∑
26
2
שבועותשבוע 1
📄 סיכום שבוע

שבוע 1

גבולות — כלל לופיטל ומשפט דרבו

כלל לופיטלמשפט דרבוגבולות חד-צדדיים
📖

הרצאה 1

חומר חדש

→
✏️

תרגול 1

פתיחת קורס

→
📋

מטלה 1

חומר ראשון

סיכום שבוע 1

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • לופיטל תקף רק ב-0/0 ו-∞/∞ — תמיד בדקי תנאים קודם

  • דרבו מאפשר למצוא נקודה עם נגזרת כלשהי בין שתי נקודות גזירות

  • משפט דרבו המורחב הוא כלי הוכחה חזק לשאלות 'הוכיחו/הפריכו'

טעויות נפוצות

  • שימוש בלופיטל כשהגבול לא בצורה 0/0 או ∞/∞

  • שכחה לבדוק תנאי לופיטל לפני הפעלה

  • חוסר בדיקת גבולות חד-צדדיים כשהפונקציה לא מוגדרת מכל צד

כלים מרכזיים

  • כלל לופיטל

  • פירוק לגבולות חד-צדדיים

  • משפט דרבו

  • משפט דרבו המורחב

  • חשב גבולות בצורת 0/0 ו-∞/∞ עם לופיטל

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 1

בדקי תמיד קודם את סוג האי-הכרעה לפני שמפעילים L'Hôpital.

מה לחזור קודם

  • הגדרת פונקציה

  • גבול של פונקציה

  • כלל L'Hôpital

חובה לשנן

  • הגדרת ε\varepsilon-δ\delta של גבול (לפחות בהבנה)

  • גבולות בסיסיים

כלים מרכזיים

  • חישוב גבולות

  • כלל L'Hôpital

  • גבולות מפורסמים

טעויות נפוצות

  • לחשב גבול מבלי לבדוק שהוא מסוג 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty לפני L'Hôpital

  • לשכוח שגבול ≠ ערך הפונקציה

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    חזרי על הגדרת גבול פונקציה

  2. 2

    תרגלי גבולות פשוטים (00\frac{0}{0} וכו')

  3. 3

    כלל L'Hôpital — מתי ואיך

  4. 4

    גבולות מפורסמים: lim⁡sin⁡xx=1\lim \frac{\sin x}{x} = 1, lim⁡(1+1/n)n=e\lim (1+1/n)^n = e

תרשים שבוע 1

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

גבול חד-צדדי

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

כלל לופיטל

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

lim f/g = lim f'/g' (בתנאים)

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

לופיטל תקף רק ב-0/0 ו-∞/∞ — תמיד בדקי תנאים קודם

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 1 — חומר חדש

הגדרות

  • גבול חד-צדדי

  • גזירות בנקודה

משפטים

  • כלל לופיטל

  • משפט דרבו

  • משפט דרבו המורחב

נוסחאות מפתח

lim f/g = lim f'/g' (בתנאים)

חשוב למבחן

לופיטל מופיע בכמעט כל בחינה — שנני תנאים

חשוב למבחן

דרבו — שאלת הוכחה קלאסית

מקור: הרצאות 1+2.pdf

✏️ תרגול

תרגול 1 · מתרגל הרצאה פתיחה

חישוב גבולות בצורות 0/0 ו-∞/∞ עם כלל לופיטל, וגבולות מהסוג 0·∞. יישום משפט דרבו להוכחות על פונקציות גזורות.

טכניקות

  • כלל לופיטל

  • פירוק לגבולות חד-צדדיים

  • משפט דרבו

  • משפט דרבו המורחב

חובה לתרגל

  • חשב גבולות בצורת 0/0 ו-∞/∞ עם לופיטל

  • הוכחת קיום נקודה עם ערך נגזרת נתון (דרבו)

  • הוכיחו או הפריכו — גבולות ונגזרות

טעויות נפוצות

  • שימוש בלופיטל כשהגבול לא בצורה 0/0 או ∞/∞

  • שכחה לבדוק תנאי לופיטל לפני הפעלה

  • חוסר בדיקת גבולות חד-צדדיים כשהפונקציה לא מוגדרת מכל צד

מסקנות

לופיטל תקף רק ב-0/0 ו-∞/∞ — תמיד בדקי תנאים קודם

דרבו מאפשר למצוא נקודה עם נגזרת כלשהי בין שתי נקודות גזירות

משפט דרבו המורחב הוא כלי הוכחה חזק לשאלות 'הוכיחו/הפריכו'

