Mentora
0
46
שבועותשבוע 5
סיכום שבוע

שבוע 5

אינטגרל מסוים — הגדרה, תכונות, ומשפט היסודי

אינטגרל רימןמשפט היסודי של החשבוןאינטגרציה בחלקיםהחלפת משתנה
פתחי סיכום שבוע 5
📖

הרצאה 4

חומר חדש

→
✏️

תרגול 5

מתרגל הרצאה 4

→
📋

מטלה 5

תרגול 5 + הרצאה 4

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 5

באינטגרל לא אמיתי כתבי תמיד $\lim$, ובהצבה במסוים תמיד עדכני את הגבולות.

מה לחזור קודם

  • ניוטון-לייבניץ

  • אינטגרציה בחלקים והצבה

חובה לשנן

  • בחלקים במסוים: ∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b uv'

  • הצבה במסוים — חובה לעדכן את גבולות האינטגרל

  • אינטגרל לא אמיתי = גבול: ∫a∞f=lim⁡b→∞∫abf\int_a^\infty f = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f

  • מבחן ה-pp: ∫1∞1/xp\int_1^\infty 1/x^p מתכנס ⟺ p>1p>1; ∫011/xp\int_0^1 1/x^p מתכנס ⟺ p<1p<1

  • מבחן השוואה לאינטגרלים לא אמיתיים

כלים מרכזיים

  • אינטגרל לא אמיתי

  • מבחן ה-pp לאינטגרלים

  • מבחן השוואה

טעויות נפוצות

  • לשכוח לעדכן את הגבולות בהצבה במסוים

  • לבלבל בין תנאי ה-pp באינסוף (p>1p>1) לבין ליד אפס (p<1p<1)

  • לא לפצל אינטגרל סביב נקודת אי-רציפות פנימית

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    אינטגרציה בחלקים במסוים

  2. 2

    הצבה במסוים — שינוי גבולות

  3. 3

    אינטגרל לא אמיתי: גבול אינסופי ופונקציה לא חסומה

  4. 4

    מבחן ה-pp לאינטגרלים

  5. 5

    מבחן השוואה לאינטגרלים

סיכום שבוע 5

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

להגדיר ולחשב אינטגרלים לא תקינים (גבול אינסופי או פונקציה לא חסומה), ולדעת לקבוע התכנסות/התבדרות.

העיקרון המוביל

אינטגרל לא תקין הוא גבול — לא חישוב ישיר. אסור להציב ∞\infty בנוסחה. לאינטגרל ∫−∞∞\int_{-\infty}^{\infty} — חייבים לפצל לשניים ושניהם חייבים להתכנס בנפרד.

בנוי על: ניוטון-לייבניץ, החלפת משתנה (שבוע 4), גבולות (שבוע 1)

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x)\,dx

האינטגרל מתכנס אם הגבול קיים וסופי; מתבדר אחרת.

באופן דומה: ∫−∞bf=lim⁡a→−∞∫abf\int_{-\infty}^b f = \lim_{a\to-\infty}\int_a^b f.

למה זה נוסף?

השטח מתחת לגרף עד אינסוף לא מוגדר ישירות — מגדירים אותו כגבול של שטחים סופיים.

אינטואיציה

חושבים על 'אינסוף' כ'גדול מאוד'. לוקחים גבול עליון bb ולוחצים לאינסוף.

טעות נפוצה

אסור לכתוב [F(x)]a∞=F(∞)−F(a)[F(x)]_a^\infty = F(\infty) - F(a) ישירות. צריך לכתוב lim⁡b→∞F(b)−F(a)\lim_{b\to\infty} F(b) - F(a).

דוגמה

∫0∞epx dx\int_0^\infty e^{px}\,dx (p<0p < 0): lim⁡b→∞[epxp]0b=lim⁡b→∞epb−1p=0−1p=−1p\lim_{b\to\infty} \left[\frac{e^{px}}{p}\right]_0^b = \lim_{b\to\infty} \frac{e^{pb}-1}{p} = \frac{0-1}{p} = -\frac{1}{p} (כי p<0p<0 ולכן epb→0e^{pb}\to 0). מתכנס לכל p<0p<0.

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^{\infty} f(x)\,dx

לכל cc קבוע. שני החלקים חייבים להתכנס בנפרד.

אינטואיציה

לא ניתן לסמוך על 'ביטול' בין −∞-\infty ל-+∞+\infty. כל צד נבדק לחוד.

טעות נפוצה

טעות קלאסית: ∫−111x dx≠0\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,dx \ne 0. האינטגרל מתבדר כי ∫011x dx=∞\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \infty. לא ניתן לטעון 'הם מבטלים זה את זה'.

דוגמה

∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^{\infty} x\,dx: ∫0∞x dx=lim⁡b→∞b2/2=∞\int_0^\infty x\,dx = \lim_{b\to\infty} b^2/2 = \infty. מתבדר (גם לבד!).

אם ff לא חסומה בסביבת bb, אז:

∫abf(x) dx=lim⁡ε→0+∫ab−εf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx

אם הגבול קיים וסופי — מתכנס.

דוגמה

∫011x dx=lim⁡ε→0+[2x]ε1=2−lim⁡2ε=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} [2\sqrt{x}]_\varepsilon^1 = 2 - \lim 2\sqrt{\varepsilon} = 2. מתכנס.

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \text{ מתכנס} \iff p > 1

\int_0^{1} \frac{1}{x^p}\,dx \text{ מתכנס} \iff p < 1

אינטואיציה

ב-[1,∞)[1,\infty): p>1p>1 = קטנים מהר מספיק. ב-(0,1](0,1]: p<1p<1 = לא מתפוצצים מהר מדי ליד 0. שמי לב לדחיפות ההפוכה!

