Mentora
0
911
שבועותשבוע 10
סיכום שבוע

שבוע 10

טורי טיילור ומקלורן

טור טיילורטור מקלורןשאריותפיתוח פונקציות בסיסיות
פתחי סיכום שבוע 10
📖

הרצאה 9

חומר חדש

→
✏️

תרגול 10

מתרגל הרצאה 9

→
📋

מטלה 10

תרגול 10 + הרצאה 9

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

סיכום שבוע 10

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • טור חזקות הוא פולינום אינסופי סביב מרכז x0x_0 — קודם מזהים את הצורה

  • בתוך הרדיוס יש התכנסות בהחלט; בקצוות חייבים בדיקה נפרדת

  • טורי מקלורן בסיסיים הם כלי חישוב, לא רק נוסחאות לשינון

טעויות נפוצות

  • בלבול בין המקדם ana_n לבין הצבה של nn בביטוי

  • התייחסות לביטויים עם חזקות שליליות או sin⁡x\sin x כטורי חזקות

  • שכחה שהרדיוס נשמר בגזירה/אינטגרציה אבל הקצוות לא בהכרח

  • גזירה איבר־איבר ואינטגרציה איבר־איבר אינן תמימות. טור הוא גבול, נגזרת היא גבול, ובפועל מחליפים סדר של גבולות. זה משהו שלא נכון תמיד, אבל בטורי חזקות עם רדיוס חיובי יש משפט שמאפשר את זה.

כלים מרכזיים

  • זיהוי טור חזקות

  • בדיקת קצוות

  • גזירה ואינטגרציה איבר-איבר

  • שימוש בטורי מקלורן ידועים

  • לזהות אם ביטוי הוא טור חזקות או לא

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 10

בנו טורים חדשים מהטור הגיאומטרי $\frac{1}{1-x}$ בעזרת גזירה, אינטגרציה והצבה.

מה לחזור קודם

  • טורי חזקות ורדיוס התכנסות

  • טור הנדסי 11−x\frac{1}{1-x}

חובה לשנן

  • גזירה ואינטגרציה איבר-איבר — הרדיוס נשמר

  • ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}

  • ex=∑n=0∞xnn!e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

  • arctan⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}; π4=1−13+15−…\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\dots

  • מקדמי טיילור: an=f(n)(x0)n!a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}

כלים מרכזיים

  • גזירה/אינטגרציה איבר-איבר

  • טורי מקלורן מוכרים

טעויות נפוצות

  • לשכוח שהרדיוס נשמר אך הקצוות צריכים בדיקה מחדש

  • להציב בקצה בלי לבדוק שהטור מתכנס שם

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    גזירה איבר-איבר ← אינטגרציה איבר-איבר

  2. 2

    התנהגות בקצוות אחרי גזירה/אינטגרל

  3. 3

    טור ל-ln⁡(1+x)\ln(1+x) ול-arctan⁡x\arctan x

  4. 4

    טור ל-exe^x

  5. 5

    מקדמי טיילור an=f(n)(x0)/n!a_n = f^{(n)}(x_0)/n!

סיכום שבוע 10

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

לדעת לחשב סכומי טורי חזקות ידועים, לגזור ולאנטגרל טורי חזקות איבר-איבר, ולהשתמש במשפט היחידות של טיילור.

העיקרון המוביל

כמעט כל טור חזקות ניתן לחישוב על ידי 'קוסמטיקה' — החלפת משתנה, גזירה, או אינטגרציה של טור גיאומטרי ידוע. המפתח: זהי איזה טור ידוע מסתתר.

בנוי על: טורי חזקות ורדיוס התכנסות (שבוע 9), שיטות אינטגרציה (שבוע 3–4)

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+⋯(∣x∣<∞)e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots \quad (|x| < \infty)
sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!(∣x∣<∞)\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (|x| < \infty)
cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!(∣x∣<∞)\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \quad (|x| < \infty)
11−x=∑n=0∞xn(∣x∣<1)\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (|x| < 1)
ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn(−1<x≤1)\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \quad (-1 < x \le 1)
arctan⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1(∣x∣≤1)\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \quad (|x| \le 1)

אינטואיציה

אלה 'הלבנות' של חשבון טורי חזקות. כל חישוב אחר מתבסס על אחד מהטורים הללו.

מתי להשתמש?

