Mentora
0
13
שבועותשבוע 2
סיכום שבוע

שבוע 2

גבולות — כלל לופיטל ומשפט דרבו

כלל לופיטלמשפט דרבוגבולות חד-צדדיים
פתחי סיכום שבוע 2
📖

הרצאה 1

חומר חדש

→
✏️

תרגול 2

מתרגל הרצאה 1

→
📋

מטלה 2

תרגול 2 + הרצאה 1

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

סיכום שבוע 2

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • לסדרה רקורסיבית: קודם מוכיחים מונוטוניות וחסימות, אחר כך מחשבים גבול

  • אם ידוע ש−lima-lim aₙ =L,= L, אז גם limalim aₙ₊₁ =L= L — כלי מרכזי

טעויות נפוצות

  • הנחה שגבול קיים לפני שמוכיחים את קיומו

  • חישוב גבול כאשר הסדרה לא חסומה

  • שכחה לבדוק מונוטוניות

כלים מרכזיים

  • ניתוח סדרה רקורסיבית

  • הוכחת מונוטוניות (אינדוקציה)

  • הוכחת חסימות

  • שאלות הוכיחו/הפריכו

  • ניתוח סדרה רקורסיבית — מציאת גבול וקיומו

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 2

בסדרה רקורסיבית — תמיד הוכיחי מונוטוניות וחסימות לפני שמחשבים את הגבול.

מה לחזור קודם

  • מה זו סדרה

  • גבול סדרה (אינטואיטיבית ופורמלית)

  • ההבדל בין סדרה לפונקציה

חובה לשנן

  • הגדרת גבול: lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L (פורמלית ε\varepsilon-NN)

  • משפט מונוטונית-חסומה: עולה+חסומה מלעיל ⇐ מתכנסת (לגבול sup⁡\sup); יורדת+חסומה מלרע ⇐ מתכנסת (לגבול inf⁡\inf)

  • הזזה לא משנה גבול: lim⁡an+k=lim⁡an\lim a_{n+k} = \lim a_n

  • כל תת-סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לאותו גבול

  • אם הזוגית והאי-זוגית שואפות לאותו LL — כל הסדרה שואפת ל-LL

כלים מרכזיים

  • משפט מונוטונית-חסומה

  • כלל הסנדוויץ'

  • תת-סדרות (כולל זוגי/אי-זוגי)

טעויות נפוצות

  • להניח שהגבול קיים ולחשב אותו לפני הוכחת התכנסות (בסדרה רקורסיבית — קודם מונוטוניות+חסימות)

  • להסיק התכנסות של הסדרה מתת-סדרה אחת מתכנסת

  • לבלבל בין סדרה חסומה לסדרה מתכנסת

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    הגדרות: גבול סדרה, סדרה חסומה, גבול אינסופי, התבדרות

  2. 2

    מונוטוניות + משפט מונוטונית-חסומה (גבול = sup⁡\sup/inf⁡\inf)

  3. 3

    הזזת סדרה — הגבול נשמר

  4. 4

    תת-סדרות: ירושת הגבול; קריטריון זוגי/אי-זוגי

  5. 5

    סדרות רקורסיביות: קודם מונוטוניות וחסימות, ורק אז גבול

סיכום שבוע 2

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

להבין את הקשר בין גבולות של פונקציות לגבולות של סדרות, ולדעת לטפל בסדרות רקורסיביות.

העיקרון המוביל

סדרה היא מקרה פרטי של פונקציה — אבל יש הבדלים. עבור סדרות רקורסיביות: קודם מוכיחים מונוטוניות וחסימות, ורק אז מחשבים גבול. אסור להניח גבול קיים ולמצוא אותו לפני ההוכחה.

בנוי על: גבולות פונקציות, כלל לופיטל (שבוע 1)

כל סדרה מונוטונית (עולה או יורדת) וחסומה (מלמעלה ומלמטה) מתכנסת.

  • עולה וחסומה מלמעלה: lim⁡an=sup⁡{an}\lim a_n = \sup\{a_n\}.

  • יורדת וחסומה מלמטה: lim⁡an=inf⁡{an}\lim a_n = \inf\{a_n\}.

למה זה נוסף?

זהו הכלי הבסיסי להוכחת קיום גבול לסדרות רקורסיביות — מבלי לחשב את הגבול בפועל.

אינטואיציה

סדרה שעולה ולא 'בורחת' לאינסוף חייבת להתכנס. היא כמו טיפוס הר שמגיע בסוף לצמרת.

