Definitions Bank

מאגר הגדרות

כל הגדרות הקורס עם הגדרה פורמלית, הסבר אינטואיטיבי, מתי להשתמש, דוגמה וטעות נפוצה. מחליף את הצורך לחפש בתרגולי PDF.

סדרות (4)טורים — בסיסי (6)מבחני התכנסות (5)טורים מיוחדים (3)סוגי התכנסות (3)

Quick Reference

טבלאות עיון — התכנסות טורים

כל הטורים המיוחדים, כל המבחנים, וזיהוי מהיר לפי צורת $a_n$.

טורים מיוחדים — מתי מתכנס?

כל הטורים הנפוצים בקורס עם תנאי ההתכנסות שלהם

שם הטור	נוסחה	מתכנס כאשר	מתבדר כאשר	הערה
טור הנדסי	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} r^n$	$\|r\| < 1$ → סכום $\dfrac{1}{1-r}$	$\|r\| \ge 1$	הטור הנדסי הוא הסרגל שממנו נגזרים מבחן מנה ושורש
טור הרמוני	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$	לעולם לא	תמיד	הדוגמה הקלאסית: $a_n \to 0$ לא מספיק
טור p-הרמוני	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$	$p > 1$	$p \le 1$	הסרגל המרכזי לכל השוואה
טור הרמוני מתחלף	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$	תמיד (לייבניץ $) \to$ $\ln 2$	לעולם לא	מתכנס מותנית בלבד — הטור המוחלט הוא הרמוני
טור $p$-הרמוני מתחלף	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^p}$	$p > 0$ (לייבניץ)	$p \le 0$	$p > 1$ → מוחלטת; $0 < p \le 1$ → מותנית
טור טלסקופי	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$	תמיד — $S_N = 1 - \tfrac{1}{N+1} \to 1$	לעולם לא	רשמי כ- $\sum (a_n - a_{n+1})$ — הסכומים החלקיים מתקצרים
$\sum n^k / a^n$	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^k}{a^n}\;(a>1)$	תמיד ( $a > 1$ , כל $k$ )	$a \le 1$	אקספוננציאל מנצח פולינום
$\sum 1/(n \ln n)$	$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n \ln n}$	לעולם לא	תמיד	מבחן אינטגרל: $\int dx/(x\ln x) = \ln(\ln x) \to \infty$
$\sum 1/(n(\ln n)^p)$	$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^p}$	$p > 1$	$p \le 1$	אנלוגי לטור p-הרמוני, עם $\ln n$ במקום $n$

מבחני התכנסות — כל המבחנים

תנאים, מסקנות, וגבולות המבחן

מבחן	תנאים להפעלה	מתכנס אם	מתבדר אם	לא חושף אם	מתאים ל...
תנאי הכרחי ראשון תמיד	כל טור	—	$a_n \not\to 0$	$a_n \to 0$	כל שאלה — בדיקה ראשונה
השוואה משפט	$0 \le a_n \le b_n$	$\sum b_n < \infty$	$\sum b_n = \infty$ ו- $a_n \ge b_n$	$\sum b_n = \infty$ ו- $a_n \le b_n$	כשניתן למצוא אי-שוויון ישיר
גבול השוואה משפט	$a_n, b_n > 0$	$L \in (0,\infty)$ וגם $\sum b_n < \infty$	$L \in (0,\infty)$ וגם $\sum b_n = \infty$	$L = 0$ או $L = \infty$ — חד-כיווני בלבד	פולינום/שבר רציונלי — משווים ל-$1/n^p$
שורש (קושי) משפט	$L = \lim \sqrt[n]{\|a_n\|}$	$L < 1$	$L > 1$	$L = 1$	$(f(n))^n$, $n^n$ — כשיש חזקה-$n$
מנה (ד'אלמבר) משפט	$a_n > 0$ , $L = \lim \|a_{n+1}/a_n\|$	$L < 1$	$L > 1$	$L = 1$	$n!$, $a^n$ — כשיש עצרת או חזקה
אינטגרל משפט	$f$ יורדת, חיובית, רציפה; $a_n = f(n)$	$\int_k^\infty f(x)\,dx < \infty$	$\int_k^\infty f(x)\,dx = \infty$	—	$1/(n\ln n)$, $1/(n^p)$ — כשהאינטגרל קל
לייבניץ משפט	$\sum (-1)^n b_n$ , $b_n > 0$ , $b_n\searrow 0$	שני התנאים מתקיימים	—	לא בודק התבדרות	טורים מתחלפים, אחרי בדיקת מוחלטת