מתי להשתמש?

כסרגל להשוואה: בדקי לאיזה pp דומה f(x)f(x) ואז החל מבחן ה-pp.

הערות חשובות

  • מבחן ה-pp לטורים (שבוע 6): ∑1/np\sum 1/n^p מתכנס   ⟺  \iff p>1p>1 — אותו כיוון כמו ∫1∞\int_1^\infty.

אם 0≤f(x)≤g(x)0 \le f(x) \le g(x) לכל x≥ax \ge a, אז:

  • ∫a∞g<∞⇒∫a∞f<∞\int_a^\infty g < \infty \Rightarrow \int_a^\infty f < \infty (מתכנס)

  • ∫a∞f=∞⇒∫a∞g=∞\int_a^\infty f = \infty \Rightarrow \int_a^\infty g = \infty (מתבדר)

אינטואיציה

אם הפונקציה הגדולה מתכנסת — הקטנה ממנה בטוח מתכנסת. אם הקטנה מתבדרת — הגדולה בטוח מתבדרת.

מתי להשתמש?

כשניתן להשוות ל-1/xp1/x^p או ל-epxe^{px}.

דוגמה

∫1∞1x2+sin⁡2x dx\int_1^\infty \frac{1}{x^2+\sin^2 x}\,dx: 0<1x2+sin⁡2x≤1x20 < \frac{1}{x^2+\sin^2 x} \le \frac{1}{x^2} ו-∫1∞1/x2<∞\int_1^\infty 1/x^2 < \infty. לכן מתכנס.

∫2∞dxxln⁡x=lim⁡b→∞[ln⁡(ln⁡x)]2b=lim⁡b→∞ln⁡(ln⁡b)−ln⁡(ln⁡2)=∞\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty}[\ln(\ln x)]_2^b = \lim_{b\to\infty} \ln(\ln b) - \ln(\ln 2) = \infty.

מתבדר.

אינטואיציה

למרות שהאינטגרנד קטן מאוד, הוא קטן לאט מדי — ln⁡(ln⁡x)\ln(\ln x) גדל לאינסוף.

הערות חשובות

  • השוואה: ∫2∞1x(ln⁡x)2\int_2^\infty \frac{1}{x(\ln x)^2} מתכנס (כי מתקבל [−1/ln⁡x]2∞=1/ln⁡2[-1/\ln x]_2^\infty = 1/\ln 2).

תרשים שבוע 5

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

אינטגרל רימן

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

משפט היסודי של החשבון (FTC)

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a)f(x)dx = F(b)-F(a)

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

אינטגרל — נושא מרכזי, מופיע בכל מבחן

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 4 — חומר חדש

הגדרות

  • אינטגרל רימן

  • פונקציה אינטגרבילית

  • אנטי-נגזרת

משפטים

  • משפט היסודי של החשבון (FTC)

  • FTC2 — גזירת אינטגרל

  • IBP

נוסחאות מפתח

∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a)f(x)dx = F(b)-F(a)

∫udv=uv−∫vdu∫u dv = uv - ∫v du

חשוב למבחן

אינטגרל — נושא מרכזי, מופיע בכל מבחן

חשוב למבחן

IBP — שיטה שחוזרת הרבה

מקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

✏️ תרגול

תרגול 5 · מתרגל הרצאה 4

תרגול 5 — נושאים: אינטגרלים לא אמיתיים, גבולות, טורים, מבחן ההשוואה, סדרות, פונקציות, רציפות