מתי להשתמש?

סדרות רקורסיביות: תמיד הוכח מונוטוניות + חסימה לפני שמחשבים גבול.

הערות חשובות

  • חסימה וחסימה מלמעלה/מלמטה: צריך את שניהם (חסומה = חסומה מלמעלה ומלמטה).

  • זה אקסיומת שלמות הממשיים — לא ניתן להוכיח, רק להניח.

lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L אם ורק אם לכל סדרה xn→x0x_n \to x_0 (עם xn≠x0x_n \ne x_0):

lim⁡n→∞f(xn)=L\lim_{n\to\infty} f(x_n) = L

למה זה נוסף?

מאפשרת לחשב גבולות של פונקציות בעזרת גבולות של סדרות, ולהפך. בפרט שימושית לחישוב lim⁡nn\lim \sqrt[n]{n} ו-lim⁡an\lim \sqrt[n]{a}.

אינטואיציה

גבול של פונקציה ב-x0x_0 הוא אותו דבר כמו גבול על כל סדרה המתכנסת ל-x0x_0. ניתן לנצל זאת בכיוון הנוח.

מתי להשתמש?

לחישוב lim⁡n→∞n1/n\lim_{n\to\infty} n^{1/n} ו-lim⁡n→∞a1/n\lim_{n\to\infty} a^{1/n}: בוחרים f(x)=x1/xf(x) = x^{1/x} ומחשבים lim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty} f(x) בעזרת לופיטל.

הערות חשובות

  • גם: lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0} f(x) לא קיים   ⟺  \iff קיימת סדרה xn→x0x_n \to x_0 עם f(xn)f(x_n) לא מתכנסת.

  • שימושי להוכחת אי-קיום גבולות.

דוגמה

lim⁡n→∞nn\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}: נגדיר f(x)=x1/x=eln⁡x/xf(x) = x^{1/x} = e^{\ln x / x}. lim⁡x→∞ln⁡xx=L′Hlim⁡1/x1=0\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} \overset{L'H}{=} \lim \frac{1/x}{1} = 0. לכן lim⁡f(x)=e0=1\lim f(x) = e^0 = 1. לפי היינה: nn→1\sqrt[n]{n} \to 1.

lim⁡n→∞nn=1lim⁡n→∞an=1  (a>0)\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1 \qquad \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1 \; (a>0)
lim⁡n→∞(1+1n)n=elim⁡n→∞nkan=0  (a>1)\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \qquad \lim_{n\to\infty} \frac{n^k}{a^n} = 0 \; (a>1)
lim⁡n→∞ann!=0lim⁡n→∞ln⁡nn=0\lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!} = 0 \qquad \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0

אינטואיציה

סדר גדילה: ln⁡n≪nk≪an≪n!≪nn\ln n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n. העצרת גדולה מכל חזקה, וחזקה גדולה מכל פולינום.

מתי להשתמש?

שנני אותם — הם מופיעים בכמעט כל שאלת סדרות ובמבחני התכנסות לטורים.

נתונה an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n). השלבים:

  1. חסימה: הוכח ש-an∈[m,M]a_n \in [m, M] לכל nn (בדרך כלל באינדוקציה).

  2. מונוטוניות: הוכח ש-an+1−an≥0a_{n+1} - a_n \ge 0 (עולה) או ≤0\le 0 (יורדת).

  3. ממשפט: הגבול L=lim⁡anL = \lim a_n קיים.

  4. **חישוב LL**: עבור גבול בשני צדדי an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n) לקבל L=f(L)L = f(L). פתרי.

אינטואיציה

הסדרה 'שואפת' לנקודת שבת (fixed point) של ff — נקודה שבה f(L)=Lf(L) = L.

מתי להשתמש?

כל סדרה מהצורה an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n). חשוב: השלבים 1−21-2 לפני 3−4!3-4!

טעות נפוצה

אסור לכתוב 'נניח lim⁡an=L\lim a_n = L' לפני שהוכחת שהגבול קיים! ראשית — מונוטוניות וחסימה. ואז — הנחת הגבול ופתרון L=f(L)L = f(L).