תמיד — זהי תחילה איזה טור ידוע מסתתר בתוך הטור שנשאלים עליו.

אם f(x)=∑n=0∞anxnf(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n לכל ∣x∣<R|x| < R, אז לכל ∣x∣<R|x| < R:

f′(x)=∑n=1∞n⋅anxn−1f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n \cdot a_n x^{n-1}
∫0xf(t) dt=∑n=0∞ann+1xn+1\int_0^x f(t)\,dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}

ורדיוס ההתכנסות נשמר.

למה זה נוסף?

מאפשר לחשב טורים חדשים מטורים ידועים — בגזירה ואינטגרציה של האיברים.

אינטואיציה

טור חזקות הוא 'פולינום אינסופי'. כמו שגוזרים פולינום איבר-איבר, כך גם טור חזקות.

מתי להשתמש?

כשרואים טור שדומה לנגזרת או לאינטגרל של טור ידוע.

הערות חשובות

  • גזירה: הרדיוס לא משתנה, אבל הקצוות עלולים להשתנות — בדקי אותם מחדש.

  • אינטגרציה: אותו הדבר.

דוגמה

1(1−x)2=ddx(11−x)=ddx∑xn=∑n=1∞nxn−1\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} לכל ∣x∣<1|x|<1.

כדי לחשב ∑anxn\sum a_n x^n שאינו סטנדרטי, החלף x→g(x)x \to g(x) בטור ידוע:

  • 11+x2=∑n=0∞(−1)nx2n\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} (הנח x→−x2x \to -x^2 ב-11−x\frac{1}{1-x})

  • e−x2=∑n=0∞(−1)nx2nn!e^{-x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} (הנח x→−x2x \to -x^2 ב-exe^x)

אינטואיציה

הטור הגיאומטרי הוא 'עץ' שמולידים ממנו אחרים. כל פעם מחליפים את xx במשהו אחר.

מתי להשתמש?

כשרואים ביטוי שמזכיר אחד מהטורים הידועים, אבל עם ארגומנט שונה.

דוגמה

∫0xe−t2 dt\int_0^x e^{-t^2}\,dt: אין אנטי-נגזרת יסודית. אבל e−t2=∑n=0∞(−1)nt2nn!e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!}, ולכן:

∫0xe−t2 dt=∑n=0∞(−1)nx2n+1n!(2n+1)\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}.

כדי לחשב ∑n=0∞nxn\sum_{n=0}^\infty n x^n, שים לב: nxn=x⋅(xn)′=x⋅nxn−1n x^n = x \cdot (x^n)' = x \cdot n x^{n-1}. לכן:

∑n=0∞nxn=x∑n=1∞nxn−1=x⋅ddx(11−x)=x(1−x)2\sum_{n=0}^\infty n x^n = x \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = x \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{x}{(1-x)^2}

אינטואיציה

כשיש גורם nn לפני xnx^n — זה 'צועק' גזירה. גוזרים את ∑xn\sum x^n, כופלים ב-xx.

מתי להשתמש?

כשרואים ∑nxn\sum n x^n, ∑n2xn\sum n^2 x^n, ∑n(n−1)xn\sum n(n-1) x^n — הכפלה בגזירות חוזרות.

דוגמה

∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}: הנח x=1/2x = 1/2 ב-∑nxn=x(1−x)2\sum n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}. 1/2(1/2)2=1/21/4=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2.

אם f(x)=∑n=0∞anxnf(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n בסביבת 0, אז an=f(n)(0)n!a_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}.

כלומר: הפיתוח חד-ערכי — אין שני פיתוחים שונים לטור חזקות של אותה פונקציה.

למה זה נוסף?

מאפשר לחשב נגזרות גבוהות של פונקציה בנקודה — פשוט מהמקדמים של הטור!

אינטואיציה

אם מצאנו את פיתוח הטיילור בכל דרך שהיא (קוסמטיקה, גזירה, אינטגרציה) — הוא הנכון. אין חשיבות לדרך.

מתי להשתמש?

שאלות מהצורה 'מה f(17)(0)f^{(17)}(0)?' — פתח ל-x17x^{17} ומצא a17=f(17)(0)/17!a_{17} = f^{(17)}(0)/17!.