📋 מטלה

מטלה 5 · מבוסס תרגול 5 + הרצאה 4

טבלת מטלה

מטלה 5 — שאלות לתרגול ומעקב

5 שאלות5 בעדיפות גבוהה
ש׳ 1
ש׳ 2
ש׳ 3
ש׳ 4
ש׳ 5

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הרצאה 4 · 23.4.26 — אינטגרציה בחלקים, אינטגרציה בהצבה, אינטגרלים לא אמיתיים
משפט 1 — אינטגרציה בחלקים (אינטגרל מסוים)
תהיינה a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהיינה u,vu,v שתי פונקציות גזירות ברציפות ב-[a,b][a,b]. אזי
∫abu′(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x) dx.\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \big[ u(x)v(x) \big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx.
הוכחה
∫abu′(x)v(x) dx=∫ab[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)−u(x)v′(x)] dx  =לינאריות  ∫ab(u(x)v(x))′ dx−∫abu(x)v′(x) dx  =ניוטון-לייבניץ  [u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x) dx.\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \int_a^b \big[ u'(x)v(x) + u(x)v'(x) - u(x)v'(x) \big]\,dx \;\underset{\text{לינאריות}}{=}\; \int_a^b \big( u(x)v(x) \big)'\,dx - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx \;\underset{\text{ניוטון-לייבניץ}}{=}\; \big[ u(x)v(x) \big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx.
דוגמה — אינטגרציה בחלקים — $\int_1^3 x\ln x\,dx$
עם u′=xu' = x (u=x22u = \frac{x^2}{2}), v=ln⁡xv = \ln x (v′=1xv' = \frac{1}{x}):
∫13xln⁡x dx=[x22ln⁡x]13−∫13x2 dx=92ln⁡3−0−[x24]13=92ln⁡3−94+14.\int_1^3 x\ln x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2}\ln x \right]_1^3 - \int_1^3 \frac{x}{2}\,dx = \frac{9}{2}\ln 3 - 0 - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_1^3 = \frac{9}{2}\ln 3 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4}.
משפט 2 — אינטגרציה בהצבה (אינטגרל מסוים)
תהיינה a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b, תהי ff גזירה ברציפות ב-[a,b][a,b] ותהי gg רציפה. אזי
∫abg(f(x))⋅f′(x) dx=∫f(a)f(b)g(t) dt.\int_a^b g(f(x)) \cdot f'(x)\,dx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(t)\,dt.
הוכחה
ההוכחה כקודם (כבמשפט ההצבה לאינטגרל הלא מסוים, בעזרת ניוטון-לייבניץ).
דוגמה — אינטגרציה בהצבה — $\int_0^2 x e^{x^2}\,dx$
בהצבה t=x2t = x^2, dt=2x dxdt = 2x\,dx:
∫02xex2 dx=∫04xetdt2x=12∫04et dt=12(e4−1).\int_0^2 x e^{x^2}\,dx = \int_0^4 x e^t \frac{dt}{2x} = \frac{1}{2}\int_0^4 e^t\,dt = \frac{1}{2}(e^4 - 1).
הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — גבול עליון אינסופי
יהי a∈Ra \in \mathbb{R} ותהי f:[a,∞)→Rf:[a,\infty)\to\mathbb{R}. נניח ש-ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b] לכל b>ab>a. נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx מתכנס אם הגבול lim⁡b→∞∫abf(x) dx\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx קיים, ובמקרה זה נגדיר
∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx.\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx.
הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — גבול תחתון אינסופי
יהי b∈Rb \in \mathbb{R} ותהי f:(−∞,b]→Rf:(-\infty,b]\to\mathbb{R}. נניח ש-ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b] לכל a<ba<b. נאמר שהאינטגרל ∫−∞bf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx מתכנס אם הגבול lim⁡a→−∞∫abf(x) dx\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx קיים, ובמקרה זה
∫−∞bf(x) dx=lim⁡a→−∞∫abf(x) dx.\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx.
הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — שני גבולות אינסופיים
תהי f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. נאמר ש-∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx מתכנס אם ∫−∞0f(x) dx\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx ו-∫0∞f(x) dx\int_0^\infty f(x)\,dx מתכנסים (כל אחד בנפרד), ובמקרה זה
∫−∞∞f(x) dx=∫−∞0f(x) dx+∫0∞f(x) dx.\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^\infty f(x)\,dx.
הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — אי-רציפות בקצה השמאלי
יהיו a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-(a,b](a,b]. נניח ש-ff אינטגרבילית ב-[a+δ,b][a+\delta,b] לכל 0<δ<b−a0<\delta<b-a. נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx מתכנס אם הגבול lim⁡δ→0+∫a+δbf(x) dx\lim_{\delta\to 0^+}\int_{a+\delta}^b f(x)\,dx קיים, ובמקרה זה
∫abf(x) dx=lim⁡δ→0+∫a+δbf(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\delta\to 0^+}\int_{a+\delta}^b f(x)\,dx.
הגדרה — אינטגרל לא אמיתי — אי-רציפות בקצה הימני
יהיו a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b)[a,b). נניח ש-ff אינטגרבילית ב-[a,b−δ][a,b-\delta] לכל 0<δ<b−a0<\delta<b-a. נאמר שהאינטגרל ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx מתכנס אם הגבול lim⁡δ→0+∫ab−δf(x) dx\lim_{\delta\to 0^+}\int_a^{b-\delta} f(x)\,dx קיים, ובמקרה זה
∫abf(x) dx=lim⁡δ→0+∫ab−δf(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\delta\to 0^+}\int_a^{b-\delta} f(x)\,dx.
הערה 1 — התכנסות במובן הרחב
באופן דומה נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי מתכנס במובן הרחב אם הגבול המתאים קיים במובן הרחב.
דוגמאות — אינטגרלים לא אמיתיים
(1) ∫0∞e−x dx=lim⁡b→∞[−e−x]0b=lim⁡b→∞(−e−b+1)=1\int_0^\infty e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\big[ -e^{-x} \big]_0^b = \lim_{b\to\infty}(-e^{-b}+1) = 1, ובקיצור [−e−x]0∞=−e−∞+1=1\big[ -e^{-x} \big]_0^\infty = -e^{-\infty}+1 = 1.
(2) ∫−∞0dx1+x2=[arctan⁡x]−∞0=arctan⁡0−arctan⁡(−∞)=π2\int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1+x^2} = \big[ \arctan x \big]_{-\infty}^0 = \arctan 0 - \arctan(-\infty) = \frac{\pi}{2}.
(3) ∫0∞dx1+x2=[arctan⁡x]0∞=π2\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \big[ \arctan x \big]_0^\infty = \frac{\pi}{2}.
(4) ∫−∞∞dx1+x2=π2+π2=π\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} = \pi.
(5) ∫0∞sin⁡x dx=[−cos⁡x]0∞=−cos⁡∞+1\int_0^\infty \sin x\,dx = \big[ -\cos x \big]_0^\infty = -\cos\infty + 1 — הגבול אינו קיים, ולכן האינטגרל מתבדר.
(6) ∫01dx1−x2=lim⁡δ→0+[arcsin⁡x]01−δ=arcsin⁡1−−arcsin⁡0=π2\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \lim_{\delta\to 0^+}\big[ \arcsin x \big]_0^{1-\delta} = \arcsin 1^- - \arcsin 0 = \frac{\pi}{2}.
(7) ∫−10dx1−x2=π2\int_{-1}^0 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2} (באופן דומה).
(8) ∫−11dx1−x2=π2+π2=π\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} = \pi.
משפט 3 — אינטגרל ה-$p$
יהי p∈Rp \in \mathbb{R}. אזי:
(i) ∫1∞dxxp={1p−1p>1∞p≤1\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{1}{p-1} & p > 1 \\ \infty & p \le 1 \end{cases}
(ii) ∫01dxxp={11−pp<1∞p≥1\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{1}{1-p} & p < 1 \\ \infty & p \ge 1 \end{cases}
הוכחה
**(i)** עבור p≠1p \ne 1:
∫1∞dxxp=∫1∞x−p dx=[x−p+1−p+1]1∞=∞1−p1−p−11−p={∞p<11p−1p>1\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} = \int_1^\infty x^{-p}\,dx = \left[ \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \right]_1^\infty = \frac{\infty^{1-p}}{1-p} - \frac{1}{1-p} = \begin{cases} \infty & p < 1 \\ \frac{1}{p-1} & p > 1 \end{cases}