📋 מטלה

מטלה 1 · מבוסס תרגול 1

1
גבולותטוריםנגזרות

נוסח השאלה

Calculus II – Spring 2025-26 Homework 1

שאלה מייצגת — בנה/בני הבנה יציבה

2
גבולותטוריםנגזרות

נוסח השאלה

2. Let 𝑥0 ∈ R and let 𝑓 be a function that is defined on a neighborhood of 𝑥0. Suppose that 𝑓 is differentiable at every 𝑥 in the neighborhood for which 𝑥 ≠ 𝑥0. Let 𝐿 ∈ R and suppose also that

שאלה מייצגת — בנה/בני הבנה יציבה

3
גבולותטוריםנגזרות

נוסח השאלה

3. Let 𝑥0 ∈ R and let 𝑓 : R → R. (a) Suppose that 𝑓 is twice-differentiable at 𝑥0. Prove that lim ℎ→0 𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 2 𝑓 (𝑥0) + 𝑓 (𝑥0 − ℎ) ℎ2 = 𝑓 ′′ (𝑥0)

שאלה מייצגת — בנה/בני הבנה יציבה

4
גבולותטוריםנגזרות

נוסח השאלה

4. (a) Student A has computed lim 𝑥→1 𝑥3+3𝑥−4 𝑥2 −3𝑥+2 by using L’Hˆopital’s rule in the following way: lim 𝑥→1 𝑥3 + 3𝑥 − 4 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = lim 𝑥→1 3𝑥2 + 3 2𝑥 − 3 = lim 𝑥→1 6𝑥 2 = 3 Expla

שאלה מייצגת — בנה/בני הבנה יציבה

5
גבולותטוריםנגזרות

נוסח השאלה

5. Let 𝑓 be a function that is defined on (0, 2). Suppose that 𝑓 is differentiable. (a) Suppose that 𝑓 ′ (𝑥) · 𝑓 ′ 1 𝑥 < 0 for every 1 ≠ 𝑥 ∈ (0, 2). Prove that 𝑓 ′ (1) = 0.

שאלה מייצגת — בנה/בני הבנה יציבה

6
גבולותטוריםנגזרות

נוסח השאלה

6. Let 𝐿 ∈ R. (a) Let 𝑔1 : R → R. Suppose 𝑔1 is an odd function, i.e., 𝑔1 (−𝑥) = −𝑔1 (𝑥) for every 𝑥 ∈ R. Suppose in addition that lim 𝑥→∞𝑔1 (𝑥) = 𝐿. Prove that lim 𝑥→−∞𝑔1 (𝑥) = −𝐿. So

שאלה מייצגת — בנה/בני הבנה יציבה

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תרגול 1 היום: משפט לופיטל. • משפט דרבו. • תזכורת: משפט לופיטל: .(x0, b) פונקציות המוגדרות ב f, g ותהיינה x0 < b כך ש x0, b ∈ R תהיינה נניח כי . lim x→x+ 0 g (x) = ∞ או lim x→x+ 0 f (x) = lim x→x+ 0 g (x) = 0 .1 .(x0, b) גזירות ב f, g .2 .x ∈ (x0, b) לכל g′ (x) 6 = 0 .3 קיים במובן הרחב. lim x→x+ 0 f ′(x) g′(x) 4. הגבול קיים במובן הרחב, ובנוסף, lim x→x+ 0 f (x) g(x) אזי גם הגבול lim x→x+ 0 f (x) g (x) = lim x→x+ 0 f ′ (x) g′ (x) הערה: . ? ∞ , 0 0 כלל לופיטל תקף רק במקרים: 1

2
בינוניגבולותסדרותפונקציות

דוגמאות: חשבו כל אחד מהגבולות הבאים או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב: lim x→0 [ x · e 1 x ] .1 פתרון: נפריד לגבולות חד צדדיים. גבול מימין: lim x→0+ [ x · e 1 x ] = lim x→0+ e 1 x 1 x ? ∞ = L lim x→0+ e 1 x · (ZZ Z − 1 x2 ) ZZ Z − 1 x2 = ∞ כאשר lim x→0+ e 1 x = t= 1 x lim t→∞ et = ∞ גבול משמאל: lim x→0− x · e 1 x = AOL 0 · 0 = 0 כאשר lim x→0− e 1 x = t= 1 x lim t→−∞ et = 0 קיבלנו שהגבולות החד צדדיים שונים, לכן הגבול לא קיים במובן הרחב. 2