זיהוי מהיר — לפי צורת $a_n$

ראית את הצורה? ← בחרי את המבחן

צורת $a_n$	המבחן / הכלי	למה דווקא זה?
$a_n \not\to 0$	מתבדר מיד (תנאי הכרחי)	בדיקה ראשונה, תמיד
$(f(n))^n$ או $n^n$	שורש	השורש- $n$ מוריד את החזקה
$n!$ או $a^n$	מנה	המנה מפשטת את העצרת
$P(n)/Q(n)$ — פולינומים	גבול השוואה ל- $1/n^{\deg Q - \deg P}$	החזקה הדומיננטית קובעת
$1/n^p$ ישיר	טור $p$ — תשובה מיידית	מקרה מוכר: $p>1$ מתכנס
$\ln n$ , $\arctan$ , פונקציה רציפה	אינטגרל	האינטגרל של $f(x)$ קל לחישוב
$(-1)^n \cdot b_n$	קודם מוחלטת, אחר-כך לייבניץ	מוחלטת חזקה יותר — בדקי קודם
$a_n \approx b_n$ בסדר גודל	גבול השוואה	היחס $a_n/b_n \to L$ קובע גורל משותף
$0 \le a_n \le b_n$ ברור	השוואה ישירה	גדול מתכנס → קטן מתכנס

תמיד ראשון

תנאי הכרחי: $a_n \to 0$ ? אם לא — מתבדר. זה חוסך 90% מהמקרים.

$L = 1$ — מה עושים?

מנה ושורש נכשלו? נסי גבול השוואה ל- $1/n^p$ או מבחן אינטגרל.

יש $(-1)^n$?

קודם בדקי מוחלטת. אם לא — לייבניץ. רק אחר-כך מסיקים מותנית.

Full Glossary

כל ההגדרות — עם הסבר מלא

חיפוש לפי שם, קטגוריה, לחיצה להרחבה.

From the Lectures

כל ההגדרות מההרצאות — מילה במילה

ההגדרות הפורמליות בדיוק כפי שנכתבו בהרצאות 1–10, מסודרות לפי הרצאה.

הרצאה 1 · 19.3.26 — סדרות, גבול סדרה, סדרות חסומות

הגדרה — סדרה

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

. סדרה של מספרים ממשיים, המסומנת ב-

(a_n)_{n=k}^{\infty}

, מוגדרת כפונקציה

a : \{n \in \mathbb{Z} : n \ge k\} \longrightarrow \mathbb{R},

כאשר לכל

n \ge k

a_n

הוא ערך הפונקציה ב-

n

, ופורמלית

a_n = a(n)

, ונקרא האיבר ה-

n

-י בסדרה.

הגדרה — שוויון סדרות

יהיו

0 \le k_1, k_2 \in \mathbb{Z}

ותהיינה

(a_n)_{n=k_1}^{\infty}

ו-

(b_n)_{n=k_2}^{\infty}

שתי סדרות של מספרים ממשיים. נאמר כי הן שוות ונסמן

(a_n)_{n=k_1}^{\infty} = (b_n)_{n=k_2}^{\infty}

אם:
(i)

k_1 = k_2

;
(ii) לכל

n \ge k_1

מתקיים

a_n = b_n

הגדרה — גבול סדרה

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^{\infty}

סדרה של מספרים ממשיים. יהי

L \in \mathbb{R}

. נאמר כי

L

הוא הגבול של הסדרה (או שהסדרה מתכנסת ל-

L

), ונסמן

\lim_{n \to \infty} a_n = L

, אם לכל

\varepsilon > 0

קיים

N \in \mathbb{N}

כך שלכל

n \ge N

מתקיים

|a_n - L| < \varepsilon.