עבור p=1p = 1: ∫1∞dxx=[ln⁡∣x∣]1∞=ln⁡∞−ln⁡1=∞\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \big[ \ln|x| \big]_1^\infty = \ln\infty - \ln 1 = \infty.
**(ii)** עבור p≠1p \ne 1:
∫01dxxp=[x−p+1−p+1]0+1=11−p−(0+)1−p1−p={11−pp<1∞p>1\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \left[ \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \right]_{0^+}^1 = \frac{1}{1-p} - \frac{(0^+)^{1-p}}{1-p} = \begin{cases} \frac{1}{1-p} & p < 1 \\ \infty & p > 1 \end{cases}

עבור p=1p = 1: ∫01dxx=[ln⁡∣x∣]0+1=ln⁡1−ln⁡0+=0−(−∞)=∞\int_0^1 \frac{dx}{x} = \big[ \ln|x| \big]_{0^+}^1 = \ln 1 - \ln 0^+ = 0 - (-\infty) = \infty.
דוגמאות — אינטגרל ה-$p$
∫1∞dxx2=12−1=1    (p>1),∫01dxx2=∞    (p≥1)\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{2-1} = 1 \;\;(p>1), \qquad \int_0^1 \frac{dx}{x^2} = \infty \;\;(p\ge 1)

∫1∞dxx=∞    (p<1),∫01dxx=11−12=2    (p<1)\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}} = \infty \;\;(p<1), \qquad \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2 \;\;(p<1)
משפט 2 — מבחן ההשוואה לאינטגרלים
יהי a∈Ra \in \mathbb{R} ותהיינה f,gf,g שתי פונקציות המוגדרות ב-[a,∞)[a,\infty). נניח כי:
(i) 0≤f(x)≤g(x)0 \le f(x) \le g(x) לכל x≥ax \ge a;
(ii) f,gf,g אינטגרביליות ב-[a,b][a,b] לכל b>ab>a;
(iii) ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx מתכנס.
אזי ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx מתכנס, ובנוסף
∫a∞f(x) dx≤∫a∞g(x) dx.\int_a^\infty f(x)\,dx \le \int_a^\infty g(x)\,dx.
הוכחה
נביט בפונקציות הצבירה F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t)\,dt ו-G(x)=∫axg(t) dtG(x) = \int_a^x g(t)\,dt עבור x≥ax \ge a. FF ו-GG מונוטוניות עולות (כי f,g≥0f,g \ge 0): אכן עבור a≤x1<x2a \le x_1 < x_2, F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(t) dt≥∫x1x20 dx=0F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(t)\,dt \ge \int_{x_1}^{x_2} 0\,dx = 0. כמו כן לכל x≥ax \ge a ממונוטוניות האינטגרל F(x)=∫axf(t) dt≤∫axg(t) dt=G(x)F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \le \int_a^x g(t)\,dt = G(x).
מהיות ∫a∞g\int_a^\infty g מתכנס, קיים S=∫a∞g(x) dx=lim⁡x→∞G(x)S = \int_a^\infty g(x)\,dx = \lim_{x\to\infty} G(x), ולכל x≥ax \ge a מתקיים F(x)≤G(x)≤sup⁡{G(x):x≥a}=SF(x) \le G(x) \le \sup\{G(x):x\ge a\} = S. לכן FF חסומה מלעיל וגם עולה, ומכאן
∫a∞f(x) dx=lim⁡x→∞F(x)=sup⁡{F(x):x≥a}≤S=∫a∞g(x) dx.\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{x\to\infty} F(x) = \sup\{F(x):x\ge a\} \le S = \int_a^\infty g(x)\,dx.
הגדרה — התכנסות בהחלט של אינטגרל
יהי a∈Ra \in \mathbb{R} ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,∞)[a,\infty). נאמר שהאינטגרל הלא אמיתי ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx מתכנס בהחלט אם ∫a∞∣f(x)∣ dx<∞\int_a^\infty |f(x)|\,dx < \infty.
תרגיל 1 — התכנסות $\int_1^\infty \frac{x}{\sqrt{x^5+x+1}}\,dx$
קבעו אם ∫1∞xx5+x+1 dx\int_1^\infty \frac{x}{\sqrt{x^5+x+1}}\,dx מתכנס.
הוכחה
ממבחן ההשוואה: לכל x≥1x \ge 1,
∫1∞xx5+x+1 dx≤∫1∞xx5 dx=∫1∞dxx1.5<∞(p=1.5>1).\int_1^\infty \frac{x}{\sqrt{x^5+x+1}}\,dx \le \int_1^\infty \frac{x}{\sqrt{x^5}}\,dx = \int_1^\infty \frac{dx}{x^{1.5}} < \infty \quad (p = 1.5 > 1).

לכן ∫1∞xx5+x+1 dx<∞\int_1^\infty \frac{x}{\sqrt{x^5+x+1}}\,dx < \infty (מתכנס).
תרגיל 2 — התבדרות $\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}$
קבעו אם ∫1∞dxx−12\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}-\frac{1}{2}} מתכנס.
הוכחה
ממבחן ההשוואה: לכל x≥1x \ge 1,
∫1∞dxx−12≥∫1∞dxx=∞(p<1).\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}-\frac{1}{2}} \ge \int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}} = \infty \quad (p < 1).

