Mentora
0
2
שבועותשבוע 1
סיכום שבוע

שבוע 1

שבוע 1 — אינפי ב׳

פתחי סיכום שבוע 1
📖

שבוע פתיחה

ללא הרצאה

→
✏️

תרגול 1

פתיחת קורס

→
📋

מטלה 1

חומר ראשון

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

סיכום שבוע 1

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • לופיטל תקף רק ב−0/0-0/0 ו−∞/∞-\infty /\infty — תמיד בדקי תנאים קודם

  • דרבו מאפשר למצוא נקודה עם נגזרת כלשהי בין שתי נקודות גזירות

  • משפט דרבו המורחב הוא כלי הוכחה חזק לשאלות 'הוכיחו/הפריכו'

טעויות נפוצות

  • שימוש בלופיטל כשהגבול לא בצורה 0/00/0 או ∞/∞\infty /\infty

  • שכחה לבדוק תנאי לופיטל לפני הפעלה

  • חוסר בדיקת גבולות חד-צדדיים כשהפונקציה לא מוגדרת מכל צד

כלים מרכזיים

  • כלל לופיטל

  • פירוק לגבולות חד-צדדיים

  • משפט דרבו

  • משפט דרבו המורחב

  • חשב גבולות בצורת 0/00/0 ו−∞/∞-\infty /\infty עם לופיטל

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 1

שבוע פתיחה (תרגול 1 + מטלה 1) — חזרה על חומר הבסיס מאינפי 1 לפני שמתחילים.

מה לחזור קודם

  • הגדרת פונקציה

  • גבול של פונקציה

  • כלל L'Hôpital

חובה לשנן

  • הגדרת ε\varepsilon-δ\delta של גבול (לפחות בהבנה)

  • גבולות בסיסיים

כלים מרכזיים

  • חישוב גבולות

  • כלל L'Hôpital

  • גבולות מפורסמים

טעויות נפוצות

  • לחשב גבול מבלי לבדוק שהוא מסוג 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty לפני L'Hôpital

  • לשכוח שגבול ≠ ערך הפונקציה

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    חזרי על הגדרת גבול פונקציה

  2. 2

    תרגלי גבולות פשוטים (00\frac{0}{0} וכו')

  3. 3

    כלל L'Hôpital — מתי ואיך

  4. 4

    גבולות מפורסמים: lim⁡sin⁡xx=1\lim \frac{\sin x}{x} = 1, lim⁡(1+1/n)n=e\lim (1+1/n)^n = e

סיכום שבוע 1

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

לשלוט בכלל לופיטל לחישוב גבולות מהצורות 0/00/0, ∞/∞\infty/\infty, 0⋅∞0\cdot\infty, 000^0, ∞0\infty^0, ולהבין את משפט דרבו.

העיקרון המוביל

לופיטל הוא כלי — לא קסם. בדקי תמיד שהצורה אכן לא-קבועה (0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty) לפני כל שימוש. צורות כמו 0⋅∞0\cdot\infty ו-000^0 דורשות קודם המרה לשבר.

אם lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0 (או ±∞\pm\infty), ו-g′(x)≠0g'(x) \ne 0 בסביבת aa, אז:

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

בתנאי שהגבול מימין קיים (או ±∞\pm\infty).

למה זה נוסף?

גבולות מהצורה 0/00/0 ו-∞/∞\infty/\infty אינם ניתנים לחישוב ישיר — נוצרת אי-בהירות. לופיטל מאפשר להחליף את הגבול המקורי בגבול של הנגזרות.

אינטואיציה

כשמונה ומכנה שניהם שואפים לאפס, הם מתחרים על ה'קצב'. הנגזרות מודדות את הקצב הזה — ולכן יחס הנגזרות נותן את התשובה.

מתי להשתמש?

כשגבול ישיר נותן 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty. לא לפני כן! תמיד נסי להציב קודם.

הערות חשובות

  • ניתן להפעיל שוב אם הגבול החדש עדיין 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty.

  • הגבול מימין חייב להתכנס — אם לא מתכנס, הכלל לא מסייע (אבל לא אומר שגבול המקורי לא קיים).

  • כלל לופיטל תקף גם לגבולות חד-צדדיים ולגבולות ב-±∞\pm\infty.

טעות נפוצה

אסור להפעיל לופיטל כשהצורה אינה 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty! לדוגמה: lim⁡x→0sin⁡xx+1\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x+1} — כאן sin⁡(0)/(0+1)=0\sin(0)/(0+1) = 0 ישירות, אין צורך בלופיטל.