הגדרה — סדרה חסומה

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^{\infty}

סדרה של מספרים ממשיים. נאמר כי:
(i) הסדרה חסומה מלעיל אם קיים

M \in \mathbb{R}

כך שלכל

n \ge k

מתקיים

a_n \le M

(

M

נקרא חסם מלעיל של הסדרה);
(ii) הסדרה חסומה מלרע אם קיים

m \in \mathbb{R}

כך שלכל

n \ge k

מתקיים

a_n \ge m

(

m

נקרא חסם מלרע של הסדרה);
(iii) הסדרה חסומה אם קיים

M > 0

כך שלכל

n \ge k

מתקיים

|a_n| \le M

הגדרה — התבדרות ל-$\pm\infty$ והתכנסות

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^{\infty}

סדרה של מספרים ממשיים. נאמר כי:
(i)

\lim_{n \to \infty} a_n = \infty

אם לכל

M > 0

קיים

N \in \mathbb{N}

כך שלכל

n \ge N

מתקיים

a_n > M

;
(ii)

\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty

אם לכל

M < 0

קיים

N \in \mathbb{N}

כך שלכל

n \ge N

מתקיים

a_n < M

;
(iii) הסדרה מתכנסת אם קיים

L \in \mathbb{R}

כך ש-

\lim_{n \to \infty} a_n = L

; אם אינה מתכנסת היא מתבדרת (divergent);
(iv) הסדרה מתכנסת במובן הרחב אם הגבול קיים במובן הרחב, כלומר מתקיים אחד מהבאים: (א) הסדרה מתכנסת, (ב)

\lim_{n\to\infty} a_n = \infty

, (ג)

\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty

הגדרה — מונוטוניות

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^{\infty}

סדרה של מספרים ממשיים. נאמר כי:
(i) הסדרה עולה אם לכל

n

מתקיים

a_{n+1} \ge a_n

;
(ii) הסדרה יורדת אם לכל

n

מתקיים

a_{n+1} \le a_n

;
(iii) הסדרה עולה ממש אם לכל

n

מתקיים

a_{n+1} > a_n

;
(iv) הסדרה יורדת ממש אם לכל

n

מתקיים

a_{n+1} < a_n

;
(v) הסדרה מונוטונית אם מתקיים (i) או (ii);
(vi) הסדרה מונוטונית ממש אם מתקיים (iii) או (iv).

הגדרה — תת-סדרה

תהיינה

(a_n)_{n=1}^{\infty}

ו-

(b_k)_{k=1}^{\infty}

שתי סדרות של מספרים ממשיים. נאמר כי

(b_k)_{k=1}^{\infty}

היא תת-סדרה של

(a_n)_{n=1}^{\infty}

אם קיימת סדרה

(n_k)_{k=1}^{\infty}

של מספרים טבעיים עולה ממש כך שלכל

k \in \mathbb{N}

מתקיים

b_k = a_{n_k}.

הרצאה 2 · 26.3.26 — אינטגרל לא מסוים, פונקציה קדומה, שיטות אינטגרציה

הגדרה — פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים

יהי

I \subseteq \mathbb{R}

קטע ותהיינה

F, f

שתי פונקציות המוגדרות על

I

. נאמר כי

F

היא פונקציה קדומה של

f

ב-

I

אם:
(i)

F

גזירה ב-

I

;
(ii) לכל

x \in I

מתקיים

F'(x) = f(x)

.
במקרה זה נגדיר את האינטגרל הלא מסוים (indefinite) של

f

על

I

, ונסמן

\int f(x)\,dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \},

ובקיצור

\int f(x)\,dx = F(x) + C

הגדרה — חלוקה של קטע

יהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

ויהי

n \in \mathbb{N}

. חלוקה בעלת

n

חלקים של הקטע

[a,b]

היא וקטור עולה

P = (x_0, \ldots, x_n)

כך ש-

a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.

