∑
26
46
שבועותשבוע 5
📄 סיכום שבוע

שבוע 5

אינטגרלים לא מסוימים — שיטות חישוב

פירוק לשברים חלקייםאינטגרלים טריגונומטרייםשיטת ε²
📖

הרצאה 5

חומר חדש

→
✏️

תרגול 5

מתרגל הרצאה 4

→
📋

מטלה 5

תרגול 5 + הרצאה 4

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 5

בחרי $b_n$ שדומה ל-$a_n$ 'בסדר גודל' — לרוב $1/n^p$ לאיזה $p$.

מה לחזור קודם

  • טור רמוני

  • טור pp-הרמוני

  • מה זה מבחן השוואה

חובה לשנן

  • ∑1/np\sum 1/n^p מתכנס ↔ p>1p > 1

  • מבחן השוואה: 0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n

כלים מרכזיים

  • מבחן השוואה

  • טור pp-הרמוני כסרגל

טעויות נפוצות

  • להשוות בכיוון הלא נכון (an≤bna_n \le b_n עם ∑bn\sum b_n מתבדר — לא מסיקים כלום)

  • לבלבל p=1p=1 (רמוני, מתבדר) עם p>1p>1 (מתכנס)

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    טור pp-הרמוני: ∑1/np\sum 1/n^p — מתי מתכנס?

  2. 2

    מבחן השוואה — שני כיוונים

  3. 3

    כיצד למצוא סרגל מתאים (bnb_n מוכר)

  4. 4

    דוגמאות: ∑1n2+1\sum \frac{1}{n^2+1}, ∑1n+1\sum \frac{1}{\sqrt{n}+1}

תרשים שבוע 5

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

שבר חלקי

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

FTC

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

∫sin²x dx = x/2 - sin(2x)/4

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

פירוק לשברים חלקיים — שיטה לבחינה

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 5 — חומר חדש

הגדרות

  • שבר חלקי

  • אינטגרל לא מסוים

משפטים

  • FTC

  • משפט פיתוח לשברים חלקיים

נוסחאות מפתח

∫sin²x dx = x/2 - sin(2x)/4

∫cos²x dx = x/2 + sin(2x)/4

חשוב למבחן

פירוק לשברים חלקיים — שיטה לבחינה

חשוב למבחן

אינטגרלים טריגונומטריים — קצת פחות שכיח

מקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

✏️ תרגול

תרגול 5

אין סיכום תרגול לשבוע זה

📋 מטלה

מטלה 5 · מבוסס תרגול 5 + הרצאה 4

1
אינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

נוסח השאלה

Calculus II – Spring 2025-26 Homework 5

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

2
אינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

נוסח השאלה

2. Determine whether each of the following improper integrals converges or diverges (a) ∫ ∞ 1 𝑒−𝑥 ln(𝑥) 𝑑𝑥.

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

3
אינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

נוסח השאלה

3. Let 𝑓 be a function that is continuous on [0, 2]. Prove there exists a point 𝑐 ∈ [0, 2] such that π 2 0 𝑥2 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 8 · 𝑓 (𝑐) 3

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

4
אינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

נוסח השאלה

5. Let 𝑓 : [0, ∞) → R be a function that is integrable on [0, 𝑏] for every 𝑏 > 0. Prove or disprove each of the following statements: (a) Consider the function defined by 𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑥 0 𝑓 (𝑡) �

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

5
אינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

נוסח השאלה

6. For every 0 ≤ 𝑛 ∈ Z, consider the definite integral 𝐼𝑛 defined by 𝐼𝑛 = π 𝜋 2 0 sin𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 (a) Prove that the sequence (𝐼𝑛)∞ 𝑛=0 is well-defined.

שאלה מורכבת עם הוכחה/טורים/חזקות — דפוס שחוזר במבחנים

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

ציטוט מקור

הגדרות ומשפטים מהרצאה

טקסט שחולץ בפועל מהקבצים — אם OCR לא קריא, מוצג סיכום מקושר.

1. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט .7

אינסופיים טורים — 5 הרצאה .8

לטורים מבחנים טבלת .9

דומים דברים בין חשובות השוואות .10

בתרגילים מומלצת עבודה צורת .11

למבחן אחרונים דגשים .12

ההרצאות מכל לזכור המרכזי הרעיון

:עולמות שני בין מחבר 5–4 הרצאות של החומר

.שמתפוצצת פונקציה או אינסופי תחום :בעיה עם אינטגרלים — אמיתיים לא אינטגרלים .1

.חלקיים סכומים של גבול דרך שבודקים אינסופי סכום — אינסופיים טורים .2

בשניהם שחוזר הרעיון

ב הבעיה את מחליפים אלא ,ישירות מציבים לא — בעיה נקודת או "אינסוף" כשיש

גבול

.