דוגמה

lim⁡x→0ex−1x\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}: הצבה נותנת 0/00/0. לופיטל: ex1→1\dfrac{e^x}{1} \to 1.

אם lim⁡f(x)=0\lim f(x) = 0 ו-lim⁡g(x)=∞\lim g(x) = \infty, כתבי:

f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} \quad \text{או} \quad \frac{g(x)}{1/f(x)}

ואז הפעילי לופיטל.

אינטואיציה

צורת 0⋅∞0 \cdot \infty היא תחרות — מי ינצח? המרה לשבר מגלה את התוצאה.

מתי להשתמש?

כשאחד הגורמים שואף לאפס והשני לאינסוף. בחרי איזה גורם לשים במכנה: בדרך כלל עדיף לשים את exe^x או החזקה במכנה.

הערות חשובות

  • כלל אצבע: שימי את הגורם ה'חזק' (למשל exe^x) במכנה — כי נגזרתו עדיין exe^x ולא מסבכת.

טעות נפוצה

שימי לב לגבולות חד-צדדיים! לדוגמה: lim⁡x→0+x⋅e1/x=∞\lim_{x\to 0^+} x \cdot e^{1/x} = \infty (מצד ימין), אבל lim⁡x→0−x⋅e1/x=0\lim_{x\to 0^-} x \cdot e^{1/x} = 0 (מצד שמאל). הגבול הדו-צדדי לא קיים.

דוגמה

lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x\to 0^+} x \ln x: כתבי ln⁡x1/x\frac{\ln x}{1/x}. לופיטל: 1/x−1/x2=−x→0\frac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0.

אם lim⁡f(x)g(x)\lim f(x)^{g(x)} היא צורה בלתי-קבועה, הגדירי L=lim⁡fgL = \lim f^g ואז:

ln⁡L=lim⁡g(x)⋅ln⁡f(x)\ln L = \lim g(x) \cdot \ln f(x)

זוהי צורת 0⋅∞0\cdot\infty — המירי לשבר והפעילי לופיטל.

אינטואיציה

הלוגריתם הופך חזקות למכפלות. אחרי שחישבנו ln⁡L\ln L, הגבול המקורי הוא L=eln⁡LL = e^{\ln L}.

מתי להשתמש?

לכל גבול מהצורה [f(x)]g(x)[f(x)]^{g(x)} שהוא 000^0, ∞0\infty^0 או 1∞1^\infty.

הערות חשובות

  • תמיד לזכור L = e^{\text{התשובה}} בסוף!

  • אם ln⁡L=0\ln L = 0 אז L=e0=1L = e^0 = 1.

דוגמה

lim⁡x→0+[arctan⁡(x)]1−cos⁡xx\lim_{x\to 0^+} [\arctan(x)]^{\frac{1-\cos x}{x}}: ln⁡L=lim⁡1−cos⁡xx⋅ln⁡(arctan⁡x)\ln L = \lim \frac{1-\cos x}{x} \cdot \ln(\arctan x). כשיש x→0+x\to 0^+: arctan⁡x≈x\arctan x \approx x, ln⁡(arctan⁡x)≈ln⁡x\ln(\arctan x) \approx \ln x, 1−cos⁡xx≈x/2→0\frac{1-\cos x}{x} \approx x/2 \to 0. לכן ln⁡L=0\ln L = 0, L=1L = 1.

תהי ff גזירה על [a,b][a,b]. אם f′(a)<c<f′(b)f'(a) < c < f'(b) (או f′(b)<c<f′(a)f'(b) < c < f'(a)), אז קיים ξ∈(a,b)\xi \in (a,b) כך ש-f′(ξ)=cf'(\xi) = c.

כלומר: הנגזרת מקיימת את משפט ערך הביניים, גם אם היא עצמה לא רציפה.

למה זה נוסף?

מאפשר לשלול קיומן של אי-רציפויות מסוגים מסוימים בנגזרת.

אינטואיציה

הנגזרת 'לא יכולה לקפוץ'. אם f′(a)=0f'(a) = 0 ו-f′(b)=2f'(b) = 2, היא חייבת לעבור בכל ערך בין 0 ל-2 — גם ב-1.

הערות חשובות

  • מסקנה: לנגזרת אין אי-רציפויות קפיצה (jump) ואין אי-רציפויות ניתנות להסרה (removable). הסוג היחידי המותר הוא אי-רציפות עצמותית (essential).