דוגמה

a1=1/4a_1 = 1/4, an+1=an2+1/4a_{n+1} = a_n^2 + 1/4. (1) נוכיח 0<an<1/20 < a_n < 1/2: בבסיס a1=1/4∈(0,1/2)a_1 = 1/4 \in (0,1/2). בצעד: an+1=an2+1/4<(1/2)2+1/4=1/2a_{n+1} = a_n^2 + 1/4 < (1/2)^2 + 1/4 = 1/2. (2) מונוטוניות: an+1−an=an2−an+1/4=(an−1/2)2≥0a_{n+1} - a_n = a_n^2 - a_n + 1/4 = (a_n - 1/2)^2 \ge 0 — עולה. (3) גבול קיים. (4) L=L2+1/4⇒L=1/2L = L^2 + 1/4 \Rightarrow L = 1/2.

סדרה {an}\{a_n\} היא פונקציה מ-N\mathbb{N} ל-R\mathbb{R}. ניתן להרחיב לפונקציה f:[1,∞)→Rf: [1,\infty) \to \mathbb{R} ולהשתמש בלופיטל — אבל זה דורש שהפונקציה תהיה גזירה.

אינטואיציה

כשכותבים lim⁡n→∞f(n)\lim_{n\to\infty} f(n) ועוברים ל-lim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty} f(x) — זו שימוש בהיינה. מותר כשהפונקציה ff מוגדרת ורציפה לכל x≥1x \ge 1.

הערות חשובות

  • בלי לדעת שהגבול של f(x)f(x) קיים לא ניתן להסיק על f(n)f(n) בכיוון ההפוך.

  • אם lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x\to\infty} f(x) = L קיים — אז גם lim⁡f(n)=L\lim f(n) = L.

תרשים שבוע 2

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

גבול חד-צדדי

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

כלל לופיטל

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

limf/g=limf′/g′(lim f/g = lim f'/g' (בתנאים)

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

לסדרה רקורסיבית: קודם מוכיחים מונוטוניות וחסימות, אחר כך מחשבים גבול

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 1 — חומר חדש

הגדרות

  • גבול חד-צדדי

  • גזירות בנקודה

משפטים

  • כלל לופיטל

  • משפט דרבו

  • משפט דרבו המורחב

נוסחאות מפתח

limf/g=limf′/g′(lim f/g = lim f'/g' (בתנאים)

חשוב למבחן

לופיטל מופיע בכמעט כל בחינה — שנני תנאים

חשוב למבחן

דרבו — שאלת הוכחה קלאסית

מקור: הרצאות 1+2.pdf

✏️ תרגול

תרגול 2 · מתרגל הרצאה 1

ניתוח סדרות המוגדרות רקורסיבית: מציאת גבול, הוכחת מונוטוניות וחסינות, ושימוש בלופיטל לחישוב גבולות.

טכניקות

  • ניתוח סדרה רקורסיבית

  • הוכחת מונוטוניות (אינדוקציה)

  • הוכחת חסימות

  • שאלות הוכיחו/הפריכו

חובה לתרגל

  • ניתוח סדרה רקורסיבית — מציאת גבול וקיומו

  • הוכחת מונוטוניות עם אינדוקציה

  • שאלות הוכיחו/הפריכו על סדרות

טעויות נפוצות

  • הנחה שגבול קיים לפני שמוכיחים את קיומו

  • חישוב גבול כאשר הסדרה לא חסומה

  • שכחה לבדוק מונוטוניות

מסקנות

לסדרה רקורסיבית: קודם מוכיחים מונוטוניות וחסימות, אחר כך מחשבים גבול

אם ידוע ש−lima-lim aₙ =L,= L, אז גם limalim aₙ₊₁ =L= L — כלי מרכזי

📋 מטלה

מטלה 2 · מבוסס תרגול 2 + הרצאה 1

טבלת מטלה

מטלה 2 — שאלות לתרגול ומעקב

6 שאלות4 בעדיפות גבוהה
ש׳ 1
ש׳ 2
ש׳ 3
ש׳ 4
ש׳ 5
ש׳ 6

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הרצאה 1 · 19.3.26 — סדרות, גבול סדרה, סדרות חסומות
הגדרה — סדרה
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z}. סדרה של מספרים ממשיים, המסומנת ב-(an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty}, מוגדרת כפונקציה
a:{n∈Z:n≥k}⟶R,a : \{n \in \mathbb{Z} : n \ge k\} \longrightarrow \mathbb{R},