דוגמה

f(x)=sin⁡xxf(x) = \frac{\sin x}{x} (עם f(0)=1f(0)=1). sin⁡x=x−x3/6+x5/120−⋯\sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - \cdots, ולכן f(x)=1−x2/6+x4/120−⋯f(x) = 1 - x^2/6 + x^4/120 - \cdots.

משפט היחידות: f′′(0)/2!=−1/6f''(0)/2! = -1/6, ולכן f′′(0)=−1/3f''(0) = -1/3.

שלבים:

  1. זהי את הטור: לאיזה טור ידוע ∑anxn\sum a_n x^n הוא שווה?

  2. בצעי קוסמטיקה אם נחוץ (גזור / אנטגרל / החלף xx).

  3. הצב את הערך הנתון.

אינטואיציה

סכום טור = ערך פונקציה. אם ∑anxn=f(x)\sum a_n x^n = f(x), אז הסכום בנקודה x0x_0 הוא f(x0)f(x_0).

הערות חשובות

  • חשוב: ודאי שהנקודה נמצאת בתחום ההתכנסות לפני ההצבה!

  • לתחום פתוח: מבחן מנה/שורש. לקצוות: בדיקה ידנית.

דוגמה

∑n=0∞(−1)n2n+1\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}: זהי arctan⁡x=∑(−1)nx2n+12n+1\arctan x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}. הצב x=1x=1: arctan⁡1=π/4\arctan 1 = \pi/4. לכן הסכום הוא π/4\pi/4.

תרשים שבוע 10

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

טור טיילור של f סביב x₀

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

כל פונקציה C∞C^\infty שווה לטור טיילור שלה בתחום R

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

eˣ = Σ xⁿ/n! (כל x)

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

טור חזקות הוא פולינום אינסופי סביב מרכז x0x_0 — קודם מזהים את הצורה

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 9 — חומר חדש

הגדרות

  • טור טיילור של f סביב x₀

  • שארית לגרנז'

  • שארית קושי

משפטים

  • כל פונקציה C∞C^\infty שווה לטור טיילור שלה בתחום R

נוסחאות מפתח

eˣ = Σ xⁿ/n! (כל x)

sinx=sin x = Σ (-1)ⁿx(2n+1)/(2n+1)!x^(2n+1)/(2n+1)!

cosx=cos x = Σ (-1)ⁿx(2n)/(2n)!x^(2n)/(2n)!

ln(1+x)=ln(1+x) = Σ (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n(∣x∣≤1,x≠−1)n (|x|\le 1, x\ne -1)

1/(1−x)=1/(1-x) = Σ xⁿ (∣x∣<1)(|x|<1)

חשוב למבחן

טורי מקלורן עיקריים — חובה לשנן

חשוב למבחן

שאלת חישוב סכום עם טיילור — שכיח

מקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

✏️ תרגול

תרגול 10 · מתרגל הרצאה 9

המשך עבודה עם טורי חזקות וטיילור: זיהוי מבנה, חישוב תחומי התכנסות, שימוש בגזירה/אינטגרציה של טור, והכנה למעבר לסדרות וטורי פונקציות.

טכניקות

  • זיהוי טור חזקות

  • בדיקת קצוות

  • גזירה ואינטגרציה איבר-איבר

  • שימוש בטורי מקלורן ידועים

חובה לתרגל

  • לזהות אם ביטוי הוא טור חזקות או לא

  • למצוא x0x_0, מקדמים ורדיוס התכנסות

  • לבדוק קצוות אחרי כל פעולה על טור

  • לחשב סכומים באמצעות טורי מקלורן מוכרים

טעויות נפוצות

  • בלבול בין המקדם ana_n לבין הצבה של nn בביטוי

  • התייחסות לביטויים עם חזקות שליליות או sin⁡x\sin x כטורי חזקות

  • שכחה שהרדיוס נשמר בגזירה/אינטגרציה אבל הקצוות לא בהכרח

  • גזירה איבר־איבר ואינטגרציה איבר־איבר אינן תמימות. טור הוא גבול, נגזרת היא גבול, ובפועל מחליפים סדר של גבולות. זה משהו שלא נכון תמיד, אבל בטורי חזקות עם רדיוס חיובי יש משפט שמאפשר את זה.

