∑
26
57
שבועותשבוע 6
📄 סיכום שבוע

שבוע 6

טורים — הגדרה ומבחני התכנסות בסיסיים

טורים אינסופייםטור גיאומטריp-seriesמבחן השוואה
📖

הרצאה 6

חומר חדש

→
✏️

תרגול 6

מתרגל הרצאה 5

→
📋

מטלה 6

תרגול 6 + הרצאה 5

סיכום שבוע 6

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • LCT: אם lim aₙ/bₙ = L > 0, שני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד

  • מבחן האינטגרל: השתמשי כשrandom קשה לחשב ישירות

  • טור חלופי מתכנס אם |aₙ| יורד למאפס

טעויות נפוצות

  • שכחת לבדוק שהפונקציה חיובית ויורדת לפני מבחן האינטגרל

  • שימוש ב-LCT כשהגבול הוא 0 או ∞ (לא מסקנה)

  • בלבול בין התכנסות מוחלטת לבין התכנסות בתנאי

  • תרגול 6 היום: טור טלסקופי. • תנאי הכרחי. • משפט הזנבות. • מבחן ההשוואה. • מבחן ההשוואה הגבולי. • תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞ n=k ותהי 0 ≤ k ∈ Z יהי . lim N →∞ N ∑ n=k an מתכנס אם קיים הגבול ∞ ∑ n=k an נאמר שהטור במקרה זה נגדיר ∞ ∑ n=k an = lim N →∞ N ∑ n=k an תנאי הכרחי: . lim n→∞an = 0 טור מתכנס, אזי ∞ ∑ n=k an יהי , כלומר אם התנאי לא מתקיים הטורתנאי הכרחי ולא תנאי מספיק שימו לב שמדובר על מתבדר ואם התנאי מתקיים לא ניתן לדעת )על סמך הבדיקה של הגבול( אם הטור מתכנס או מתבדר. דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים, אם כן מצאו את ערכם: ∞ ∑ n=1 arctan n .1 פתרון: lim n→∞ arctan n = Heine lim x→∞ arctan x = π 2 6 = 0 מתנאי הכרחי. הטור מתבדר הגבול שונה מאפס ולכן 1

כלים מרכזיים

  • מבחן השוואה (CT)

  • מבחן גבול ההשוואה (LCT)

  • מבחן האינטגרל

  • מבחן לייבניץ

  • מבחן השוואה: LCT וCT

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 6

מבחן גבול השוואה נוח כשיש פולינום בנומרטור ובמכנה — מחלקים בחזקה הגדולה.

מה לחזור קודם

  • מבחן השוואה

  • מה זה 'סדר גודל'

חובה לשנן

  • מבחן גבול השוואה: lim⁡an/bn=L∈(0,∞)\lim a_n/b_n = L \in (0,\infty) ← שניהם יחד

  • מבחן אינטגרל: ff יורדת רציפה חיובית ↔ ∑f(n)\sum f(n) ← ∫f(x)dx\int f(x)dx

כלים מרכזיים

  • מבחן גבול השוואה

  • מבחן אינטגרל

טעויות נפוצות

  • להשתמש במבחן גבול השוואה כש-L=0L=0 או L=∞L=\infty (אז חד-כיווני בלבד)

  • לשכוח לבדוק ש-ff יורדת לפני מבחן אינטגרל

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    מבחן גבול השוואה — הגדרה ותנאים

  2. 2

    בחירת bnb_n: כמו השוואה רגילה, רק חישוב קל יותר

  3. 3

    מבחן אינטגרל — הגדרה ותנאים

  4. 4

    יישום: ∑1/(nln⁡n)\sum 1/(n\ln n) ← ∫1/(xln⁡x) dx\int 1/(x \ln x)\,dx

  5. 5

    מתי עדיף איזה מבחן

תרשים שבוע 6

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

טור מתכנס

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

תנאי הכרחי — lim aₙ = 0

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

Σ 1/nᵖ מתכנס ↔ p > 1

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

LCT: אם lim aₙ/bₙ = L > 0, שני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 6 — חומר חדש