לכן ∫1∞dxx−12=∞\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}-\frac{1}{2}} = \infty (מתבדר).
תרגיל 3 — התבדרות $\int_1^\infty \frac{dx}{1+3x+\sqrt{x}}$
קבעו אם ∫1∞dx1+3x+x\int_1^\infty \frac{dx}{1+3x+\sqrt{x}} מתכנס.
הוכחה
מאחר ש-1+x≤x+x1+\sqrt{x} \le x + x לכל x≥1x \ge 1, מתקיים 1+3x+x≤5x1+3x+\sqrt{x} \le 5x, ולכן ממבחן ההשוואה
∫1∞dx1+3x+x≥∫1∞dx5x=15∫1∞dxx=∞.\int_1^\infty \frac{dx}{1+3x+\sqrt{x}} \ge \int_1^\infty \frac{dx}{5x} = \frac{1}{5}\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \infty.

לכן האינטגרל מתבדר.
משפט 3 — מבחן ההתכנסות בהחלט
יהי a∈Ra \in \mathbb{R} ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,∞)[a,\infty). אם האינטגרל ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx מתכנס בהחלט (כלומר ∫a∞∣f(x)∣ dx<∞\int_a^\infty |f(x)|\,dx < \infty), אזי ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx מתכנס.
הוכחה
נשים לב שלכל x≥ax \ge a מתקיים
0≤∣f(x)∣−f(x)≤2∣f(x)∣0 \le |f(x)| - f(x) \le 2|f(x)|

(הימני כי −f(x)≤∣f(x)∣-f(x) \le |f(x)|, השמאלי כי f(x)≤∣f(x)∣f(x) \le |f(x)|). לכן ממבחן ההשוואה
∫a∞[∣f(x)∣−f(x)] dx≤∫a∞2∣f(x)∣ dx=2∫a∞∣f(x)∣ dx<∞,\int_a^\infty \big[ |f(x)| - f(x) \big]\,dx \le \int_a^\infty 2|f(x)|\,dx = 2\int_a^\infty |f(x)|\,dx < \infty,

כלומר ∫a∞[∣f(x)∣−f(x)] dx\int_a^\infty [|f(x)| - f(x)]\,dx מתכנס. ולכן
∫a∞f(x) dx=∫a∞[∣f(x)∣−(∣f(x)∣−f(x))] dx=∫a∞∣f(x)∣ dx−∫a∞[∣f(x)∣−f(x)] dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \int_a^\infty \big[ |f(x)| - (|f(x)| - f(x)) \big]\,dx = \int_a^\infty |f(x)|\,dx - \int_a^\infty [|f(x)| - f(x)]\,dx

מתכנס (כהפרש של שני אינטגרלים מתכנסים).
דוגמה — התכנסות $\int_1^\infty \frac{\sin x}{1+x^2}\,dx$
האינטגרל ∫1∞sin⁡x1+x2 dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{1+x^2}\,dx מתכנס בהחלט (ולכן מתכנס):
∫1∞∣sin⁡x∣1+x2 dx≤∫1∞11+x2 dx≤∫1∞dxx2<∞.\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{1+x^2}\,dx \le \int_1^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx \le \int_1^\infty \frac{dx}{x^2} < \infty.
הגדרה — טור ומה זה התכנסות טור
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty סדרה של מספרים ממשיים. נאמר שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס אם הגבול lim⁡N→∞∑n=kNan\lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^N a_n קיים, ובמקרה זה
∑n=k∞an=lim⁡N→∞∑n=kNan.\sum_{n=k}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^N a_n.
דוגמאות — טורים מפורסמים
(1) ∑n=0∞12n=1+12+14+18+⋯=2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 2.
(2) ∑n=1∞1n=1+12+13+14+⋯=∞\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \infty (הטור ההרמוני).
(3) ∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.
(4) ∑n=1∞1n4=π490\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}.
(5) ∑n=1∞1np=ζ(p)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} = \zeta(p) (פונקציית זטא של רימן).
(6) ∑n=1∞(−1)n+1n=1−12+13−⋯=ln⁡2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots = \ln 2.
משפט 4 — הטור ההנדסי
יהי q∈Rq \in \mathbb{R}. אזי
∑n=0∞qn=1+q+q2+⋯={11−q∣q∣<1מתבדר∣q∣≥1\sum_{n=0}^\infty q^n = 1 + q + q^2 + \cdots = \begin{cases} \frac{1}{1-q} & |q| < 1 \\ \text{מתבדר} & |q| \ge 1 \end{cases}
הוכחה
עבור q≠1q \ne 1:
∑n=0∞qn=lim⁡N→∞∑n=0Nqn=lim⁡N→∞1−qN+11−q=1−q∞1−q={11−q∣q∣<1מתבדר∣q∣>1\sum_{n=0}^\infty q^n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N q^n = \lim_{N\to\infty}\frac{1-q^{N+1}}{1-q} = \frac{1-q^\infty}{1-q} = \begin{cases} \frac{1}{1-q} & |q| < 1 \\ \text{מתבדר} & |q| > 1 \end{cases}

עבור q=1q = 1: ∑n=0∞1=lim⁡N→∞∑n=0N1=lim⁡N→∞(N+1)=∞\sum_{n=0}^\infty 1 = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N 1 = \lim_{N\to\infty}(N+1) = \infty.
דוגמה: ∑n=0∞12n=11−12=2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2 (עם q=12q = \frac{1}{2}).

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

ציטוט מקור

הגדרות ומשפטים מהרצאה

טקסט שחולץ בפועל מהקבצים — אם OCR לא קריא, מוצג סיכום מקושר.

1. משפטמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

משפט

מסוימים אינטגרלים חישוב - 1 שאלה

רימן סכום י"ע גבול חישוב - 2 שאלה

(רציפה/אינטגרבילית) הפרכה/הוכחה - 3 שאלה

הביניים ערך ב

2. משפטמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

משפט שימוש - 4 שאלה

זוגיות-ואי זוגיות פונקציות

אמיתיים-לא ואינטגרלים בחלקים אינטגרציה 4 הרצאה

המסוים לאינטגרל בחלקים אינטגרציה .1

(בחלקים אינטגרציה)

3. משפטמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

משפט

אזי . בקטע ברציפות גזירות פונקציות תהיינה

ההוכחה רעיון

נותנים לייבניץ–ניוטון בנוסחת ושימוש על הצדדים משני אינטגרציה . :מכפלה של מהנגזרת

.לייבניץ–ניוטון וב

4. משפטמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

משפט מתקבל מחדש ומסידור

(Improper Integrals) אמיתיים-לא אינטגרלים .2

קטע — 1

5. הגדרהמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

הגדרה

אמיתי-הלא שהאינטגרל אומרים . עבור קטע בכל ואינטגרבילית על מוגדרת ותהי יהי

הגבול אם המורחב במובן מתכנס

מסמנים זה במקרה .המורחב במובן קיים

קטע — 2

6. הגדרהמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

הגדרה

אמיתי-הלא שהאינטגרל אומרים . בכל ואינטגרבילית על מוגדרת ותהי יהי

אם המורחב במובן מתכנס

.ערכו זהו ואז ,קיים

כולו הקטע — 3

7. הגדרהמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

הגדרה

האינטגרל . תהי

האינטגרלים שני אם המורחב במובן מתכנס

זה במקרה . שווים ששניהם או , שווים ששניהם או ,שניהם מתכנסים

השמאלי בקצה סינגולריות — 4

8. הגדרהמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

הגדרה

אומרים . עבור בכל אינטגרבילית ש־ כך על מוגדרת ותהי עם יהיו

אמיתי-הלא שהאינטגרל

הגבול אם המורחב במובן מתכנס

. הימני בקצה הסינגולריות כאשר דומה

9. הגדרהמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

הגדרה .ערכו זהו ואז ,המורחב במובן קיים

(Comparison Test — ההשוואה מבחן)

10. משפטמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

משפט

:המקיימות על המוגדרות פונקציות ויהיו יהי

. : לכל .1

. לכל על אינטגרביליות .2

.מתכנס .3

ובנוסף ,מתכנס אזי

ההוכחה סקיצת

:אפשרויות שתי יש .( כי) עולה הפונקציה

. בנוסף .מתכנס והאינטגרל ,סופי גבול קיים אז — מלמעלה חסומה

.מתכנס ש־ לכך סתירה , נובע ש־ כיוון אך . כאשר אז — מלמעלה חסומה אינה

.קורה לא זה מקרה לכן

הערה

מבחן בהוכחת המרכזי המנוף היא זו תכונה — עולה פונקציה אז שאם הקודמת בהרצאה ראינו

.ההשוואה

תרגילים — המסוים האינטגרל 4 תרגול

יסוד תזכורות

המסוים האינטגרל של בסיסיות תכונות

:אז . ב־ אינטגרבילית ו־ יהיו

. .1

. .2

ההדבקה למת

:(קיימים שהאינטגרלים בהנחה) לכל

לייבניץ–ניוטון ונוסחת א"החדו של היסודי ה

11. משפטמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

משפט

נגדיר . ב־ אינטגרבילית ו־ יהיו

ומתקיים ב־ גזירה אז , בנקודה רציפה אם

לייבניץ–ניוטון נוסחת

אזי .( כלומר) ב־ של קדומה פונקציה תהי . ב־ רציפה ו־ יהיו

מסוימים אינטגרלים חישוב — 1 שאלה

(א)1

. את חשבו

:(ישיר חישוב) פתרון

. , :חדשים גבולות . אזי , נציב :(הצבה) נוספת דרך

חשוב

נמנעים כך) החדש המשתנה לפי האינטגרציה גבולות את לעדכן יש תמיד — מסוים באינטגרל ההצבה בשיטת

.( ל־ מהחזרה

(ב)1

. את חשבו

אז . נסמן :(בחלקים אינטגרציה) פתרון

תובנה

.זאת מאשש הישיר החישוב גם אך — הוא סימטרי קטע על שלה האינטגרל לכן ,זוגית-אי

(ג)1

. עבור כאשר את חשבו

לכן . מתקיים ולכל , מתקיים שלכל לב נשים :פתרון

:ההדבקה למת בעזרת

רימן סכום באמצעות גבול חישוב — 2 שאלה

2 תרגיל

. את חשבו

נכתוב :פתרון

היא החלוקה עוצמת , , עם אחידה חלוקה עבור . על נגדיר

:עליון דארבו סכום . לכן ,עולה הפונקציה ב־

שיעור פ"ע לכן . :(חסומה נגזרת או 'לגרנז

12. משפטמקור: שבוע 4 | אינפי 2.pdf

משפט) קבוע עם על ליפשיציצית ,בנוסף

:נסיק .לאינטגרל מתכנסת דארבו/רימן סכומי סדרת — הבית

הפרכה/הוכחה — 3 שאלה

(א)3

? לכל ש־ כך אינטגרבילית קיימת

: נציב .שקיימת בשלילה נניח .נכונה לא ה

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

Week 5

שבוע 5

אינטגרלים לא אמיתיים

תרגול 5

תובנות שבועיות

5
שבוע 5תרגול 5 · אינטגרלים לא אמיתיים
פתח

  • תמיד לפתוח לפי ההגדרה עם גבול — ∫a∞f=lim⁡R→∞∫aRf\int_a^{\infty} f = \lim_{R\to\infty} \int_a^R f.