מסקנות

טור חזקות הוא פולינום אינסופי סביב מרכז x0x_0 — קודם מזהים את הצורה

בתוך הרדיוס יש התכנסות בהחלט; בקצוות חייבים בדיקה נפרדת

טורי מקלורן בסיסיים הם כלי חישוב, לא רק נוסחאות לשינון

📋 מטלה

אין ניתוח מטלה לשבוע זה

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הרצאה 9 · 25.5.26 — גזירה ואינטגרציה איבר-איבר, משפט אבל (גבול), טורי מקלורן
משפט 1 — גזירה ואינטגרציה איבר-איבר של טור חזקות
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ותהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה. יהי RR רדיוס ההתכנסות של ∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, ונניח R>0R > 0. תהי f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n עבור ∣x−x0∣<R|x-x_0| < R. אזי:
(i) טור החזקות שמתקבל בגזירה איבר-איבר, ∑n=1∞an⋅n⋅(x−x0)n−1\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot n \cdot (x-x_0)^{n-1}, הוא בעל רדיוס ההתכנסות RR;
(ii) ff גזירה, ולכל ∣x−x0∣<R|x-x_0| < R: f′(x)=∑n=1∞an⋅n⋅(x−x0)n−1f'(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n \cdot n \cdot (x-x_0)^{n-1};
(iii) טור החזקות שמתקבל באינטגרציה איבר-איבר, ∑n=0∞an(x−x0)n+1n+1\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1}, הוא בעל רדיוס ההתכנסות RR;
(iv) לכל ∣x−x0∣<R|x-x_0| < R: ∑n=0∞an(x−x0)n+1n+1=∫x0xf(t) dt\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1} = \int_{x_0}^x f(t)\,dt.
הוכחה
המשפט לא הוכח בהרצאה.
תרגיל 1 — $\sum \frac{n}{2^{n-1}} = 4$
הוכיחו שהטור ∑n=1∞n2n−1\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n-1}} מתכנס וחשבו את ערכו.
הוכחה
נביט בטור ∑n=0∞xn=11−x\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} עבור ∣x∣<1|x| < 1. ממשפט הגזירה איבר-איבר, לכל ∣x∣<1|x| < 1:
∑n=1∞nxn−1=(11−x)′=1(1−x)2.\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \left( \frac{1}{1-x} \right)' = \frac{1}{(1-x)^2}.

נציב x=12x = \frac{1}{2}:
∑n=1∞n2n−1=∑n=1∞n(12)n−1=1(1−12)2=4.\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n-1}} = \sum_{n=1}^\infty n \left( \tfrac{1}{2} \right)^{n-1} = \frac{1}{(1-\frac{1}{2})^2} = 4.
משפט 2 — משפט אבל (גבול בנקודת קצה)
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ותהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה. יהי RR רדיוס ההתכנסות של ∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n, ונניח R>0R > 0, ותהי f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n עבור ∣x−x0∣<R|x-x_0| < R. נניח שטור החזקות מתכנס בנקודה x0+Rx_0 + R. אזי lim⁡x→(x0+R)−f(x)\lim_{x\to (x_0+R)^-} f(x) קיים, ובנוסף
∑n=0∞anRn=lim⁡x→(x0+R)−f(x).\sum_{n=0}^\infty a_n R^n = \lim_{x\to (x_0+R)^-} f(x).
הוכחה
המשפט לא הוכח בהרצאה.
הערה 1 — משפט אבל גם בקצה השמאלי
משפט 2 נכון גם עבור נקודת הקצה x=x0−Rx = x_0 - R. במקרה זה, אם הטור מתכנס שם,
∑n=0∞an(−R)n=lim⁡x→(x0−R)+f(x).\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n = \lim_{x\to (x_0-R)^+} f(x).
משפט 3 — טור מקלורן של $\ln(1+x)$
לכל −1<x≤1-1 < x \le 1 מתקיים
∑n=1∞(−1)n+1xnn=x−x22+x33−⋯=ln⁡(1+x).\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \ln(1+x).
הוכחה
ראינו (הרצאה 8, תרגיל 4) שרדיוס ההתכנסות הוא R=1R = 1 ותחום ההתכנסות הוא (−1,1](-1,1]. תהי f(x)=∑n=1∞(−1)n+1xnnf(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} עבור ∣x∣<1|x| < 1. בגזירה איבר-איבר, לכל ∣x∣<1|x| < 1:
f′(x)=∑n=1∞(−1)n+1xn−1=∑n=0∞(−1)nxn=∑n=0∞(−x)n=11−(−x)=11+x.f'(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n = \sum_{n=0}^\infty (-x)^n = \frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}.