  • הוכחה: מגדירים h(x)=f(x)−cxh(x) = f(x) - cx ומשתמשים במינימום/מקסימום.

  • דרבו שונה מ-IVT — הנגזרת לא חייבת להיות רציפה, אבל עדיין מקיימת ערך ביניים.

טעות נפוצה

אל תניחי שהנגזרת רציפה! דרבו אומר שהיא מקיימת IVT — לא שהיא רציפה. פונקציה כמו f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x) = x^2 \sin(1/x) (עם f(0)=0f(0)=0) גזירה אך f′f' לא רציפה ב-0.

דוגמה

נתון f′(0)=−1f'(0) = -1, f′(1)=3f'(1) = 3. לפי דרבו, קיים ξ∈(0,1)\xi \in (0,1) כך ש-f′(ξ)=0f'(\xi) = 0 — כלומר לפונקציה יש נקודה קריטית.

אם f′f' מוגדרת בסביבת x0x_0 ויש לה גבול חד-צדדי שאינו שווה ל-f′(x0)f'(x_0), אז f′f' אינה גזירה בנקודה זו (סתירה לדרבו).

אינטואיציה

אם נגזרת 'קופצת' בנקודה מסוימת, זה סתירה למשפט דרבו. אי-רציפות קפיצה בנגזרת — בלתי אפשרית.

מתי להשתמש?

בשאלות הוכחה: 'הוכח שלפונקציה זו אין נגזרת/שהנגזרת לא יכולה לקיים תכונה X'.

תרשים שבוע 1

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

טכניקה

כלל לופיטל

זה הצעד הפרקטי שמתרגלים על בסיס הרצאה קודמת.

מה מסיקים

לופיטל תקף רק ב−0/0-0/0 ו−∞/∞-\infty /\infty — תמיד בדקי תנאים קודם

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

שבוע פתיחה — ללא הרצאה

אין סיכום הרצאה לשבוע זה

✏️ תרגול

תרגול 1 · מתרגל הרצאה פתיחה

חישוב גבולות בצורות 0/0 ו-∞/∞ עם כלל לופיטל, וגבולות מהסוג 0·∞. יישום משפט דרבו להוכחות על פונקציות גזורות.

טכניקות

  • כלל לופיטל

  • פירוק לגבולות חד-צדדיים

  • משפט דרבו

  • משפט דרבו המורחב

חובה לתרגל

  • חשב גבולות בצורת 0/00/0 ו−∞/∞-\infty /\infty עם לופיטל

  • הוכחת קיום נקודה עם ערך נגזרת נתון (דרבו)

  • הוכיחו או הפריכו — גבולות ונגזרות

טעויות נפוצות

  • שימוש בלופיטל כשהגבול לא בצורה 0/00/0 או ∞/∞\infty /\infty

  • שכחה לבדוק תנאי לופיטל לפני הפעלה

  • חוסר בדיקת גבולות חד-צדדיים כשהפונקציה לא מוגדרת מכל צד

מסקנות

לופיטל תקף רק ב−0/0-0/0 ו−∞/∞-\infty /\infty — תמיד בדקי תנאים קודם

דרבו מאפשר למצוא נקודה עם נגזרת כלשהי בין שתי נקודות גזירות

משפט דרבו המורחב הוא כלי הוכחה חזק לשאלות 'הוכיחו/הפריכו'

📋 מטלה

מטלה 1 · מבוסס תרגול 1

טבלת מטלה

מטלה 1 — שאלות לתרגול ומעקב

6 שאלות6 בעדיפות גבוהה
ש׳ 1
ש׳ 2
ש׳ 3
ש׳ 4
ש׳ 5
ש׳ 6

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

Week 1

שבוע 1

לופיטל + דרבו

תרגול 1

תובנות שבועיות

1
שבוע 1תרגול 1 · לופיטל + דרבו
פתח

  • לופיטל תקף רק בצורה 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty — לבדוק תנאים לפני כל שימוש!

  • כשיש גבול מהצורה 0⋅∞0\cdot\infty — להוריד למכנה. איזה ביטוי? ניסוי וטעייה.

  • אחרי כל לופיטל — עצור ובדוק שהתקדמת. אם לא — שנה כיוון.

  • גבול חד-צדדי: לבדוק מימין ומשמאל בנפרד כשיש סימן תלוי כיוון.

  • נגזרת לא יכולה להיות אי-רציפות קפיצה/סליקה — רק אי-רציפות עיקרית (דרבו).

