הרצאה 11

תרגול 12 היום: פונקציות עם שני משתנים. • תזכורת: .(x0, y0) פונקציה המוגדרת בסביבה של $F : R2 \to \mathbb{R}$ ותהי $(x0, y0) \in R2$ תהי אם (x0, y0) תקרא רציפה ב $F lim (x,y)\to (x0,y0)F (x, y) = F (x0, y0)$ המוגדרת על ידי $F : R2 \to \mathbb{R} .$ נביט בפונקציה$a \in \mathbb{R} 1.$ יהי F (x, y) = { x2-y2 x2+y2 (x, y) \ne (0, 0) a (x, y) = (0, 0) .(0, 0) קבעו האם הפונקציה רציפה ב פתרון: במספר מסלולים. (0, 0) נבדוק את הגבול ב נקבל $y = 0$ עבור $lim (x,y)\to (0,0)F (x, y) = lim (x,y)\to (0,0) x2 - y2 x2 + y2 = y=0 \lim_{x\to 0} x2 x2 = \lim_{x\to 01} = 1$ נקבל $x = 0$ עבור $lim (x,y)\to (0,0)F (x, y) = lim (x,y)\to (0,0) x2 - y2 x2 + y2 = x=0 \lim_{y\to 0} -y2 y2 = \lim_{y\to 0} - 1 =$

(0, 0) 2. הראו שלפונקציה יש אי רציפות סליקה ב F (x, y) = { e-x2-y2 -1 x2+y2 (x, y) \ne (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) פתרון: נחשב את הגבול $lim (x,y)\to (0,0)F (x, y) = lim (x,y)\to (0,0) e-x2-y2 - 1 x2 + y2 = t=x2+y2 \lim_{t\to 0+} e-t - 1 t = L \lim_{t\to 0+} -e-t 1 = -1$ ולכן לפונקציה יש אי רציפות סליקה. $F (0, 0) = 0 ,$ אבל1 הגבול קיים ושווה ל 3. חשבו את הגבול הבא או הוכיחו שאינו קיים $lim (x,y)\to (0,0) x2y x4 + y2$ פתרון: במספר מסלולים. (0, 0) נבדוק את הגבול ב ,$y = ax$ נבדוק את המסלול $a \ne 0$ ראשית עבור $lim (x,y)\to (0,0) x2y x4 + y2 = y=ax \lim_{x\to 0} x2 \cdot ax x4 + (ax)2 = \lim_{x\to 0} ax3 x4 + a2x2 = \lim_{x\to 0} ax x2 + a2 = 0$ נקבל $y =$

$F (x, y) = ex \cdot sin y - x + 2y + 3$ המוגדרת על ידי $F : R2 \to \mathbb{R} 6.$ נביט בפונקציה .$(x, y) \in R2$ לכל לכל $F '' yy (x, y) ,F '' yx (x, y) ,F '' xy (x, y) ,F '' xx (x, y) ,F ' y (x, y) ,F ' x (x, y)$ חשבו את .$(x, y) \in R2$ פתרון: מתקיים $(x, y) \in R2$ לכל $F ' x (x, y) = ex \cdot sin y - 1, F ' y (x, y) = ex \cdot cos y + 2 F '' xx (x, y) = ex \cdot sin y F '' xy (x, y) = ex \cdot cos y F '' yx (x, y) = ex \cdot cos y F '' yy (x, y) = -ex \cdot sin y$ המוגדרת על ידי $F : R2 \to \mathbb{R} 7.$ נביט בפונקציה F (x, y) = { sin(xy) x2+y2 (x, y) \ne (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) .(x, y) \in R2 לכל $F ' y (x, y) ,F ' x (x, y)$ חשבו את הנגזרות החלקיות פתרון: (x,

המוגדרת על ידי $F : R2 \to \mathbb{R} 8.$ נביט בפונקציה $F (x, y) =$    $x3+y2 \sqrt{x2+y2}(x, y) \ne (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)$ או הוכיחו שאינם $(x, y) \in R2$ לכל $F ' y (x, y) ,F ' x (x, y)$ חשבו את הנגזרות החלקיות קיימים. פתרון: $(x, y) \ne (0, 0)$ לכל $F ' x (x, y) = 3x2 \cdot (\sqrt{x2}+ y2 ) - 2x 2\sqrt{x2+y2}\cdot (x3 + y2) x2 + y2 F ' y (x, y) = 2y \cdot (\sqrt{x2}+ y2 ) - 2y 2\sqrt{x2+y2}\cdot (x3 + y2) x2 + y2$ נחשב בעזרת ההגדרה $(x, y) = (0, 0)$ עבור $F ' x (0, 0) = \lim_{h\to 0} F (h, 0) - F (0, 0) h = \lim_{h\to 0} h3 \sqrt{h2}- 0 h = \lim_{h\to 0} h2 | h | = \lim_{h\to 0} | h |2 | h | = \lim_{h\to 0} | h |= 0 F ' y (0, 0) = \lim_{h\to 0} F (0, h) - F (0, 0) h = 03+h2 \sqrt{02+h2}- 0 h = li$