  • ∫−∞∞f=∫−∞0f+∫0∞f\int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{0} f + \int_0^{\infty} f — שני גבולות נפרדים!

  • אם אחד מהם מתבדר — כל הביטוי מתבדר.

  • אסור להשתמש בניוטון-לייבניץ כשיש נקודת אי-רציפות בקטע.

  • כלל הזוגיות/אי-זוגיות חל על אינטגרל מסוים בלבד, לא אוטומטית על אינטגרל לא-אמיתי.

טעות נפוצה

∫−111x dx≠0\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,dx \neq 0 — הטעות שמקס ראה כמעט בכל מבחן!

קריטי למבחן

!

אסור להשתמש בניוטון-לייבניץ כשהפונקציה לא רציפה בקטע — טעות קלאסית שיוצאת כמעט בכל מבחן.

תרגול 5

ניוטון-לייבניץ דורש שהפונקציה תהיה רציפה בקטע. ∫−111x dx≠0\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,dx \neq 0.

דוגמאות נגדיות

∫−∞∞f≠lim⁡R→∞∫−RRf\int_{-\infty}^{\infty} f \neq \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f (הערך הראשי של קושי)

תרגול 5 · שבוע 5 · אינטגרלים לא אמיתיים

שגוי — האינטגרל מתבדר!

הטענה

∫−∞∞x dx=0\int_{-\infty}^{\infty} x\,dx = 0 כי הפונקציה אי-זוגית

דוגמה נגדית

∫−∞∞x dx=∫−∞0x dx+∫0∞x dx\int_{-\infty}^{\infty} x\,dx = \int_{-\infty}^{0} x\,dx + \int_0^{\infty} x\,dx, וכל אחד מהם מתבדר. לכן כל הביטוי מתבדר. ה'אפס' שמקבלים הוא הערך הראשי של קושי — לא האינטגרל הלא-אמיתי הרגיל.

אסור לחשב ∫−∞∞f\int_{-\infty}^{\infty} f כגבול יחיד lim⁡R→∞∫−RRf\lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f. חייבים לפצל לשני גבולות נפרדים.

∫−111x dx\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,dx — הטעות הקלאסית

תרגול 5 · שבוע 5 · אינטגרלים לא אמיתיים

שגוי — האינטגרל מתבדר!

הטענה

∫−111x dx=[ln⁡∣x∣]−11=ln⁡1−ln⁡1=0\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,dx = \big[\ln|x|\big]_{-1}^{1} = \ln 1 - \ln 1 = 0

דוגמה נגדית

ניוטון-לייבניץ דורש רציפות בקטע, ו-1x\frac{1}{x} לא רציפה ב-00. גם זוגיות הפונקציה לא עוזרת כאן — כלל הזוגיות חל על אינטגרל מסוים, לא על אינטגרל לא-אמיתי!

כל המשפטים של אינטגרל מסוים לא עוברים אוטומטית לאינטגרלים לא אמיתיים.

טעויות נפוצות

שימוש בניוטון-לייבניץ כשהפונקציה לא רציפה

שבוע 5

זו טעות שיוצאת כמעט בכל מבחן.

שאלות מהתרגול

1
בינוניאינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

תרגול 5 היום: אינטגרל לא אמיתי.

טור גיאומטרי.

תזכורת: יהי f:[a,∞)→Rf : [a, \infty) \to \mathbb{R} ותהי a∈Ra \in \mathbb{R}. נניח ש־ff אינטגרבילית ב־[a,b][a, b] לכל b>ab > a.

נאמר כי האינטגרל הלא אמיתי ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x) \, dx מתכנס, אם קיים הגבול lim⁡b→∞∫abf(x) dx\lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx.

במקרה זה נגדיר:

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx

באופן דומה נגדיר:

∫−∞bf(x) dx=lim⁡a→−∞∫abf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \, dx

תהי f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}. נאמר כי האינטגרל הלא אמיתי ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx מתכנס אם שניהם מתכנסים: $\int_{-

2
בינוניאינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

דוגמאות:

1.קבעו האם האינטגרל הלא אמיתי הבא מתכנס, אם כן ־ חשבו את ערכו
∫2∞1x⋅ln⁡xdx\int_2^\infty \frac{1}{x \cdot \ln x} dx

פתרון:

נעבוד עם ההגדרה

∫2∞1x⋅ln⁡xdx=lim⁡b→∞∫2b1x⋅ln⁡xdx=lim⁡b→∞[ln⁡∣ln⁡x∣]2b\int_2^\infty \frac{1}{x \cdot \ln x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_2^b \frac{1}{x \cdot \ln x} dx = \lim_{b \to \infty} [\ln | \ln x |]_2^b
=lim⁡b→∞(ln⁡∣ln⁡b∣−ln⁡∣ln⁡2∣)=∞= \lim_{b \to \infty} (\ln | \ln b | - \ln | \ln 2 |) = \infty

לכן האינטגרל מתבדר (לא מתכנס).

2.קבעו עבור אילו ערכי p∈Rp \in \mathbb{R} האינטגרל הלא אמיתי ∫0∞epxdx\int_0^\infty e^{px} dx מתכנס.

פתרון:

נפריד למקרים: p<0p < 0, p=0p = 0, p>0p > 0.