לכן קיים C∈RC \in \mathbb{R} כך ש-f(x)=ln⁡(1+x)+Cf(x) = \ln(1+x) + C עבור ∣x∣<1|x| < 1. הצבת x=0x = 0: f(0)=ln⁡1+C=Cf(0) = \ln 1 + C = C, ומאחר ש-f(0)=0f(0) = 0 נקבל C=0C = 0. לכן f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1+x) עבור ∣x∣<1|x| < 1.
בקצה x=1x = 1: הטור ∑(−1)n+1n\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} מתכנס (לייבניץ), וממשפט אבל (משפט 2):
∑n=1∞(−1)n+1n=lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−ln⁡(1+x)=ln⁡2.\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} \ln(1+x) = \ln 2.

לכן השוויון נכון לכל −1<x≤1-1 < x \le 1.
מסקנה 1 — $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$
הצבת x=1x = 1 בטור של ln⁡(1+x)\ln(1+x) נותנת
∑n=1∞(−1)n+1n=1−12+13−14+⋯=ln⁡2.\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2.
משפט 4 — טור מקלורן של $e^x$
לכל x∈Rx \in \mathbb{R} מתקיים
ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22+x36+⋯ .e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots.
הוכחה
ראינו (הרצאה 8, תרגיל 5) שרדיוס ההתכנסות הוא R=∞R = \infty ותחום ההתכנסות הוא R\mathbb{R}. תהי f(x)=∑n=0∞xnn!f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. בגזירה איבר-איבר, לכל x∈Rx \in \mathbb{R}:
f′(x)=∑n=1∞nxn−1n!=∑n=1∞xn−1(n−1)!=∑n=0∞xnn!=f(x).f'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = f(x).

לכן f′=ff' = f לכל xx. נביט בנגזרת:
[f(x)ex]′=f′(x)ex−f(x)exe2x  =f′=f  0,\left[ \frac{f(x)}{e^x} \right]' = \frac{f'(x)e^x - f(x)e^x}{e^{2x}} \;\underset{f'=f}{=}\; 0,

ולכן קיים C∈RC \in \mathbb{R} כך ש-f(x)ex=C\frac{f(x)}{e^x} = C, כלומר f(x)=Cexf(x) = C e^x. הצבת x=0x = 0: 1=f(0)=C1 = f(0) = C, ולכן f(x)=exf(x) = e^x לכל x∈Rx \in \mathbb{R}.
מסקנה 2 — $e = \sum \frac{1}{n!}$
הצבת x=1x = 1 נותנת
e=∑n=0∞1n!=1+1+12+16+124+⋯ .e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots.
משפט 5 — $e$ הוא אי-רציונלי
ee הוא מספר אי-רציונלי.
הוכחה
נניח בשלילה ש-e∈Qe \in \mathbb{Q}, כלומר e=abe = \frac{a}{b} עבור a,b∈Na, b \in \mathbb{N}. מאחר ש-2<e<32 < e < 3, ee אינו שלם, ולכן b>1b > 1. נגדיר
α=b!(e−∑n=0b1n!).\alpha = b!\left( e - \sum_{n=0}^b \frac{1}{n!} \right).

נוכיח (i) α∈Z\alpha \in \mathbb{Z} ו-(ii) 0<α<10 < \alpha < 1 — בסתירה.
**(i):** α=b!(ab−∑n=0b1n!)=(b−1)! a−∑n=0bb!n!\alpha = b!\left( \frac{a}{b} - \sum_{n=0}^b \frac{1}{n!} \right) = (b-1)!\, a - \sum_{n=0}^b \frac{b!}{n!}. לכל 0≤n≤b0 \le n \le b, b!n!=(n+1)(n+2)⋯b∈Z\frac{b!}{n!} = (n+1)(n+2)\cdots b \in \mathbb{Z}, ולכן α∈Z\alpha \in \mathbb{Z}.
**(ii):** מ-מסקנה 2, α=b!(∑n=0∞1n!−∑n=0b1n!)=b!∑n=b+1∞1n!\alpha = b!\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} - \sum_{n=0}^b \frac{1}{n!} \right) = b!\sum_{n=b+1}^\infty \frac{1}{n!}. חסם תחתון: α≥b!⋅1(b+1)!=1b+1>0\alpha \ge b!\cdot\frac{1}{(b+1)!} = \frac{1}{b+1} > 0. חסם עליון:
α=∑n=b+1∞b!n!=1b+1+1(b+1)(b+2)+1(b+1)(b+2)(b+3)+⋯≤1b+1+1(b+1)2+1(b+1)3+⋯=1b+1⋅11−1b+1=1b<1\alpha = \sum_{n=b+1}^\infty \frac{b!}{n!} = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots \le \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = \frac{1}{b+1}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{b+1}} = \frac{1}{b} < 1