אמיתי לא אינטגרל אינסופי טור

מתכנס

.וסופי קיים הגבול אם

מתבדר

. -ל שווה או קיים לא הגבול אם

טורים מול אמיתיים לא אינטגרלים — מהירה השוואה טבלת

נושא אמיתי לא אינטגרל אינסופי טור

?בודקים מה בעייתי בתחום אינטגרל/שטח אינסופי סכום

?מגדירים איך רגילים אינטגרלים של גבול בעזרת חלקיים סכומים של גבול בעזרת

אם מתכנס וסופי קיים הגבול וסופי קיים החלקיים הסכומים גבול

אם מתבדר אינסופי או קיים לא הגבול אינסופי או קיים לא הגבול

מרכזית דוגמה

בשאלות שחוזרים זהב כללי

? מוסיפים מתי .1

:מסוים לא באינטגרל

:מתבטל והקבוע גבולות מציבים בסוף כי , מוסיפים לא אמיתי לא או מסוים באינטגרל

? זה מה .2

.ימין מצד ל־ מתקרבים אלא , באמת מציבים לא :אומר

.ימין מצד אליו ומתקרבים ב־ בעייתית הפונקציה כי , באינטגרל למשל בזה משתמשים

?אינסוף ומתי שווה מתי .3

מצב של סי

2. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

.למעלה מלמטה עולה התבדרות .למטה מלמעלה יורדת התכנסות

השוואה ו

3. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפטי אמיתיים לא אינטגרלים — 4 הרצאה

בחלקים אינטגרציה — 1

4. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

:אז . -ב ברציפות גזירות פונקציות תהיינה

מכלל באה הנוסחה .גבולות עם רק ,מסוים לא מאינטגרל שמכירים בחלקים אינטגרציה של כלל אותו :הסבר

. המכפלה

.יותר פשוט יהיה הביטוי האינטגרציה שאחרי כך בוחרים בפועל

משתנה החלפת — 2

5. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

a)\ תהיינה

לב שימי

חייבים משתנה החלפת אחרי מסוים באינטגרל

או

,החדש המשתנה לפי הגבולות את גם להחליף

או

. במשתנה ביטוי לבין של גבולות בין לערבב אסור .המקורי למשתנה בסוף לחזור

אמיתיים לא אינטגרלים של הגדרות

מימין אינסופי תחום —

6. הגדרהמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

הגדרה

:ונגדיר מתכנס האינטגרל אז הגבול קיים אם . בכל אינטגרבילית תהי

משמאל אינסופי תחום —

7. הגדרהמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

הגדרה

:בנפרד מתכנסים האינטגרלים שני אם רק מתכנס

אזהרה

לדוגמה) בנפרד צד כל לבדוק צריך .התכנסות מזה ולהסיק ישר לחשב אסור

.(מטעה הסימטרי הגבול —

ימין בקצה אי־רציפות

.( ) שמאל מצד מתקרבים -ב בעיה

שמאל בקצה אי־רציפות

.( ) ימין מצד מתקרבים -ב בעיה

אמיתיים לא לאינטגרלים מההרצאה בסיסיות דוגמאות

1 דוגמה

2 דוגמה

3 דוגמה

4 דוגמה

בקצה בעיה — 5 דוגמה

בקצה בעיה — 6 דוגמה

שילוב — 7 דוגמה

p אינטגרלי — 3

8. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

א חלק ב חלק

אינטואיציה

. -ל מתכנס ולכן יותר מהר יורדת הפונקציה ,יותר גדול -ש ככל .באינסוף היא הבעיה -ב

. -ל דווקא מתכנס ולכן ליד יותר חזק מתפוצצת הפונקציה ,יותר גדול -ש ככל . -ב היא הבעיה -ב

אינטגרל ?מתי מתכנס ?מתי מתבדר מתכנס אם ערך

אמיתיים לא לאינטגרלים השוואה

9. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

:וגם מתכנס גם אז ,מתכנס אם . : שלכל נניח

.מתבדר הגדול גם ,מתבדר הקטן אם :הפוכה

10. מסקנהמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

מסקנה

בהחלט התכנסות

.התכנסות גוררת בהחלט התכנסות כלומר .מתכנס אז אם

אינסופיים טורים — 5 הרצאה

גיאומטרי טור

. :דוגמה

טלסקופי טור

:מרכזית דוגמה

:הפירוק

.קצה איברי רק נשארים — מצטמצמים האיברים רוב

חלקיים וסכומים טור —

11. הגדרהמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

הגדרה

:חלקיים סכומים סדרת נגדיר

.מתבדר — אחרת .הגבול הוא וערכו מתכנס הטור — וסופי קיים אם

ההרמוני הטור התבדרות — 1

12. משפטמקור: סיכום מאגד — הרצאות 4–5 חדו״א 2.pdf

משפט

. -ש למרות ,מתבדר ההרמוני הטור

המלכוד נקודת

.קלאסית נגדית דוגמה הוא ההרמוני הטור .יתכנס שהטור כדי מספיק לא זה אם

טורים של בסיסיות תכונות

איברים של סופי מספר שינוי

כמו בדיוק מתבדר ,למשל .(הסכום ערך את לשנות יכול רק) ההתכנסות על השפעה אין

.

לינאריות

:אז -ו מתכנסים אם

בקבוע כפל

.מתכנס מתכנס :הסכום ערך את רק ,התכנסות משנה לא

הכרחי תנאי — 5

שבוע 4שבוע 6