לב שלכל n∈Nn \in \mathbb{N} מתקיים α(n)=⌊23+n2n⌋=⌊232n+12⌋\alpha(n) = \left\lfloor \frac{23+n}{2n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{23}{2n} + \frac{1}{2} \right\rfloor, לכן לכל n≥24n \geq 24 נקבל ש α(n)=0\alpha(n) = 0.

נסתכל על הזנב של הטור:

∑n=24∞1nα(n)=∑n=24∞1n⋅0=∑n=24∞1=∞\sum_{n=24}^{\infty} \frac{1}{n\alpha(n)} = \sum_{n=24}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 0} = \sum_{n=24}^{\infty} 1 = \infty

קיבלנו שהזנב של הטור מתבדר, לכן הטור מתבדר.

---

תזכורת:

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהי $(a_n)_{n=

3
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים או מתבדרים (אין צורך לחשב את ערכם):

1.∑n=1∞2n2+4n+1n3+9\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{2n^2+4n+1}}{n^3+9}

פתרון:

נבחר an=2n2+4n+1n3+9a_n = \frac{\sqrt{2n^2+4n+1}}{n^3+9} ו bn=1n2b_n = \frac{1}{n^2} לכל n∈Nn \in \mathbb{N}, אזי

$$\lim_{n \to \infty} \fracanbn=frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{2n^2+4n+1}}{n^3+9}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \sqrt{n^2 \left(2+left(2 + \frac{4}{n} + \frac1n2frac{1}{n^2}\right)}}{n^3 \left(1+left(1 + \frac9n3frac{9}{n^3}\right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 \cdot \sqrt{2 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}}}{n^3 \cdot \left(1+left(1 + \frac9n3frac{9}{n^3}\right)} = \s

4
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה
3.∑n=1∞nn3−4n2+5n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^3-4n^2+5n}}

פתרון:

ראשית נשים לב שלכל n∈Nn \in \mathbb{N} מתקיים n3−4n2+5n=n(n2−4n+5)>0n^3 - 4n^2 + 5n = n(n^2 - 4n + 5) > 0, אזי לכל n∈Nn \in \mathbb{N}.

נבחר an=nn3−4n2+5na_n = \frac{n}{\sqrt{n^3-4n^2+5n}} ו bn=1n0.5b_n = \frac{1}{n^{0.5}}

lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞nn3−4n2+5n1n0.5=lim⁡n→∞n1.5n3(1−4n+5n2)=lim⁡n→∞n1.5n1.51−4n+5n2=11=1>0\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{\sqrt{n^3-4n^2+5n}}}{\frac{1}{n^{0.5}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.5}}{\sqrt{n^3\left(1 - \frac{4}{n} + \frac{5}{n^2}\right)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.5}}{n^{1.5}\sqrt{1 - \frac{4}{n} + \frac{5}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 > 0

הטור $\sum_{n=1}^{\in

5
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

תרגיל: תהי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. נניח שהטור ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n הוא טור אי שלילי ומתכנס. הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

1. אם ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n מתכנס, אז ∑n=1∞an2\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 מתכנס.

פתרון: הטענה לא נכונה.

נבחר an=1na_n = \frac{1}{n} לכל n≥1n \geq 1.

∑n=1∞an=∑n=1∞1n=∞\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty

אבל

∑n=1∞an2=∑n=1∞(1n)2=∑n=1∞1n2<∞\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \infty

מתכנס.

2. אם ∑n=1∞an2\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 מתכנס, אז ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n מתכנס.

פ

6
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

# פתרון:

הטענה נכונה.

נגדיר לכל n∈N,n≥2n \in \mathbb{N}, n \geq 2: an=(−1)n⌊n2⌋a_n = (-1)^n \lfloor \frac{n}{2} \rfloor

ו-SN=∑n=2N(−1)n⌊n2⌋S_N = \sum_{n=2}^{N} (-1)^n \lfloor \frac{n}{2} \rfloor לכל N∈N,N≥2N \in \mathbb{N}, N \geq 2

נשים לב שלכל N∈N,N≥2N \in \mathbb{N}, N \geq 2 מתקיים:

S2N−1=(a2−a3)+(a4−a5)+…+(a2N−2−a2N−1)S_{2N-1} = (a_2 - a_3) + (a_4 - a_5) + \ldots + (a_{2N-2} - a_{2N-1})

$$= \left(left(\frac{1}{\lfloor \frac{2}{2} \rfloor} - \frac{1}{\lfloor \frac{3}{2} \rfloor}\right) + \left(left(\frac{1}{\lfloor \frac{4}{2} \rfloor} - \frac{1}{\lfloor \frac{5}{2} \rfloor}\right) + \ldots + \left(left(\frac{1}{\lfloor \frac{2N-2}{2} \rfloor} - \frac{1}{\lfloor \frac{2

שבוע 5שבוע 7