הגדרות

  • טור מתכנס

  • טור מתבדר

  • p-series

משפטים

  • תנאי הכרחי — lim aₙ = 0

  • מבחן השוואה

  • LCT

  • מבחן האינטגרל

נוסחאות מפתח

Σ 1/nᵖ מתכנס ↔ p > 1

Σ qⁿ = 1/(1-q) ל|q|<1

חשוב למבחן

מבחני התכנסות — נושא מרכזי בכל בחינה

חשוב למבחן

LCT — שיטה עיקרית

✏️ תרגול

תרגול 6 · מתרגל הרצאה 5

בדיקת התכנסות טורים עם מבחן השוואה, מבחן הגבול (LCT), מבחן האינטגרל, ומבחן סדרות חלופיות (Leibniz).

טכניקות

  • מבחן השוואה (CT)

  • מבחן גבול ההשוואה (LCT)

  • מבחן האינטגרל

  • מבחן לייבניץ

חובה לתרגל

  • מבחן השוואה: LCT וCT

  • מבחן האינטגרל לטורים עם פונקציה יורדת

  • מבחן לייבניץ לטורים חלופיים

  • זיהוי טורים מהסוג p-series

טעויות נפוצות

  • שכחת לבדוק שהפונקציה חיובית ויורדת לפני מבחן האינטגרל

  • שימוש ב-LCT כשהגבול הוא 0 או ∞ (לא מסקנה)

  • בלבול בין התכנסות מוחלטת לבין התכנסות בתנאי

  • תרגול 6 היום: טור טלסקופי. • תנאי הכרחי. • משפט הזנבות. • מבחן ההשוואה. • מבחן ההשוואה הגבולי. • תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞ n=k ותהי 0 ≤ k ∈ Z יהי . lim N →∞ N ∑ n=k an מתכנס אם קיים הגבול ∞ ∑ n=k an נאמר שהטור במקרה זה נגדיר ∞ ∑ n=k an = lim N →∞ N ∑ n=k an תנאי הכרחי: . lim n→∞an = 0 טור מתכנס, אזי ∞ ∑ n=k an יהי , כלומר אם התנאי לא מתקיים הטורתנאי הכרחי ולא תנאי מספיק שימו לב שמדובר על מתבדר ואם התנאי מתקיים לא ניתן לדעת )על סמך הבדיקה של הגבול( אם הטור מתכנס או מתבדר. דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים, אם כן מצאו את ערכם: ∞ ∑ n=1 arctan n .1 פתרון: lim n→∞ arctan n = Heine lim x→∞ arctan x = π 2 6 = 0 מתנאי הכרחי. הטור מתבדר הגבול שונה מאפס ולכן 1

מסקנות

LCT: אם lim aₙ/bₙ = L > 0, שני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד

מבחן האינטגרל: השתמשי כשrandom קשה לחשב ישירות

טור חלופי מתכנס אם |aₙ| יורד למאפס

📋 מטלה

מטלה 6 · מבוסס תרגול 6 + הרצאה 5

1
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

נוסח השאלה

Calculus II – Spring 2025-26 Homework 6

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

2
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

נוסח השאלה

2. Determine whether each of the following series converges or diverges. (a) ∞ ∑ 𝑛=2 1 ln(𝑛)

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

3
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

נוסח השאלה

3. (a) Student A has proved that ∫ ∞ 1 𝑑 𝑥 𝑥 = 0 in the following way: ∫ ∞ 1 𝑑𝑥 𝑥 = ∫ 2 1 𝑑𝑥 𝑥 + ∫ 3 2 𝑑𝑥 𝑥 + ∫ 4 3 𝑑𝑥 𝑥 + · · · = HHH ln(2) − ln(1) + HHH ln(3) − HHH ln(2) + HHH ln(4)

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

4
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

נוסח השאלה

4. Let (𝑎𝑛)∞ 𝑛=1 be a sequence of real numbers. Consider the sequence defined by 𝑏𝑛 =    𝑎𝑘 𝑛 = 2𝑘 − 1 −𝑎𝑘 𝑛 = 2𝑘 ∀𝑛 ∈ N Prove that the series ∑∞ 𝑛=1 𝑏𝑛 is convergent if and