כאשר לכל n≥kn \ge k, ana_n הוא ערך הפונקציה ב-nn, ופורמלית an=a(n)a_n = a(n), ונקרא האיבר ה-nn-י בסדרה.
דוגמה 1 — הסדרה $(-1)^n$
נביט בסדרה (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^{\infty} המוגדרת ע"י an=(−1)na_n = (-1)^n לכל n≥0n \ge 0. למשל a0=(−1)0=1a_0 = (-1)^0 = 1, והסדרה היא
an:1,  −1,  1,  −1,  1,  −1,  …a_n:\quad 1,\; -1,\; 1,\; -1,\; 1,\; -1,\; \ldots
דוגמה 2 — סדרת פיבונאצ'י
נביט בסדרה (Fn)n=0∞(F_n)_{n=0}^{\infty} המוגדרת ע"י הרקורסיה
{Fn=Fn−1+Fn−2∀n≥2F0=0,  F1=1\begin{cases} F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & \forall n \ge 2 \\ F_0 = 0,\; F_1 = 1 \end{cases}

והסדרה היא Fn:  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …F_n:\; 0,\,1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,\ldots
הגדרה — שוויון סדרות
יהיו 0≤k1,k2∈Z0 \le k_1, k_2 \in \mathbb{Z} ותהיינה (an)n=k1∞(a_n)_{n=k_1}^{\infty} ו-(bn)n=k2∞(b_n)_{n=k_2}^{\infty} שתי סדרות של מספרים ממשיים. נאמר כי הן שוות ונסמן (an)n=k1∞=(bn)n=k2∞(a_n)_{n=k_1}^{\infty} = (b_n)_{n=k_2}^{\infty} אם:
(i) k1=k2k_1 = k_2;
(ii) לכל n≥k1n \ge k_1 מתקיים an=bna_n = b_n.
הגדרה — גבול סדרה
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. יהי L∈RL \in \mathbb{R}. נאמר כי LL הוא הגבול של הסדרה (או שהסדרה מתכנסת ל-LL), ונסמן lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L, אם לכל ε>0\varepsilon > 0 קיים N∈NN \in \mathbb{N} כך שלכל n≥Nn \ge N מתקיים
∣an−L∣<ε.|a_n - L| < \varepsilon.
הערה 1 — השוואה לגבול פונקציה באינסוף
ההגדרה דומה מאוד בצורתה להגדרת הגבול של פונקציה באינסוף: lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L אם לכל ε>0\varepsilon > 0 קיים M>0M > 0 כך שלכל x>Mx > M מתקיים ∣f(x)−L∣<ε|f(x) - L| < \varepsilon.
הערה — תכונות הגבול עוברות לסדרות
כל המשפטים על גבולות של פונקציות באינסוף נשארים נכונים עבור סדרות, ובפרט:
(i) יחידות הגבול;
(ii) אריתמטיקה של גבולות — ±\pm, ⋅\cdot, ÷\div,   \sqrt{\;}, ∣⋅∣|\cdot| — כאשר הם מוגדרים;
(iii) מונוטוניות הגבול;
(iv) כלל הסנדוויץ';
(v) משפט היינה.
הגדרה — סדרה חסומה
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. נאמר כי:
(i) הסדרה חסומה מלעיל אם קיים M∈RM \in \mathbb{R} כך שלכל n≥kn \ge k מתקיים an≤Ma_n \le M (MM נקרא חסם מלעיל של הסדרה);
(ii) הסדרה חסומה מלרע אם קיים m∈Rm \in \mathbb{R} כך שלכל n≥kn \ge k מתקיים an≥ma_n \ge m (mm נקרא חסם מלרע של הסדרה);
(iii) הסדרה חסומה אם קיים M>0M > 0 כך שלכל n≥kn \ge k מתקיים ∣an∣≤M|a_n| \le M.
הערה 2 — חסומה אם"ם חסומה מלעיל ומלרע
הסדרה (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} חסומה אם ורק אם היא חסומה מלעיל וגם חסומה מלרע.
תרגיל 1 — $\lim 1/n = 0$
הוכיחו באמצעות הגדרת הגבול של סדרה כי lim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.
הוכחה
יהי ε>0\varepsilon > 0. מהארכימדיות, קיים N∈NN \in \mathbb{N} כך ש-N>1εN > \frac{1}{\varepsilon}. אזי לכל n≥Nn \ge N:
∣1n−0∣=1n  ≤n≥N  1N<ε.\left| \frac{1}{n} - 0 \right| = \frac{1}{n} \;\underset{n \ge N}{\le}\; \frac{1}{N} < \varepsilon.
תרגיל 2 — $\lim \lfloor \alpha n \rfloor / n = \alpha$
יהי α>0\alpha > 0. חשבו את הגבול lim⁡n→∞⌊αn⌋n\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\lfloor \alpha n \rfloor}{n}.
הוכחה
נשים לב כי לכל n∈Nn \in \mathbb{N} מתקיים
α−1n=αn−1n  <x−1<⌊x⌋  ⌊αn⌋n  ≤⌊x⌋≤x  αnn=α.\alpha - \frac{1}{n} = \frac{\alpha n - 1}{n} \;\underset{x-1 < \lfloor x \rfloor}{<}\; \frac{\lfloor \alpha n \rfloor}{n} \;\underset{\lfloor x \rfloor \le x}{\le}\; \frac{\alpha n}{n} = \alpha.

