∑
27

Definitions Bank

מאגר הגדרות

כל הגדרות הקורס עם הגדרה פורמלית, הסבר אינטואיטיבי, מתי להשתמש, דוגמה וטעות נפוצה. מחליף את הצורך לחפש בתרגולי PDF.

סדרות (4)טורים — בסיסי (6)מבחני התכנסות (5)טורים מיוחדים (3)סוגי התכנסות (3)

Quick Reference

טבלאות עיון — התכנסות טורים

כל הטורים המיוחדים, כל המבחנים, וזיהוי מהיר לפי צורת $a_n$.

טורים מיוחדים — מתי מתכנס?

כל הטורים הנפוצים בקורס עם תנאי ההתכנסות שלהם

שם הטורנוסחהמתכנס כאשרמתבדר כאשרהערה
טור הנדסי

∑n=0∞rn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} r^n

∣r∣<1|r| < 1 → סכום 11−r\dfrac{1}{1-r}

∣r∣≥1|r| \ge 1

הטור הנדסי הוא הסרגל שממנו נגזרים מבחן מנה ושורש

טור הרמוני

∑n=1∞1n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}

לעולם לא

תמיד

הדוגמה הקלאסית: an→0a_n \to 0 לא מספיק

טור p-הרמוני

∑n=1∞1np\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}

p>1p > 1

p≤1p \le 1

הסרגל המרכזי לכל השוואה

טור הרמוני מתחלף

∑n=1∞(−1)n+1n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}

תמיד (לייבניץ) → ln⁡2\ln 2

לעולם לא

מתכנס מותנית בלבד — הטור המוחלט הוא הרמוני

טור $p$-הרמוני מתחלף

∑n=1∞(−1)n+1np\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^p}

p>0p > 0 (לייבניץ)

p≤0p \le 0

p>1p > 1 → מוחלטת; 0<p≤10 < p \le 1 → מותנית

טור טלסקופי

∑n=1∞(1n−1n+1)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)

תמיד — SN=1−1N+1→1S_N = 1 - \tfrac{1}{N+1} \to 1

לעולם לא

רשמי כ-∑(an−an+1)\sum (a_n - a_{n+1}) — הסכומים החלקיים מתקצרים

$\sum n^k / a^n$

∑n=1∞nkan  (a>1)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^k}{a^n}\;(a>1)

תמיד (a>1a > 1, כל kk)

a≤1a \le 1

אקספוננציאל מנצח פולינום

$\sum 1/(n \ln n)$

∑n=2∞1nln⁡n\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n \ln n}

לעולם לא

תמיד

מבחן אינטגרל: ∫dx/(xln⁡x)=ln⁡(ln⁡x)→∞\int dx/(x\ln x) = \ln(\ln x) \to \infty

$\sum 1/(n(\ln n)^p)$

∑n=2∞1n(ln⁡n)p\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^p}

p>1p > 1

p≤1p \le 1

אנלוגי לטור p-הרמוני, עם ln⁡n\ln n במקום nn

מבחני התכנסות — כל המבחנים

תנאים, מסקנות, וגבולות המבחן

מבחןתנאים להפעלהמתכנס אםמתבדר אםלא חושף אםמתאים ל...

תנאי הכרחי

ראשון תמיד

כל טור

—

an↛0a_n \not\to 0

an→0a_n \to 0

כל שאלה — בדיקה ראשונה

השוואה

משפט

0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n

∑bn<∞\sum b_n < \infty

∑bn=∞\sum b_n = \infty ו-an≥bna_n \ge b_n

∑bn=∞\sum b_n = \infty ו-an≤bna_n \le b_n

כשניתן למצוא אי-שוויון ישיר

גבול השוואה

משפט

an,bn>0a_n, b_n > 0

L∈(0,∞)L \in (0,\infty) וגם ∑bn<∞\sum b_n < \infty

L∈(0,∞)L \in (0,\infty) וגם ∑bn=∞\sum b_n = \infty

L=0L = 0 או L=∞L = \infty — חד-כיווני בלבד

פולינום/שבר רציונלי — משווים ל-$1/n^p$

שורש (קושי)

משפט

L=lim⁡∣an∣nL = \lim \sqrt[n]{|a_n|}

L<1L < 1

L>1L > 1

L=1L = 1

$(f(n))^n$, $n^n$ — כשיש חזקה-$n$

מנה (ד'אלמבר)

משפט

an>0a_n > 0, L=lim⁡∣an+1/an∣L = \lim |a_{n+1}/a_n|

L<1L < 1

L>1L > 1

L=1L = 1

$n!$, $a^n$ — כשיש עצרת או חזקה

אינטגרל

משפט

ff יורדת, חיובית, רציפה; an=f(n)a_n = f(n)

∫k∞f(x) dx<∞\int_k^\infty f(x)\,dx < \infty

∫k∞f(x) dx=∞\int_k^\infty f(x)\,dx = \infty

—

$1/(n\ln n)$, $1/(n^p)$ — כשהאינטגרל קל

לייבניץ

משפט

∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n, bn>0b_n > 0, bn↘0b_n\searrow 0

שני התנאים מתקיימים

—

לא בודק התבדרות

טורים מתחלפים, אחרי בדיקת מוחלטת

זיהוי מהיר — לפי צורת $a_n$

ראית את הצורה? ← בחרי את המבחן

צורת $a_n$המבחן / הכלילמה דווקא זה?

an↛0a_n \not\to 0

מתבדר מיד (תנאי הכרחי)

בדיקה ראשונה, תמיד

(f(n))n(f(n))^n או nnn^n

שורש

השורש-nn מוריד את החזקה

n!n! או ana^n

מנה

המנה מפשטת את העצרת

P(n)/Q(n)P(n)/Q(n) — פולינומים

גבול השוואה ל-1/ndeg⁡Q−deg⁡P1/n^{\deg Q - \deg P}

החזקה הדומיננטית קובעת

1/np1/n^p ישיר

טור pp — תשובה מיידית

מקרה מוכר: p>1p>1 מתכנס

ln⁡n\ln n, arctan⁡\arctan, פונקציה רציפה

אינטגרל

האינטגרל של f(x)f(x) קל לחישוב

(−1)n⋅bn(-1)^n \cdot b_n

קודם מוחלטת, אחר-כך לייבניץ

מוחלטת חזקה יותר — בדקי קודם

an≈bna_n \approx b_n בסדר גודל

גבול השוואה

היחס an/bn→La_n/b_n \to L קובע גורל משותף

0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n ברור

השוואה ישירה

גדול מתכנס → קטן מתכנס

תמיד ראשון

תנאי הכרחי: an→0a_n \to 0? אם לא — מתבדר. זה חוסך 90% מהמקרים.

$L = 1$ — מה עושים?

מנה ושורש נכשלו? נסי גבול השוואה ל-1/np1/n^p או מבחן אינטגרל.

יש $(-1)^n$?

קודם בדקי מוחלטת. אם לא — לייבניץ. רק אחר-כך מסיקים מותנית.

Full Glossary

כל ההגדרות — עם הסבר מלא

חיפוש לפי שם, קטגוריה, לחיצה להרחבה.