  • דרבו המורחב = ערך ביניים של הנגזרת — כלי הוכחה חשוב לשאלות 'הוכח שקיים cc'.

טיפ

בשאלות 'הוכח שקיים cc כך ש-f′(c)=rf'(c)=r' — להשתמש בדרבו המורחב בדיוק כמו שמשתמשים במשפט ערך הביניים (IVT).

אינטואיציות שמקס הדגיש

תרגול 1נגזרות

נגזרת לא יכולה לקפוץ

נגזרת של פונקציה גזירה לא יכולה להיות בעלת אי-רציפות קפיצה או סליקה — רק אי-רציפות עיקרית (כמו sin⁡(1/x)\sin(1/x)). זה ישיר ממשפט דרבו המורחב.

נגזרת לא יכולה להיות אי-רציפות קפיצה. למה? כי נגזרת מקיימת ערך ביניים — אם היא מקבלת ערך פה וערך פה, היא חייבת לקבל את כל הערכים ביניהם.

חשוב למבחן

אם מציעים לך פונקציה 'גזירה' עם נגזרת שקופצת — זה שגוי. כדוגמה נגדית, f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x)=x^2\sin(1/x) אכן גזירה עם נגזרת לא רציפה (אבל רק אי-רציפות עיקרית).

תרגול 1גבולות

אחרי כל לופיטל — עצור ובדוק!

אחרי כל שימוש בלופיטל, עצור ובדוק: האם הגעת לביטוי פשוט יותר? אם לא, שינית כיוון — אין תשובה חד-משמעית על איזה ביטוי להוריד למכנה, זה ניסוי וטעייה.

אין תשובה חד משמעית. מנסים, אין לי תשובה. החוכמה היא לעצור בזמן. מי שמגיע לפה ומתחיל לעשות לופיטל שוב — כבר לא בכיוון.

שימי לב

אם אחרי לופיטל קיבלת ביטוי מסובך יותר (כגון x2x^2 במקום xx) — זה הכיוון הלא נכון. נסי לבחור כיוון אחר.

דוגמאות נגדיות

נגזרת לא יכולה לקפוץ

תרגול 1 · שבוע 1 · נגזרות, דרבו

שגוי

הטענה

יש פונקציה ff גזירה כך ש-f′f' מקבלת את הערכים 00 ו-11 אבל לא 0.50.5

דוגמה נגדית

לפי משפט דרבו המורחב, נגזרת מקיימת ערך ביניים. אם f′(a)=0f'(a)=0 ו-f′(b)=1f'(b)=1, אז קיים c∈(a,b)c\in(a,b) כך ש-f′(c)=0.5f'(c)=0.5.

האי-רציפות היחידה שיכולה להיות לנגזרת זה רק אי-רציפות עיקרית. לא קפיצה, לא סליקה.

טעויות נפוצות

שימוש בלופיטל כשהגבול לא בצורה 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty

שבוע 1

לבדוק תמיד מה הצורה לפני שמשתמשים. לא להיות רובוטים.

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תרגול 1 היום: משפט לופיטל.

משפט דרבו.

תזכורת: משפט לופיטל:

נניח כי תהיינה x0,b∈Rx_0, b \in \mathbb{R} כך ש x0<bx_0 < b ותהיינה f,gf, g פונקציות המוגדרות ב (x0,b)(x_0, b).

1.lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0+g(x)=0\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} g(x) = 0 או lim⁡x→x0+g(x)=∞\lim_{x \to x_0^+} g(x) = \infty.
2.f,gf, g גזירות ב (x0,b)(x_0, b).
3.לכל x∈(x0,b)x \in (x_0, b) מתקיים g′(x)≠0g'(x) \neq 0.
4.קיים הגבול lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)\lim_{x \to x_0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} במובן הרחב.

אזי גם הגבול lim⁡x→x0+f(x)g(x)\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)}{g(x)} קיים במובן הרחב, ובנוסף:

lim⁡x→x0+f(x)g(x)=lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}

הערה: כלל לופיטל תקף רק במ

2
בינוניגבולותסדרותפונקציות

דוגמאות: חשבו כל אחד מהגבולות הבאים או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב:

1. lim⁡x→0[x⋅e1x]\lim_{x \to 0} \left[ x \cdot e^{\frac{1}{x}} \right]

פתרון:

נפריד לגבולות חד צדדיים.