כאשר n→∞n \to \infty האגף השמאלי α−1n\alpha - \frac{1}{n} שואף ל-α\alpha והאגף הימני קבוע α\alpha, ולכן מכלל הסנדוויץ' הגבול הוא α\alpha.
תרגיל 3 — $\lim \sin n / n = 0$
חשבו את הגבול lim⁡n→∞sin⁡nn\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}.
הוכחה
מאחר ש-∣sin⁡n∣≤1|\sin n| \le 1 לכל nn, מכלל הסנדוויץ' מתקיים lim⁡n→∞sin⁡nn=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0.
הגדרה — התבדרות ל-$\pm\infty$ והתכנסות
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. נאמר כי:
(i) lim⁡n→∞an=∞\lim_{n \to \infty} a_n = \infty אם לכל M>0M > 0 קיים N∈NN \in \mathbb{N} כך שלכל n≥Nn \ge N מתקיים an>Ma_n > M;
(ii) lim⁡n→∞an=−∞\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty אם לכל M<0M < 0 קיים N∈NN \in \mathbb{N} כך שלכל n≥Nn \ge N מתקיים an<Ma_n < M;
(iii) הסדרה מתכנסת אם קיים L∈RL \in \mathbb{R} כך ש-lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L; אם אינה מתכנסת היא מתבדרת (divergent);
(iv) הסדרה מתכנסת במובן הרחב אם הגבול קיים במובן הרחב, כלומר מתקיים אחד מהבאים: (א) הסדרה מתכנסת, (ב) lim⁡n→∞an=∞\lim_{n\to\infty} a_n = \infty, (ג) lim⁡n→∞an=−∞\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty.
הגדרה — מונוטוניות
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. נאמר כי:
(i) הסדרה עולה אם לכל nn מתקיים an+1≥ana_{n+1} \ge a_n;
(ii) הסדרה יורדת אם לכל nn מתקיים an+1≤ana_{n+1} \le a_n;
(iii) הסדרה עולה ממש אם לכל nn מתקיים an+1>ana_{n+1} > a_n;
(iv) הסדרה יורדת ממש אם לכל nn מתקיים an+1<ana_{n+1} < a_n;
(v) הסדרה מונוטונית אם מתקיים (i) או (ii);
(vi) הסדרה מונוטונית ממש אם מתקיים (iii) או (iv).
משפט 1 — סדרה עולה וחסומה מלעיל מתכנסת ל-sup
תהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. נניח כי (an)(a_n) עולה וחסומה מלעיל. אזי (an)(a_n) מתכנסת ומתקיים
lim⁡n→∞an=sup⁡{an:n≥k}.\lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n : n \ge k\}.
הוכחה
ההוכחה ניתנה בתרגול 2, שאלה 2ב.
משפט 2 — סדרה יורדת וחסומה מלרע מתכנסת ל-inf
תהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. נניח כי (an)(a_n) יורדת וחסומה מלרע. אזי (an)(a_n) מתכנסת ומתקיים
lim⁡n→∞an=inf⁡{an:n≥k}.\lim_{n \to \infty} a_n = \inf\{a_n : n \ge k\}.
הוכחה
ההוכחה דומה להוכחת משפט 1.
משפט 3 — התכנסות הזנב — הזזת אינדקס
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. אם (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב, אזי (an+k)n=1∞(a_{n+k})_{n=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב ובנוסף
lim⁡n→∞an+k=lim⁡n→∞an.\lim_{n \to \infty} a_{n+k} = \lim_{n \to \infty} a_n.
הוכחה
(an+k)n=1∞(a_{n+k})_{n=1}^{\infty} היא תת-סדרה של (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty}, ולכן מהירושה (משפט 4) lim⁡n→∞an+k=lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_{n+k} = \lim_{n \to \infty} a_n. (ההוכחה הופיעה גם בתרגול 2, שאלה 2א.)
תרגיל 4 — סדרה רקורסיבית $a_{n+2}=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}$
נביט בסדרה (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} המוגדרת ברקורסיה
{an+2=an+an+1∀n∈Na1=9,  a2=6\begin{cases} a_{n+2} = \sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}} & \forall n \in \mathbb{N} \\ a_1 = 9,\; a_2 = 6 \end{cases}