הגדרה — סכומי דרבו ואינטגרל עליון/תחתון

יהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

ותהי

f

פונקציה חסומה המוגדרת ב-

[a,b]

, ותהי

P = (x_0, \ldots, x_n)

חלוקה של

[a,b]

.
(i) **הסכום העליון** של

f

ביחס לחלוקה

P

מסומן

\overline{S}(f,P)

ומוגדר ע"י

\overline{S}(f,P) = \sum_{k=1}^{n} M_k (x_k - x_{k-1}), \qquad M_k = \sup\{ f(x) : x_{k-1} \le x \le x_k \}.

(ii) **הסכום התחתון** של

f

ביחס לחלוקה

P

מסומן

\underline{S}(f,P)

ומוגדר ע"י

\underline{S}(f,P) = \sum_{k=1}^{n} m_k (x_k - x_{k-1}), \qquad m_k = \inf\{ f(x) : x_{k-1} \le x \le x_k \}.

(iii) **האינטגרל העליון** של

f

ב-

[a,b]

מסומן

\overline{I}(f)

ומוגדר ע"י

\overline{I}(f) = \inf\{ \overline{S}(f,P) : P

חלוקה של

[a,b] \}

.
(iv) **האינטגרל התחתון** של

f

ב-

[a,b]

מסומן

\underline{I}(f)

ומוגדר ע"י

\underline{I}(f) = \sup\{ \underline{S}(f,P) : P

חלוקה של

[a,b] \}

הגדרה — אינטגרביליות ואינטגרל מסוים

יהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

ותהי

f

פונקציה חסומה המוגדרת ב-

[a,b]

. נאמר כי

f

אינטגרבילית ב-

[a,b]

אם קיים

S \in \mathbb{R}

כך ש-

S = \overline{I}(f) = \underline{I}(f).

במקרה זה נגדיר את האינטגרל המסוים של

f

בקטע

[a,b]

להיות

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = S

הרצאה 3 · 16.4.26 — אינטגרל מסוים, תכונות האינטגרל, אי-שוויון הערך המוחלט

הגדרה — אינטגרל על קטע מנוון והיפוך גבולות

תהי

f

פונקציה. נגדיר:
(i)

\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0

;
(ii)

\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx

הרצאה 4 · 23.4.26 — אינטגרציה בחלקים, אינטגרציה בהצבה, אינטגרלים לא אמיתיים

הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — גבול עליון אינסופי

יהי

a \in \mathbb{R}

ותהי

f:[a,\infty)\to\mathbb{R}

. נניח ש-

f

אינטגרבילית ב-

[a,b]

לכל

b>a

. נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי

\int_a^\infty f(x)\,dx

מתכנס אם הגבול

\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx

קיים, ובמקרה זה נגדיר

\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx.

הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — גבול תחתון אינסופי

יהי

b \in \mathbb{R}

ותהי

f:(-\infty,b]\to\mathbb{R}

. נניח ש-

f

אינטגרבילית ב-

[a,b]

לכל

a<b

. נאמר שהאינטגרל

\int_{-\infty}^b f(x)\,dx

מתכנס אם הגבול

\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx

קיים, ובמקרה זה

\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx.

הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — שני גבולות אינסופיים

תהי

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

. נאמר ש-

\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx

מתכנס אם

\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx

ו-

\int_0^\infty f(x)\,dx

מתכנסים (כל אחד בנפרד), ובמקרה זה

\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^\infty f(x)\,dx.

הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — אי-רציפות בקצה השמאלי

יהיו

a,b \in \mathbb{R}

כך ש-

a<b

ותהי

f

פונקציה המוגדרת ב-

(a,b]

. נניח ש-

f

אינטגרבילית ב-

[a+\delta,b]

לכל

0<\delta<b-a

. נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי

\int_a^b f(x)\,dx

מתכנס אם הגבול

\lim_{\delta\to 0^+}\int_{a+\delta}^b f(x)\,dx

קיים, ובמקרה זה

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\delta\to 0^+}\int_{a+\delta}^b f(x)\,dx.

הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — אי-רציפות בקצה הימני

יהיו

a,b \in \mathbb{R}

כך ש-

a<b

ותהי

f

פונקציה המוגדרת ב-

[a,b)

. נניח ש-

f

אינטגרבילית ב-

[a,b-\delta]

לכל

0<\delta<b-a

. נאמר שהאינטגרל

\int_a^b f(x)\,dx

מתכנס אם הגבול

\lim_{\delta\to 0^+}\int_a^{b-\delta} f(x)\,dx

קיים, ובמקרה זה

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\delta\to 0^+}\int_a^{b-\delta} f(x)\,dx.

הגדרה — התכנסות בהחלט של אינטגרל

יהי

a \in \mathbb{R}

ותהי

f

פונקציה המוגדרת ב-

[a,\infty)

. נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי

\int_a^\infty f(x)\,dx

מתכנס בהחלט אם

\int_a^\infty |f(x)|\,dx < \infty

הגדרה — טור ומה זה התכנסות טור

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^\infty

סדרה של מספרים ממשיים. נאמר שהטור

\sum_{n=k}^\infty a_n

מתכנס אם הגבול

\lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^N a_n

קיים, ובמקרה זה

\sum_{n=k}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^N a_n.

הרצאה 5 · 30.4.26 — טורים, הטור ההנדסי, הטור הטלסקופי

הגדרה — סדרת הסכומים החלקיים

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^\infty

סדרה. סדרת הסכומים החלקיים של

(a_n)

היא הסדרה

(S_N)_{N=k}^\infty

המוגדרת ע"י

S_N = \sum_{n=k}^N a_n \quad \text{לכל } N \ge k.

למשל

S_k = a_k

S_{k+1} = a_k + a_{k+1}

S_{k+2} = a_k + a_{k+1} + a_{k+2}

הגדרה 1 — התכנסות טור

\sum_{n=k}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^N a_n = \lim_{N\to\infty} S_N.

ואומרים שהטור

\sum_{n=k}^\infty a_n

מתכנס אם סדרת הסכומים החלקיים

(S_N)

מתכנסת.

הגדרה — זנב הטור

תהי

(a_n)_{n=0}^\infty

סדרה ויהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

. הזנב ה-

k

-י של הטור

\sum_{n=0}^\infty a_n

הוא הטור

\sum_{n=k}^\infty a_n

הגדרה — טור אי-שלילי וסימון $\sum a_n < \infty$

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^\infty

סדרה. אם

a_n \ge 0

לכל

n \ge k

נאמר שהטור

\sum_{n=k}^\infty a_n

אי-שלילי. אם הטור אי-שלילי, נסמן

\sum_{n=k}^\infty a_n < \infty

אם הטור מתכנס.

הרצאה 7 · 14.5.26 — מבחן האינטגרל, התכנסות בהחלט, התכנסות בתנאי

הגדרה — התכנסות בהחלט

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^\infty

סדרה. נאמר שהטור

\sum_{n=k}^\infty a_n

מתכנס בהחלט אם

\sum_{n=k}^\infty |a_n| < \infty.

הגדרה — התכנסות בתנאי

יהי

0 \le k \in \mathbb{Z}

ותהי

(a_n)_{n=k}^\infty

סדרה. נאמר שהטור

\sum_{n=k}^\infty a_n

מתכנס בתנאי אם הטור מתכנס אבל אינו מתכנס בהחלט, כלומר

\sum_{n=k}^\infty |a_n| = \infty

הגדרה — טור לייבניץ (טור מתחלף)

תהי

(a_n)_{n=1}^\infty

סדרה. נאמר שהטור

\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n

הוא טור לייבניץ אם:
(i)

(a_n)_{n=1}^\infty

יורדת;
(ii)