גבול מימין:

lim⁡x→0+[x⋅e1x]=lim⁡x→0+e1x1x=∞∞=L’Hlim⁡x→0+e1x⋅(−1x2)−1x2=∞\lim_{x \to 0^+} \left[ x \cdot e^{\frac{1}{x}} \right] = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} = \frac{\infty}{\infty} = \text{L'H} \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)}{-\frac{1}{x^2}} = \infty

כאשר:

lim⁡x→0+e1x=t=1xlim⁡t→∞et=∞\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} \underset{t = \frac{1}{x}}{=} \lim_{t \to \infty} e^t = \infty

גבול משמאל:

$$\lim_{x \to 0^-} x \cdot e^{\frac{1

3
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תזכורת: משפט דרבו:

תהיינה a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} כך ש a<ba < b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a, b]. נניח כי ff גזירה ב-[a,b][a, b] ונניח בנוסף כי f′(a)⋅f′(b)<0f'(a) \cdot f'(b) < 0. אזי קיימת a<c<ba < c < b שעבורה f′(c)=0f'(c) = 0.

משפט דרבו המורחב:

תהיינה a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} כך ש a<ba < b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a, b]. נניח כי ff גזירה ב-[a,b][a, b]. יהי r∈Rr \in \mathbb{R} וכי f′(a)≤r≤f′(b)f'(a) \leq r \leq f'(b) או f′(b)≤r≤f′(a)f'(b) \leq r \leq f'(a). אזי קיימת a≤c≤ba \leq c \leq b שעבורה f′(c)=rf'(c) = r.

הוכחה:

אם f′(a)=rf'(a) = r, אזי סיימנו (c=a)(c = a).

אם f′(b)=rf'(b) = r, אזי סיימנו (c=b)(c = b).

אחרת, f′(a)<r<f′(b)f'(a) < r < f'(b) או $f

4
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תרגיל:

תהי f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} פונקציה גזירה. נניח כי {f′(x):x∈R}⊆Q\{f'(x) : x \in \mathbb{R}\} \subseteq \mathbb{Q}.

1. הוכיחו כי f′f' היא קבועה, כלומר שקיים q0∈Qq_0 \in \mathbb{Q} כך ש- f′(x)=q0f'(x) = q_0 לכל x∈Rx \in \mathbb{R}.

פתרון:

נניח בשלילה ש-f′f' לא קבועה, לכן קיימים x1,x2∈Rx_1, x_2 \in \mathbb{R} כך ש-x1≠x2x_1 \neq x_2 וכך ש-f′(x1)<f′(x2)f'(x_1) < f'(x_2).

מצפיפות R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} קיים r∈R∖Qr \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} כך ש-f′(x1)<r<f′(x2)f'(x_1) < r < f'(x_2).

לכן ממשפט דרבו המורחב קיימת נקודה cc בין x1x_1 ל-x2x_2 כך ש-f′(c)=rf'(c) = r בסתירה לכך ש-$\{f'(x) : x \in \mathbb{R

5
בינוניגבולותסדרותפונקציות

הוכיחו או הפריכו: הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

1.יהי f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} פונקציה גזירה המקיימת lim⁡x→∞f′(x)=L\lim_{x \to \infty} f'(x) = L ו-L>0L > 0. אזי lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty.

פתרון:

הטענה נכונה. נוכיח בעזרת לופיטל.

lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞x⋅f(x)x\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{f(x)}{x}

נחשב בנפרד את הגבול lim⁡x→∞f(x)x\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}:

lim⁡x→∞f(x)x=∞∞=L’H=lim⁡x→∞f′(x)1=L\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{\infty}{\infty} = \text{L'H} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{1} = L

נחזור לתרגיל ומאש"ג נקבל:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x \cdot \fracf(x)x=frac{f(x)}{x} =

6
בינוניגבולותסדרותפונקציות

נושא 3. הפונקציה המוגדרת לכל x∈Rx \in \mathbb{R}

f(x)={sin⁡xxx≠01x=0f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}

גזירה.

פתרון:

הטענה נכונה.

יהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} כלשהו. ברור ש־ff גזירה לכל x0≠0x_0 \neq 0 מאשר"ז.

עבור x0=0x_0 = 0 נקבל:

f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0sin⁡xx−1x=lim⁡x→0sin⁡x−xx2f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2}
=00=L′Hlim⁡x→0cos⁡x−12x=00=L′Hlim⁡x→0−sin⁡x2=0= \frac{0}{0} \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{2x} = \frac{0}{0} \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2} = 0

---

נושא 4. קיימת פונקציה f:[−1,1]→Rf: [-1, 1] \to \mathbb{R} ג

שבוע 2