3
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תזכורת: משפט דרבו: .[a, b] פונקציה המוגדרת ב f ותהי a < b כך ש a, b ∈ R תהיינה .f ′ (a) · f ′ (b) < 0 . נניח בנוסף כי[a, b] גזירה ב f נניח כי .f ′ (c) = 0 שעבורה a < c < b אזי קיימת משפט דרבו המורחב: .[a, b] פונקציה המוגדרת ב f ותהי a < b כך ש a, b ∈ R תהיינה .f ′ (b) ≤ r ≤ f ′ (a) או f ′ (a) ≤ r ≤ f ′ (b) וכי [a, b] גזירה ב f . נניח כיr ∈ R יהי .f ′ (c) = r שעבורה a ≤ c ≤ b אזי קיימת הוכחה: .(c = a) , אזי סיימנוf ′ (a) = r אם .(c = b) , אזי סיימנוf ′ (b) = r אם .f ′ (b) < r < f ′ (a) או f ′ (a) < r < f ′ (b) אחרת, .x ∈ [a, b] לכל g (x) = f (x) − rx נגדיר מתקיים x ∈ [a, b] מאשג"ז וכי לכל [a, b

4
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תרגיל: .{f ′ (x) : x ∈ R} ⊆ Q פונקציה גזירה. נניח כי f : R → R תהי .x ∈ R לכל f ′ (x) = q0 כך ש q0 ∈ Q היא קבועה, כלומר שקיים f ′ 1. הוכיחו כי פתרון: וכך ש x1 6 = x2 כך ש x1, x2 ∈ R לא קבועה, לכן קיימים f ′ נניח בשלילה ש .f ′ (x1) < f ′ (x2) כך ש r ∈ R \ Q קיים R \ Q מצפיפות f ′ (x1) < r < f ′ (x2) בסתירה f ′ (c) = r כך ש x2 ל x1 בין c לכן ממשפט דרבו המורחב קיימת נקודה .{f ′ (x) : x ∈ R} ⊆ Q לכך ש .x ∈ R לכל f ′ (x) = q0 כך ש q0 ∈ Q היא קבועה ולכן קיים f ′ לכן .x ∈ R לכל f (x) = q0 · x + r0 כך ש r0 ∈ R 2. הוכיחו כי קיים פתרון: .x ∈ R לכל g (x) = f (x) − q0x נגדיר את מתקיים x ∈ R גזירה מאשג"ז ו

5
בינוניגבולותסדרותפונקציות

הוכיחו או הפריכו: הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: , lim x→∞f ′ (x) = L פונקציה גזירה המקיימת f : R → R ותהי L > 0 1. יהי . lim x→∞f (x) = ∞ אזי פתרון: הטענה נכונה. נוכיח בעזרת לופיטל lim x→∞f (x) = lim x→∞x · f (x) x נחשב בנפרד את הגבול lim x→∞ f (x) x ? ∞ = L lim x→∞ f ′ (x) 1 = L נחזור לתרגיל ומאש"ג נקבל lim x→∞f (x) = lim x→∞x · f (x) x = AOL ∞ · L = ∞ קיים במובן הרחב. lim x→∞ f (x) x פונקציה גזירה. נניח כי f : R → R 2. תהי . lim x→∞ f (x) x = lim x→∞f ′ (x) קיים במובן הרחב ומתקיים lim x→∞f ′ (x) אזי פתרון: הטענה לא נכונה. .x ∈ R לכל f (x) = sin x דוגמא נגדית: נבחר נשים לב כי lim x→∞

6
בינוניגבולותסדרותפונקציות

x ∈ R 3. הפונקציה המוגדרת לכל f (x) = { sin x x x 6 = 0 1 x = 0 גזירה. פתרון: הטענה נכונה. .x0 ∈ R יהי מאשג"ז. x0 6 = 0 גזירה לכל f נקבל x0 = 0 עבור f ′ (0) = lim x→0 f (x) − f (0) x − 0 = lim x→0 sin x x − 1 x = lim x→0 sin x − x x2 0 0 = L lim x→0 cos x − 1 2x 0 0 = L lim x→0 − sin x 2 = AOL 0 f ′ (x) = 0 כך ש [−1, 1] גזירה ולא קבועה בקטע f : [−1, 1] → R 4. קיימת פונקציה .x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] לכל פתרון: הטענה לא נכונה. נניח בשלילה שקיימת פונקציה כזאת. ואז היא קבועה בקטע. x ∈ [−1, 1] לכל f ′ (x) = 0 , אחרתf ′ (0) 6 = 0 לכן , אזיf ′ (0) 6 = 0 ו f ′ (1) = 0 היות ש 0 = f ′ (1) < f ′ (0) 2 < f ′

שבוע 2