\lim_{n\to\infty} a_n = 0

הרצאה 8 · 19.5.26 — מבחן הסוגריים, טורי חזקות, תחום ההתכנסות

הגדרה — הוספת סוגריים לטור

תהיינה

(a_n)_{n=1}^\infty

ו-

(b_k)_{k=1}^\infty

שתי סדרות. נאמר שהטור

\sum_{k=1}^\infty b_k

התקבל מהטור

\sum_{n=1}^\infty a_n

ע"י הוספת סוגריים אם קיימת סדרה עולה ממש

(n_k)_{k=1}^\infty

של מספרים טבעיים כך ש:
(i)

n_1 = 1

;
(ii) לכל

k \ge 1

מתקיים

b_k = a_{n_k} + a_{n_k+1} + a_{n_k+2} + \cdots + a_{n_{k+1}-1}

הגדרה — טור חזקות

תהי

x_0 \in \mathbb{R}

. טור חזקות סביב

x_0

הוא טור מהצורה

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots,

כאשר

(a_n)_{n=0}^\infty

סדרה של מספרים ממשיים ו-

x \in \mathbb{R}

הגדרה — תחום ההתכנסות

תהי

x_0 \in \mathbb{R}

ותהי

(a_n)_{n=0}^\infty

סדרה. תחום ההתכנסות של טור החזקות

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

הוא קבוצת כל ערכי ה-

x \in \mathbb{R}

שעבורם הטור מתכנס.

הגדרה — רדיוס ההתכנסות

תהי

x_0 \in \mathbb{R}

ויהי

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

טור חזקות. רדיוס ההתכנסות של הטור מוגדר ע"י

R = \sup\{ r \ge 0 : \text{הטור מתכנס לכל } x \in [x_0-r, x_0+r] \}.

הרצאה 9 · 25.5.26 — גזירה ואינטגרציה איבר-איבר, משפט אבל (גבול), טורי מקלורן

הגדרה — פולינום טיילור ושארית הטיילור

תהי

x_0 \in \mathbb{R}

ויהי

0 \le N \in \mathbb{Z}

. תהי

f

פונקציה הגזירה

N

פעמים ב-

x_0

. פולינום הטיילור מסדר

N

של

f

סביב

x_0

מוגדר ע"י

T_N(x) = \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(N)}(x_0)}{N!}(x-x_0)^N.

שארית הטיילור מסדר

N

מוגדרת ע"י

R_N(x) = f(x) - T_N(x)

הרצאה 10 · 4.6.26 — משפט הזהות (מקדמי טור חזקות), פולינום טיילור, שארית טיילור

הגדרה — פולינום טיילור מסדר $N$

יהי

x_0 \in \mathbb{R}

ויהי

0 \le N \in \mathbb{Z}

. תהי

f

פונקציה הגזירה

N

פעמים ב-

x_0

. פולינום טיילור מסדר

N

של

f

סביב

x_0

הוא הפולינום מדרגה

\le N

T_N(x) = \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(N)}(x_0)}{N!}(x-x_0)^N.

הגדרה — שארית טיילור מסדר $N$

תהי

f

ויהי

T_N

פולינום טיילור מסדר

N

שלה סביב

x_0

. שארית הטיילור של

f

סביב

x_0

מסדר

N

מוגדרת להיות

R_N(x) = f(x) - T_N(x).

הגדרה — טור טיילור

תהי

x_0 \in \mathbb{R}

ותהי

f

פונקציה המוגדרת בסביבה של

x_0

. נניח ש-

f

גזירה אינסוף פעמים ב-

x_0

(כלומר

f^{(n)}(x_0)

קיימת לכל

0 \le n \in \mathbb{Z}

). טור הטיילור של

f

סביב

x_0

מוגדר להיות

T_f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.

הרשמה לאינפי ב׳

מאגר הגדרות

טבלאות עיון — התכנסות טורים

טורים מיוחדים — מתי מתכנס?

מבחני התכנסות — כל המבחנים

זיהוי מהיר — לפי צורת $a_n$

כל ההגדרות — עם הסבר מלא

סדרה

גבול סדרה

סדרה חסומה

סדרה מונוטונית

טור

טור מתכנס

טור מתבדר

תנאי הכרחי להתכנסות

זנב טור

טור הנדסי

טור הרמוני

טור p-הרמוני

טור עם איברים אי-שליליים

מבחן ההשוואה

מבחן גבול ההשוואה

מבחן השורש (קושי)

מבחן המנה (ד'אלמבר)

מבחן האינטגרל

התכנסות מוחלטת

התכנסות מותנית

טור לייבניץ / טור מתחלף

כל ההגדרות מההרצאות — מילה במילה