עבור p=0p = 0:

$$\int_0^\infty e^{0 \cdot x} dx = \lim_{b \to \i

3
בינוניאינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים
3.קבעו האם האינטגרל הלא אמיתי הבא מתכנס, אם כן — חשבו את ערכו
∫−∞∞1ex+e−xdx\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx

פתרון:

נעבוד עם ההגדרה

∫−∞∞1ex+e−xdx=∫−∞01ex+e−xdx+∫0∞1ex+e−xdx\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx

נחשב את כל אחד מהאינטגרלים בנפרד

∫−∞01ex+e−xdx=lim⁡a→−∞∫a01ex+e−xdx\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx
=lim⁡a→−∞∫a0exe2x+1dx= \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx
=lim⁡a→−∞[arctan⁡(ex)]a0= \lim_{a \to -\infty} [\arctan(e^x)]_{a}^{0}

$$= \lim_{a \to -\infty} (\arctan(1)−arctan(1) - \arct

4
בינוניאינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים
4.קבעו האם האינטגרל הלא אמיתי הבא מתכנס, אם כן — חשבו את ערכו:
∫−111x dx\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \, dx

פתרון:

נעבוד עם ההגדרה:

∫−111x dx=∫−101x dx+∫011x dx\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \, dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx

נחשב את האינטגרל השמאלי:

∫−101x dx=lim⁡δ→0+∫−1−δ1x dx=lim⁡δ→0+[ln⁡∣x∣]−1−δ\int_{-1}^{0} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{\delta \to 0^+} \int_{-1}^{-\delta} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{\delta \to 0^+} [\ln |x|]_{-1}^{-\delta}
=lim⁡δ→0+(ln⁡∣−δ∣−ln⁡∣−1∣)=lim⁡δ→0+ln⁡δ=−∞= \lim_{\delta \to 0^+} (\ln |-\delta| - \ln |-1|) = \lim_{\delta \to 0^+} \ln \delta = -\infty

האינטגרל מתבדר.

קיבלנו שהאינטגרל מתבדר באחד מהתחומים, ולכן האינטגרל כולו מתבדר.

5
בינוניאינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

תזכורת (מבחן ההשוואה):

יהי a∈Ra \in \mathbb{R} ותהיינה f,gf, g שתי פונקציות המוגדרות ב-[a,∞)[a, \infty).

נניח כי:

1.0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) לכל x≥ax \geq a.
2.f,gf, g אינטגרביליות ב-[a,b][a, b] לכל b>ab > a.
3.∫a∞g(x) dx\int_a^{\infty} g(x) \, dx מתכנס.

אזי ∫a∞f(x) dx\int_a^{\infty} f(x) \, dx מתכנס ובנוסף, מתקיים ∫a∞f(x) dx≤∫a∞g(x) dx\int_a^{\infty} f(x) \, dx \leq \int_a^{\infty} g(x) \, dx.

∫1∞dxxp={1p−1p>1∞p≤1\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{1}{p-1} & p > 1 \\ \infty & p \leq 1 \end{cases}
∫01dxxp={11−pp<1∞p≥1\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{1}{1-p} & p < 1 \\ \infty & p \geq 1 \end{cases}

דוגמאות:

קבעו האם האינטגרלים הל

6
בינוניאינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

# שאלה 3

∫01xsin⁡x dx\int_0^1 x \sin x \, dx

פתרון:

הפונקציה f(x)={xsin⁡xx≠01x=0f(x) = \begin{cases} x \sin x & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases} רציפה בקטע [0,1][0, 1] ולכן אינטגרבילית.

הפונקציה נתונה בשאלה נבדלת בנקודה אחת מ־∫01xsin⁡x dx\int_0^1 x \sin x \, dx ולכן האינטגרל ∫011sin⁡x dx\int_0^1 \frac{1}{\sin x} \, dx מתכנס.

# שאלה 4

∫011sin⁡x dx\int_0^1 \frac{1}{\sin x} \, dx

פתרון:

נשים לב כי לכל 0<x≤10 < x \leq 1 מתקיים

0<sin⁡x≤x⇒0<1x≤1sin⁡x0 < \sin x \leq x \Rightarrow 0 < \frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sin x}

ולכן

∫011sin⁡x dx≥∫011x dx=p=1→∞\int_0^1 \frac{1}{\sin x} \, dx \geq \int_0^1 \frac{1}{x} \, dx = p=1 \to \infty
∫011sin⁡x dx=∞\int_0^1 \frac{1}{\sin x} \, dx = \infty

# תזכורת

י

7
בינוניאינטגרלים-לא-אמיתייםגבולותטורים

דוגמה: קבעו האם הטור הבא מתכנס, אם כן מצאו את ערכו:

∑n=1∞(−2)3n−2⋅5−2n−5\sum_{n=1}^{\infty} (-2)^{3n-2} \cdot 5^{-2n-5}

פתרון:

נחשב:

∑n=1∞(−2)3n−2⋅5−2n−5=∑n=1∞(−2)3n4⋅152n⋅55=14⋅55∑n=1∞(−8)n⋅(125)n\sum_{n=1}^{\infty} (-2)^{3n-2} \cdot 5^{-2n-5} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{3n}}{4} \cdot \frac{1}{5^{2n} \cdot 5^5} = \frac{1}{4 \cdot 5^5} \sum_{n=1}^{\infty} (-8)^n \cdot \left(\frac{1}{25}\right)^n
=14⋅55∑n=1∞(−825)n= \frac{1}{4 \cdot 5^5} \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{8}{25}\right)^n

עם התחלופה k=n−1k = n-1, n=k+1n = k+1:

$$= \frac{1}{4 \cdot 5^5} \cdot \left(−left(-\frac{8}{25}\right) \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \left(−left(-\frac{8}{25}\right)k=right)^k = \frac{1}{4 \cdot 5^5} \cdot \left(−left(-\fr

שבוע 4שבוע 6