(כי b>1b > 1). אזי 0<α<10 < \alpha < 1 — בסתירה לכך ש-α∈Z\alpha \in \mathbb{Z}. לכן ee אי-רציונלי.
משפט 6 — טור מקלורן של $\arctan x$
לכל −1≤x≤1-1 \le x \le 1 מתקיים
arctan⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1=x−x33+x55−⋯ .\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots.
הוכחה
ראינו (הרצאה 8, תרגיל 8) שתחום ההתכנסות הוא [−1,1][-1,1] (בקצוות x=±1x = \pm 1 הטור מתכנס בתנאי — מתכנס לפי לייבניץ אך לא בהחלט, כי ∑12n+1≥12∑1n+1=∞\sum \frac{1}{2n+1} \ge \frac{1}{2}\sum \frac{1}{n+1} = \infty). תהי f(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} עבור ∣x∣<1|x| < 1. בגזירה איבר-איבר:
f′(x)=1−x2+x4−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n  =t=x2  ∑n=0∞(−t)n=11+t=11+x2.f'(x) = 1 - x^2 + x^4 - \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} \;\underset{t=x^2}{=}\; \sum_{n=0}^\infty (-t)^n = \frac{1}{1+t} = \frac{1}{1+x^2}.

לכן f(x)=arctan⁡x+Cf(x) = \arctan x + C עבור ∣x∣<1|x| < 1. הצבת x=0x = 0: 0=f(0)=arctan⁡0+C=C0 = f(0) = \arctan 0 + C = C, כך ש-C=0C = 0 ו-f(x)=arctan⁡xf(x) = \arctan x. בקצוות, ממשפט אבל: ∑n=0∞(−1)n2n+1=lim⁡x→1−arctan⁡x=arctan⁡1\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim_{x\to 1^-} \arctan x = \arctan 1, וכן בקצה x=−1x = -1. לכן השוויון נכון לכל −1≤x≤1-1 \le x \le 1.
מסקנה 3 — טור לייבניץ ל-$\frac{\pi}{4}$
הצבת x=1x = 1 בטור של arctan⁡x\arctan x נותנת
π4=∑n=0∞(−1)n2n+1=1−13+15−17+⋯ .\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots.
משפט 7 — מקדמי טור החזקות הם הנגזרות (יחידות)
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ותהי (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty סדרה. יהי RR רדיוס ההתכנסות של ∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n, ונניח R>0R > 0, ותהי f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n עבור ∣x−x0∣<R|x-x_0| < R. אזי לכל 0≤n∈Z0 \le n \in \mathbb{Z}, ff גזירה nn פעמים ב-x0x_0, ובנוסף
an=f(n)(x0)n!.a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.
הוכחה
נובע מגזירה חוזרת איבר-איבר (משפט 1): גזירה nn פעמים והצבת x=x0x = x_0 משאירה רק את האיבר ה-nn-י, f(n)(x0)=n! anf^{(n)}(x_0) = n!\, a_n.
הגדרה — פולינום טיילור ושארית הטיילור
תהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ויהי 0≤N∈Z0 \le N \in \mathbb{Z}. תהי ff פונקציה הגזירה NN פעמים ב-x0x_0. פולינום הטיילור מסדר NN של ff סביב x0x_0 מוגדר ע"י
TN(x)=∑n=0Nf(n)(x0)n!(x−x0)n=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2(x−x0)2+⋯+f(N)(x0)N!(x−x0)N.T_N(x) = \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(N)}(x_0)}{N!}(x-x_0)^N.