הוכיחו ש-(an)(a_n) מתכנסת וחשבו את גבולה.
הוכחה
נוכיח תחילה כי an≥4a_n \ge 4 לכל nn, ושהסדרה יורדת, ומכך נסיק התכנסות.

**טענת עזר א (an≥4a_n \ge 4) — באינדוקציה על nn.**
בסיס (n=1,2n=1,2): a1=9≥4a_1 = 9 \ge 4 וכן a2=6≥4a_2 = 6 \ge 4.
צעד (n,n+1⇒n+2n, n+1 \Rightarrow n+2): נניח an≥4a_n \ge 4 ו-an+1≥4a_{n+1} \ge 4. אזי
an+2=an+an+1  ≥הנחת האינדוקציה  4+4=4.a_{n+2} = \sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}} \;\underset{\text{הנחת האינדוקציה}}{\ge}\; \sqrt{4} + \sqrt{4} = 4.


**טענת עזר ב (הסדרה יורדת, an+1≤ana_{n+1} \le a_n) — באינדוקציה על nn.**
בסיס: a2=6≤9=a1a_2 = 6 \le 9 = a_1; וכן a3=a1+a2=9+6=3+6≤6=a2a_3 = \sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} = \sqrt{9} + \sqrt{6} = 3 + \sqrt{6} \le 6 = a_2 (כי 6≤3\sqrt{6} \le 3 שכן 6≤96 \le 9).
צעד (n−1,n⇒n+1n-1, n \Rightarrow n+1): נניח an+1≤ana_{n+1} \le a_n וכן an≤an−1a_n \le a_{n-1}. אזי
an+2=an+an+1  ≤הנחת האינדוקציה  an+1+an=an+1.a_{n+2} = \sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}} \;\underset{\text{הנחת האינדוקציה}}{\le}\; \sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n} = a_{n+1}.


**התכנסות וחישוב הגבול.** מאחר שהסדרה יורדת וחסומה מלרע (ע"י 44), היא מתכנסת ממשפט 2, כלומר קיים L∈RL \in \mathbb{R} עם lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L. נחשב:
L=lim⁡n→∞an  =משפט 3  lim⁡n→∞an+2  =הרקורסיה  lim⁡n→∞ ⁣(an+an+1)  =אריתמטיקה ומשפט 3  L+L=2L.L = \lim_{n \to \infty} a_n \;\underset{\text{משפט 3}}{=}\; \lim_{n \to \infty} a_{n+2} \;\underset{\text{הרקורסיה}}{=}\; \lim_{n \to \infty}\!\left( \sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}} \right) \;\underset{\text{אריתמטיקה ומשפט 3}}{=}\; \sqrt{L} + \sqrt{L} = 2\sqrt{L}.

מהמשוואה L=2LL = 2\sqrt{L} נקבל L=0L = 0 או L=4L = 4. אך
L=inf⁡{an:n∈N}  ≥טענת עזר א  4,L = \inf\{a_n : n \in \mathbb{N}\} \;\underset{\text{טענת עזר א}}{\ge}\; 4,