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

5
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

נוסח השאלה

5. Let (𝑎𝑛)∞ 𝑛=1 be a sequence of real numbers such that lim 𝑛→∞𝑎𝑛 = 0. Let 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R such that 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0. Let (𝑏𝑛)∞ 𝑛=1 be a sequence of real numbers such that for every 𝑛 ∈ N w

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

6
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

נוסח השאלה

6. Let (𝑎𝑛)∞ 𝑛=1 (𝑏𝑛)∞ 𝑛=1 be two sequences of real numbers. Prove or disprove each of the following statements: (a) Suppose that (𝑎𝑛)∞ 𝑛=1 (𝑏𝑛)∞ 𝑛=1 are non-negative. Suppose that 𝑎𝑛 <

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

תרגול 6 היום: טור טלסקופי. • תנאי הכרחי. • משפט הזנבות. • מבחן ההשוואה. • מבחן ההשוואה הגבולי. • תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞ n=k ותהי 0 ≤ k ∈ Z יהי . lim N →∞ N ∑ n=k an מתכנס אם קיים הגבול ∞ ∑ n=k an נאמר שהטור במקרה זה נגדיר ∞ ∑ n=k an = lim N →∞ N ∑ n=k an תנאי הכרחי: . lim n→∞an = 0 טור מתכנס, אזי ∞ ∑ n=k an יהי , כלומר אם התנאי לא מתקיים הטורתנאי הכרחי ולא תנאי מספיק שימו לב שמדובר על מתבדר ואם התנאי מתקיים לא ניתן לדעת )על סמך הבדיקה של הגבול( אם הטור מתכנס או מתבדר. דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים, אם כן מצאו את ערכם: ∞ ∑ n=1 arctan n .1 פתרון: lim n→∞ arctan n = Heine l

2
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

.n ∈ N לכל α (n) = ⌊ 23+n 2n ⌋ כאשר ∞ ∑ n=1 1 nα(n) .3 פתרון: n ≥ 24 , לכן לכלα (n) = ⌊ 23+n 2n ⌋ = ⌊ 23 2n + 1 2 ⌋ מתקיים n ∈ N נשים לב שלכל .α (n) = 0 נקבל ש נסתכל על הזנב של הטור ∞ ∑ n=24 1 nα(n) = ∞ ∑ n=24 1 n0 = ∞ ∑ n=24 1 = ∞ .הטור מתבדר קיבלנו שהזנב של הטור מתבדר, לכן תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞ n=k ותהי 0 ≤ k ∈ Z יהי .n ≥ k לכל an ≥ 0 הוא טור אי שלילי אם ∞ ∑ n=k an נאמר שהטור משפט )מבחן ההשוואה לטורים אי שליליים(: שתי סדרות של מספרים ממשיים. (bn)∞ n=k ו (an)∞ n=k ותהיינה 0 ≤ k ∈ Z יהי נניח כי .n ≥ k לכל 0 ≤ an ≤ bn .1 . ∞ ∑ n=k bn < ∞ .2 . ∞ ∑ n=k an ≤ ∞ ∑ n=k bn ובנוסף, ∞ ∑ n

3
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים או מתבדרים )אין צורך לחשב את ערכם(: ∞ ∑ n=1 √2n2+4n+1 n3+9 .1 פתרון: , אזיn ∈ N לכל bn = 1 n2 ו an = √2n2+4n+1 n3+9 נבחר lim n→∞ an bn = lim n→∞ ( √2n2+4n+1 n3+9 ) ( 1 n2 ) = lim n→∞ n2 √ n2 (2 + 4 n + 1 n2 ) n3 (1 + 9 n3 ) = lim n→∞ Z Z n3 · √ 2 + 4 n + 1 n2 Z Z n3 · (1 + 9 n3 ) = AOL √2 > 0 הרמוני. 2 מתכנס ביחד עם הטור ה ∞ ∑ n=1 √2n2+4n+1 n3+9 לכן הטור ∞ ∑ n=1 ln(n) n .2 פתרון: .n ≥ 3 לכל ln (n) > 1 נשים לב ש לכן ∞ ∑ n=3 ln (n) n ≥ ∞ ∑ n=3 1 n = ∞ מתבדר, כי ∞ ∑ n=1 ln(n) n מתבדר ולכן גם הטור ∞ ∑ n=3 ln(n) n ולכן ממבחן ההשוואה הטור הזנב שלו מתבדר. 4

