הרצאה 12

תרגול 13 היום: חזרה. • 1. חשבו את האינטגרל הלא מסוים הבא: $∫ ln x x3 dx$ פתרון: נחשב את האינטגרל הלא מסוים $∫ ln x x3 dx = ∫ 1 x3 ln x dx = u'= 1 x3 , v=ln x - 1 2x2 ln x - ∫ - 1 2x2 \cdot 1 x dx = - 1 2x2 ln x + 1 2 ∫ 1 x3 dx = - 1 2x2 ln x - 1 2 \cdot 1 2x2 + C = - 1 2x2 ln x - 1 4x2 + C 2.$ הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: שתי סדרות של מספרים ממשיים. $(bn)\infty n=1$ ו $(an)\infty n=1$ יהיו מתכנס בתנאי. $\infty ∑ n=1 anbn$ וכי $n \in \mathbb{N}$ לכל $bn \in {-1, 1}$ נניח כי מתבדר. $\infty ∑ n=1 an1.1n$ אזי הטור פתרון: הטענה נכונה. מתכנס בתנאי, אזי $\infty ∑ n=1 anbn$ ו $n \in \mathbb{N}$ לכל $bn \in {-1, 1}$ היות ש $\infty ∑ n=1 | anbn |= \infty ∑ n=1 | an |= \infty . \infty ∑ n=1 anxn$ נביט

מתכנס או מתבדר. $\infty ∑ n=1 (-1)n n+3 2n+ln n 3.$ קבעו האם הטור פתרון: נבדוק התכנסות בהחלט $\infty ∑ n=1$ ∣ ∣$(-1)n n+3 2n+ln n$ ∣ ∣ $= \infty ∑ n=1 n + 3 2n + ln n \le \infty ∑ n=1 n + 3n 2n = 4 \infty ∑ n=1 n 2n ,$ נחשב את הגבול $\infty ∑ n=1 n 2n$ כעת נשתמש במבחן השורש עבור הטור $L = lim n\to \infty n \sqrt{n}2n = lim n\to \infty n 1 n 2 = AOL 1 2$ מתכנס. $4 \infty ∑ n=1 n 2n$ מתכנס ולכן מלינאריות גם הטור $\infty ∑ n=1 n 2n ,$ אזי הטור$L < 1$ היות ש מתכנס. $\infty ∑ n=1 n+3 2n+ln n$ לכן ממבחן ההשוואה גם הטור מתכנס בהחלט ולכן מתכנס. $\infty ∑ n=1 (-1)n n+3 2n+ln n$ ולכן הטור , או הוכיחו שהוא לא מתכנס במובן הרחב. $\infty ∑ n=0 (-1)n 2n 32n+1 4.$ חשבו את ערך הטור פתרון: $\infty ∑ n=0 (-1)n 2n 32n$

.$f (0) = 0$ פונקציה עולה כך ש $f : [0, \infty ) \to \mathbb{R} 5.$ תהי מתכנס. $\infty ∑ n=1 (-1)n+1 f ( 1 n ) .$ הוכיחו כי הטור0 רציפה מימין ב f )א( נניח כי פתרון: .$n \in \mathbb{N}$ לכל $an = f ( 1 n )$ נגדיר עולה, אזי f . היות ש$n \in \mathbb{N}$ יהי $an = f ( 1 n ) \ge f ( 1 n + 1 ) = an+1$ יורדת. $(an)\infty n=1$ ולכן כעת נחשב את הגבול $lim n\to \infty an = lim n\to \infty f ( 1 n ) = Heine's lemma \lim_{x\to 0+} f (x) = continuous f (0) = 0$ הוא טור לייבניץ ולכן הטור מתכנס. $\infty ∑ n=1 (-1)n+1 f ( 1 n )$ ולכן הטור מתבדר. $\infty ∑ n=1 f ( 1 n ) .$ הוכיח כי הטור$f ' (0) > 0$ וכי 0 גזירה ב f )ב( נניח בנוסף כי פתרון: הוא אי שלילי. $\infty ∑ n=1 f ( 1 n )$ עולה, אזי הטור f ו $f (0) = 0$ היות ש כעת נשים ל

.$x > 0$ לכל $f (x) = ∫ 0 3x arctan t 2+t4 dt 6.$ נביט בפונקציה .$f ' ( 1 3 ) = - \pi 4$ הוכיחו כי פתרון: מתקיים $x > 0$ ראשית, לכל $f (x) = ∫ 0 3x arctan t 2 + t4 dt = de nition - ∫ 3x 0 arctan t 2 + t4 dt$ רציפה מאש"ר. g . נשים לב ש$t \ge 0$ לכל $g (t) = arctan t 2+t4$ כעת נגדיר .$x > 0$ לכל φ $(x) = 3x$ נגדיר בנוסף .$Im ($φ$) = {x : x > 0}$ גזירה מאשג"ז ומתקיים φ נשים לב כי מתקיים $x > 0$ ולכן לכל $f ' (x) = - arctan (3x) 2 + (3x)4 \cdot 3$ נקבל $x = 1 3$ ובפרט עבור $f ' ( 1 3 ) = - arctan (3 \cdot 1 3 ) 2 + (3 \cdot 1 3 )4 \cdot 3 = -3 arctan 1 3 = - \pi 4 4$