ולכן L=4L = 4.
הגדרה — תת-סדרה
תהיינה (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} ו-(bk)k=1∞(b_k)_{k=1}^{\infty} שתי סדרות של מספרים ממשיים. נאמר כי (bk)k=1∞(b_k)_{k=1}^{\infty} היא תת-סדרה של (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} אם קיימת סדרה (nk)k=1∞(n_k)_{k=1}^{\infty} של מספרים טבעיים עולה ממש כך שלכל k∈Nk \in \mathbb{N} מתקיים
bk=ank.b_k = a_{n_k}.
דוגמה — תתי-הסדרות הזוגית והאי-זוגית
ניקח nk=2kn_k = 2k לכל k∈Nk \in \mathbb{N} (סדרת המספרים הטבעיים הזוגיים 2,4,6,8,…2,4,6,8,\ldots). אזי bk=ank=a2kb_k = a_{n_k} = a_{2k}, ו-(a2k)k=1∞(a_{2k})_{k=1}^{\infty} היא תת-הסדרה של האיברים הזוגיים. באופן דומה (a2k−1)k=1∞(a_{2k-1})_{k=1}^{\infty} היא תת-הסדרה של האיברים האי-זוגיים.
משפט 4 — משפט הירושה — תת-סדרה של סדרה מתכנסת
(ירושה) תהי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים ותהי (nk)k=1∞(n_k)_{k=1}^{\infty} סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. נניח כי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב. אזי תת-הסדרה (ank)k=1∞(a_{n_k})_{k=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב ובנוסף
lim⁡k→∞ank=lim⁡n→∞an.\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = \lim_{n \to \infty} a_n.
הוכחה
**מקרה א (lim⁡an=L∈R\lim a_n = L \in \mathbb{R}).** יהי ε>0\varepsilon > 0. קיים N1∈NN_1 \in \mathbb{N} כך שלכל n≥N1n \ge N_1 מתקיים ∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon (∗)(*). נבחר K=N1K = N_1 ויהי k≥Kk \ge K. אזי nk≥k≥K=N1n_k \ge k \ge K = N_1 (כי (nk)(n_k) עולה ממש, ומכאן nk≥kn_k \ge k), ולכן (∗)(*) חל על nkn_k ומתקיים ∣ank−L∣<ε|a_{n_k} - L| < \varepsilon.

**מקרה ב (lim⁡an=∞\lim a_n = \infty).** יהי M>0M > 0. קיים N1N_1 כך שלכל n≥N1n \ge N_1 מתקיים an>Ma_n > M (∗∗)(**). נבחר K=N1K = N_1 ויהי k≥Kk \ge K. אזי nk≥k≥N1n_k \ge k \ge N_1 ולכן ank>Ma_{n_k} > M.

**מקרה ג (lim⁡an=−∞\lim a_n = -\infty).** יהי M<0M < 0. קיים N1N_1 כך שלכל n≥N1n \ge N_1 מתקיים an<Ma_n < M. נבחר K=N1K = N_1 ויהי k≥Kk \ge K. אזי nk≥N1n_k \ge N_1 ולכן ank<Ma_{n_k} < M.
טענת עזר 1 — $n_k \ge k$ לסדרת אינדקסים עולה ממש
תהי (nk)k=1∞(n_k)_{k=1}^{\infty} סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אזי לכל k∈Nk \in \mathbb{N} מתקיים nk≥kn_k \ge k.
הוכחה
באינדוקציה על kk. בסיס (k=1k=1): n1≥1n_1 \ge 1 שכן n1∈Nn_1 \in \mathbb{N}. צעד (k⇒k+1k \Rightarrow k+1): נניח nk≥kn_k \ge k. מאחר ש-(nk)(n_k) עולה ממש מתקיים nk+1>nkn_{k+1} > n_k, ומאחר ש-nk,nk+1n_k, n_{k+1} טבעיים נובע nk+1≥nk+1n_{k+1} \ge n_k + 1, ולכן
nk+1≥nk+1  ≥הנחת האינדוקציה  k+1.n_{k+1} \ge n_k + 1 \;\underset{\text{הנחת האינדוקציה}}{\ge}\; k + 1.
דוגמה 1 — תת-סדרת המספרים הראשוניים
תהי (pk)k=1∞(p_k)_{k=1}^{\infty} סדרת המספרים הראשוניים 2,3,5,7,11,…2,3,5,7,11,\ldots. מהירושה,
lim⁡k→∞pk=lim⁡n→∞n=∞,lim⁡k→∞1pk=lim⁡n→∞1n=0.\lim_{k \to \infty} p_k = \lim_{n \to \infty} n = \infty, \qquad \lim_{k \to \infty} \frac{1}{p_k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.
דוגמה 2 — התבדרות $(-1)^n$ דרך תת-סדרות
נביט ב-an=(−1)na_n = (-1)^n. מתקיים
lim⁡k→∞a2k=lim⁡k→∞(−1)2k=1,lim⁡k→∞a2k−1=lim⁡k→∞(−1)2k−1=−1.\lim_{k \to \infty} a_{2k} = \lim_{k \to \infty} (-1)^{2k} = 1, \qquad \lim_{k \to \infty} a_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} (-1)^{2k-1} = -1.