שארית הטיילור מסדר NN מוגדרת ע"י RN(x)=f(x)−TN(x)R_N(x) = f(x) - T_N(x).
הערה 2 — פולינומי טיילור מסדר נמוך
T0(x)=f(x0)T_0(x) = f(x_0) (פולינום מסדר ≤0\le 0).
T1(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)T_1(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) (פולינום מסדר ≤1\le 1) — ישר המשיק לגרף ב-x0x_0.
T2(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2(x−x0)2T_2(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 (פולינום מסדר ≤2\le 2). באופן כללי TN(x)T_N(x) הוא פולינום מסדר ≤N\le N.
הערה 3 — נגזרות פולינום הטיילור ב-$x_0$
(i) TN(x0)=f(x0)T_N(x_0) = f(x_0);
(ii) TN′(x0)=f′(x0)T_N'(x_0) = f'(x_0);
(iii) TN′′(x0)=f′′(x0)T_N''(x_0) = f''(x_0);
(iv) באופן כללי, לכל 0≤k≤N0 \le k \le N, TN(k)(x0)=f(k)(x0)T_N^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0);
(v) TN(N+1)(x)=0T_N^{(N+1)}(x) = 0.
משפט 8 — משפט טיילור עם שארית לגרנז'
תהיינה x,x0∈Rx, x_0 \in \mathbb{R} כך ש-x>x0x > x_0, ויהי 0≤N∈Z0 \le N \in \mathbb{Z}. תהי ff פונקציה הגזירה NN פעמים ב-[x0,x][x_0, x] עם:
(i) f(N)f^{(N)} רציפה ב-[x0,x][x_0, x];
(ii) f(N)f^{(N)} גזירה ב-(x0,x)(x_0, x).
אזי קיימת x0<c<xx_0 < c < x שעבורה
RN(x)=f(N+1)(c)(N+1)!(x−x0)N+1.R_N(x) = \frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}(x-x_0)^{N+1}.
הערה 4 — משפט טיילור כהכללה של משפט לגרנז'
עבור N=0N = 0 מתקבל
f(x)−f(x0)=f(x)−T0(x)=R0(x)=f′(c)1!(x−x0),f(x) - f(x_0) = f(x) - T_0(x) = R_0(x) = \frac{f'(c)}{1!}(x-x_0),

כלומר f(x)−f(x0)=f′(c)(x−x0)f(x) - f(x_0) = f'(c)(x-x_0) — זהו בדיוק משפט לגרנז' (משפט הערך הממוצע). לכן משפט 8 (טיילור עם שארית לגרנז') הוא הכללה של משפט לגרנז'.

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

דרך אגב, סינוס וקוסינוס, גם אתמול בהרצאה לא הוכחתם עוד פורמלית שיש שוויון בין sin⁡x\sin x לטור הזה, אבל לצורך התרגול הזה ולצורך שיעורי הבית אני מניח שיש פה שוויון ואני יכול להסתמך על כך.

2
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

מציבים x=x0x = x_0, כלומר 00, ומקבלים ש־C=0C = 0. לכן:

3
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

אם אחרי נגזרת אחת מתקבל טור מוכר, מפסיקים שם. לא צריך לגזור עוד סתם. תאורטית ייתכן שצריך לגזור פעמיים או יותר, אבל בתרגילים שלנו לרוב זה לא יקרה, או שזה יהיה מיותר אם משתמשים נכון במסקנות שכבר הוכחנו.

4
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

רוצים לחשב את הנגזרת ה־nn בנקודה 00. בלי טורים זה תרגיל קשה מאוד, כי צריך לעבוד עם הגדרת נגזרת ואינדוקציה. עם טורים זה יפה.

5
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

יש כאן נקודה עדינה: אם כותבים את הטור בקיצור עם n=0n=0, נוצרת תחושה של 000^0 כשמציבים x=0x=0. צריך לזכור שהכתיבה המקוצרת היא רק סימון, והאיבר הראשון באמת שווה 11. לכן עדיף לפעמים לכתוב את האיבר הראשון בחוץ כדי לא להתבלבל.

6
בינוניגבולותטורי-חזקותטורים

במקרה הזה צריך להפריד זוגי ואי־זוגי. אם nn אי־זוגי, המקדם הוא 00 ולכן הנגזרת היא 00. אם nn זוגי, מציבים n=2kn=2k ומקבלים את המקדם המתאים. בסוף מקבלים נוסחה לכל הנגזרות בנקודה 00.

שבוע 9שבוע 11