4
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

∞ ∑ n=1 n √n3−4n2+5n .3 פתרון: מתקיים n ∈ N ראשית נשים לב שלכל n3 − 4n2 + 5n = n (n2 − 4n + 5) > 0 , אזיn ∈ N לכל bn = 1 n0.5 ו an = n √n3−4n2+5n נבחר lim n→∞ an bn = lim n→∞ ( n √n3−4n2+5n ) ( 1 n0.5 ) = lim n→∞ n1.5 √ n3 (1 − 4 n + 5 n2 ) = lim n→∞ HH n1.5 HH n1.5 √ 1 − 4 n + 5 n2 = AOL 1 > 0 הרמוני. 1 2 מתבדר ביחד עם הטור ה ∞ ∑ n=1 n √n3−4n2+5n לכן הטור ∞ ∑ n=1 n+100 sin(n) √n3−4n2+5n .4 פתרון: מתקיים n ≥ 200 מדובר בטור אי שלילי ולכל n ≥ 100 נשים לב שלכל n + 100 sin (n) √n3 − 4n2 + 5n ≥ n − n 2 √n3 − 4n2 + 5n = 1 2 · n √n3 − 4n2 + 5n מתבדר )הוכחנו בסעיף הקודם( ולכן גם הטור ∞ ∑ n=1 n √n3−4n2

5
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

תרגיל: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞ n=1 תהי הוא טור אי שלילי. ∞ ∑ n=1 an נניח שהטור הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: מתכנס. ∞ ∑ n=1 an מתכנס, אז ∞ ∑ n=1 a2 n 1. אם פתרון: הטענה לא נכונה. .n ≥ 1 לכל an = 1 n נבחר הטור ∞ ∑ n=1 a2 n = ∞ ∑ n=1 ( 1 n )2 = ∞ ∑ n=1 1 n2 < ∞ אבל ∞ ∑ n=1 an = ∞ ∑ n=1 1 n = ∞ מתכנס. ∞ ∑ n=1 a2 n מתכנס, אז ∞ ∑ n=1 an 2. אם פתרון: הטענה נכונה. , לכן קיים lim n→∞an = 0 מתכנס, התנאי ההכרחי מתקיים, כלומר ∞ ∑ n=1 an היות ש מתקיים n ≥ k כך שלכל k ∈ N | an − 0 |< 1 ⇒ an < 1 מתקיים n ≥ k טור אי שלילי, לכן לכל ∞ ∑ n=1 an 0 ≤ an < 1 לכן ∞ ∑ n=k a2 n ≤ ∞ ∑ n=k an < ∞ מתכנס, כ

6
בינוניגבולותטוריםמבחן-ההשוואה

. ∞ ∑ n=2 (−1)n b n 2 c = 0 3. מתקיים פתרון: הטענה נכונה. .2 ≤ N ∈ N לכל SN = N ∑ n=2 (−1)n b n 2 c ו 2 ≤ n ∈ N לכל an = (−1)n b n 2 c נגדיר מתקיים 2 ≤ N ∈ N נשים לב שלכל S2N −1 = (a2 − a3) + (a4 − a5) + ... + (a2N −2 − a2N −1) = ( 1 [ 2 2 ] − 1 ⌊ 3 2 ⌋ ) + ( 1 [ 4 2 ] − 1 ⌊ 5 2 ⌋ ) + ... + ( 1 [ 2N −2 2 ] − 1 ⌊ 2N −1 2 ⌋ ) = ( 1 1 − 1 1 ) + ( 1 2 − 1 2 ) + ... + ( 1 N − 1 − 1 N − 1 ) = 0 + 0 + ... + 0 = 0 ולכן lim N →∞ S2N −1 = lim N →∞ 0 = 0 מתקיים 2 ≤ N ∈ N בנוסף נשים לב שלכל S2N = S2N −1 + a2N = 0 + (−1)2N ⌊ 2N 2 ⌋ = ( (−1)2)N bN c = 1 N ולכן lim N →∞ S2N = lim N →∞ 1 N = 0 ולכן lim N →∞SN

שבוע 5שבוע 7