שבוע 1 — אינפי ב׳

תרגול 1 היום: משפט לופיטל. • משפט דרבו. • תזכורת: משפט לופיטל: .(x0, b) פונקציות המוגדרות ב f, g ותהיינה $x0 < b$ כך ש $x0, b \in \mathbb{R}$ תהיינה נניח כי . $\lim_{x\to x_0^+} g (x) = \infty$ או $\lim_{x\to x_0^+} f (x) = \lim_{x\to x_0^+} g (x) = 0 .1 .(x0, b)$ גזירות ב $f, g .2 .x \in (x0, b)$ לכל $g' (x) \ne 0 .3$ קיים במובן הרחב. $\lim_{x\to x_0^+} f '(x) g'(x) 4.$ הגבול קיים במובן הרחב, ובנוסף, $\lim_{x\to x_0^+} f (x) g(x)$ אזי גם הגבול $\lim_{x\to x_0^+} f (x) g (x) = \lim_{x\to x_0^+} f ' (x) g' (x)$ הערה: . ? $\infty , 0 0$ כלל לופיטל תקף רק במקרים: 1

דוגמאות: חשבו כל אחד מהגבולות הבאים או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב: $\lim_{x\to 0} [ x \cdot e 1 x ] .1$ פתרון: נפריד לגבולות חד צדדיים. גבול מימין: $\lim_{x\to 0+} [ x \cdot e 1 x ] = \lim_{x\to 0+} e 1 x 1 x ? \infty = L \lim_{x\to 0+} e 1 x \cdot (ZZ \mathbb{Z} - 1 x2 ) ZZ \mathbb{Z} - 1 x2 = \infty$ כאשר $\lim_{x\to 0+} e 1 x = t= 1 x lim t\to \infty et = \infty$ גבול משמאל: $\lim_{x\to 0-} x \cdot e 1 x = AOL 0 \cdot 0 = 0$ כאשר $\lim_{x\to 0-} e 1 x = t= 1 x \lim_{t\to -}\infty et = 0$ קיבלנו שהגבולות החד צדדיים שונים, לכן הגבול לא קיים במובן הרחב. 2

תזכורת: משפט דרבו: .[a, b] פונקציה המוגדרת ב f ותהי $a < b$ כך ש $a, b \in \mathbb{R}$ תהיינה .$f ' (a) \cdot f ' (b) < 0 .$ נניח בנוסף כי[a, b] גזירה ב f נניח כי .$f ' (c) = 0$ שעבורה $a < c < b$ אזי קיימת משפט דרבו המורחב: .[a, b] פונקציה המוגדרת ב f ותהי $a < b$ כך ש $a, b \in \mathbb{R}$ תהיינה .$f ' (b) \le r \le f ' (a)$ או $f ' (a) \le r \le f ' (b)$ וכי [a, b] גזירה ב f . נניח כי$r \in \mathbb{R}$ יהי .$f ' (c) = r$ שעבורה $a \le c \le b$ אזי קיימת הוכחה: .$(c = a) ,$ אזי סיימנו$f ' (a) = r$ אם .$(c = b) ,$ אזי סיימנו$f ' (b) = r$ אם .$f ' (b) < r < f ' (a)$ או $f ' (a) < r < f ' (b)$ אחרת, .$x \in [a, b]$ לכל $g (x) = f (x) - rx$ נגדיר מתקיים $x \in [a, b]$ מאשג"ז וכי לכל [a, b

תרגיל: .${f ' (x) : x \in \mathbb{R}} \subseteq \mathbb{Q}$ פונקציה גזירה. נניח כי $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ תהי .$x \in \mathbb{R}$ לכל $f ' (x) = q0$ כך ש $q0 \in \mathbb{Q}$ היא קבועה, כלומר שקיים f ′ 1. הוכיחו כי פתרון: וכך ש $x1 \ne x2$ כך ש $x1, x2 \in \mathbb{R}$ לא קבועה, לכן קיימים f ′ נניח בשלילה ש .$f ' (x1) < f ' (x2)$ כך ש $r \in \mathbb{R}$ \ Q קיים R \ Q מצפיפות $f ' (x1) < r < f ' (x2)$ בסתירה $f ' (c) = r$ כך ש x2 ל x1 בין c לכן ממשפט דרבו המורחב קיימת נקודה .${f ' (x) : x \in \mathbb{R}} \subseteq \mathbb{Q}$ לכך ש .$x \in \mathbb{R}$ לכל $f ' (x) = q0$ כך ש $q0 \in \mathbb{Q}$ היא קבועה ולכן קיים f ′ לכן .$x \in \mathbb{R}$ לכל $f (x) = q0 \cdot x + r0$ כך ש $r0 \in \mathbb{R} 2.$ הוכיחו כי קיים פתרון: .$x \in \mathbb{R}$ לכל $g (x) = f (x) - q0x$ נגדיר את מתקיים $x \in \mathbb{R}$ גזירה מאשג"ז ו

הוכיחו או הפריכו: הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: , $lim x\to \infty f ' (x) = L$ פונקציה גזירה המקיימת $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ותהי $L > 0 1.$ יהי . $lim x\to \infty f (x) = \infty$ אזי פתרון: הטענה נכונה. נוכיח בעזרת לופיטל $lim x\to \infty f (x) = lim x\to \infty x \cdot f (x) x$ נחשב בנפרד את הגבול $lim x\to \infty f (x) x ? \infty = L lim x\to \infty f ' (x) 1 = L$ נחזור לתרגיל ומאש"ג נקבל $lim x\to \infty f (x) = lim x\to \infty x \cdot f (x) x = AOL \infty \cdot L = \infty$ קיים במובן הרחב. $lim x\to \infty f (x) x$ פונקציה גזירה. נניח כי $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 2.$ תהי . $lim x\to \infty f (x) x = lim x\to \infty f ' (x)$ קיים במובן הרחב ומתקיים $lim x\to \infty f ' (x)$ אזי פתרון: הטענה לא נכונה. .$x \in \mathbb{R}$ לכל $f (x) = sin x$ דוגמא נגדית: נבחר נשים לב כי $lim x\to \infty$

$x \in \mathbb{R} 3.$ הפונקציה המוגדרת לכל f (x) = { sin x x x \ne 0 1 x = 0 גזירה. פתרון: הטענה נכונה. .$x0 \in \mathbb{R}$ יהי מאשג"ז. $x0 \ne 0$ גזירה לכל f נקבל $x0 = 0$ עבור $f ' (0) = \lim_{x\to 0} f (x) - f (0) x_0^- = \lim_{x\to 0} sin x x - 1 x = \lim_{x\to 0} sin x - x x2 0 0 = L \lim_{x\to 0} cos x - 1 2x 0 0 = L \lim_{x\to 0} - sin x 2 = AOL 0 f ' (x) = 0$ כך ש [−1, 1] גזירה ולא קבועה בקטע $f : [-1, 1] \to \mathbb{R} 4.$ קיימת פונקציה .$x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$ לכל פתרון: הטענה לא נכונה. נניח בשלילה שקיימת פונקציה כזאת. ואז היא קבועה בקטע. $x \in [-1, 1]$ לכל $f ' (x) = 0 ,$ אחרת$f ' (0) \ne 0$ לכן , אזי$f ' (0) \ne 0$ ו $f ' (1) = 0$ היות ש $0 = f ' (1) < f ' (0) 2 < f '$