מאחר שגבולות שתי תת-הסדרות שונים, lim⁡n→∞(−1)n\lim_{n \to \infty} (-1)^n אינו קיים (גם לא במובן הרחב).
מסקנה 1 — התכנסות הזנב כמסקנה מהירושה
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים. אם (an)(a_n) מתכנסת במובן הרחב, אזי (an+k)n=1∞(a_{n+k})_{n=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב ו-
lim⁡n→∞an+k=lim⁡n→∞an.\lim_{n \to \infty} a_{n+k} = \lim_{n \to \infty} a_n.
הוכחה
(an+k)n=1∞(a_{n+k})_{n=1}^{\infty} היא תת-סדרה של (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty}, ולכן מהירושה lim⁡n→∞an+k=lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_{n+k} = \lim_{n \to \infty} a_n.
משפט 5 — התכנסות דרך תת-הסדרות הזוגית והאי-זוגית
תהי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים ויהי L∈RL \in \mathbb{R}. נניח כי
lim⁡k→∞a2k=lim⁡k→∞a2k−1=L.\lim_{k \to \infty} a_{2k} = \lim_{k \to \infty} a_{2k-1} = L.

אזי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} מתכנסת ומתקיים lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L.
הוכחה
יהי ε>0\varepsilon > 0. קיים K1K_1 כך שלכל k≥K1k \ge K_1 מתקיים ∣a2k−L∣<ε|a_{2k} - L| < \varepsilon (∗)(*), וקיים K2K_2 כך שלכל k≥K2k \ge K_2 מתקיים ∣a2k−1−L∣<ε|a_{2k-1} - L| < \varepsilon (∗∗)(**). נבחר N=max⁡{2K1, 2K2−1}N = \max\{2K_1,\, 2K_2 - 1\} ויהי n≥Nn \ge N.
אם nn זוגי, n=2kn = 2k, אזי 2k=n≥N≥2K12k = n \ge N \ge 2K_1 כך ש-k≥K1k \ge K_1, ולכן ∣an−L∣=∣a2k−L∣<(∗)ε|a_n - L| = |a_{2k} - L| \underset{(*)}{<} \varepsilon.
אם nn אי-זוגי, n=2k−1n = 2k-1, אזי 2k−1=n≥N≥2K2−12k - 1 = n \ge N \ge 2K_2 - 1 כך ש-k≥K2k \ge K_2, ולכן ∣an−L∣=∣a2k−1−L∣<(∗∗)ε|a_n - L| = |a_{2k-1} - L| \underset{(**)}{<} \varepsilon.

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

Week 2

שבוע 2

סדרות רקורסיביות + כלל היינה

תרגול 2

תובנות שבועיות

2
שבוע 2תרגול 2 · סדרות רקורסיביות + כלל היינה
פתח

  • אף פעם אל תניחי שגבול קיים לפני שהוכחת — זו טעות קלאסית!

  • סדר נכון: (1) מונוטוניות, (2) חסימות, (3) הסקת גבול, (4) חישוב.

  • בסדרה אסור לעשות לופיטל ישירות — יש להשתמש בכלל היינה.

  • לסדרה רקורסיבית an+1=f(an)a_{n+1}=f(a_n): אם ff רציפה, הגבול LL מקיים L=f(L)L=f(L).

  • עבור f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x: מתקיים 0<arctan⁡x<x0 < \arctan x < x עבור x>0x>0, ולכן הסדרה יורדת ומתכנסת.

טיפ

בסדרה רקורסיבית — קודם כל להציב כמה איברים ולנחש מה קורה, ואז להוכיח מונוטוניות עם אינדוקציה.

דוגמאות נגדיות

טעות נפוצה: הנחת קיום גבול בסדרה רקורסיבית מתבדרת

תרגול 2 · שבוע 2 · סדרות רקורסיביות

שגוי — אין גבול!

הטענה

לסדרה a1=3, an+1=1+2ana_1=3,\ a_{n+1}=1+2a_n יש גבול LL, ואז L=1+2LL=1+2L, כלומר L=−1L=-1

דוגמה נגדית

הסדרה היא 3,7,15,31,…3, 7, 15, 31, \dots — עולה ללא חסם. הנחת הגבול הכניסה ערך לא מוגדר לחישוב. קיבלנו L=−1L=-1 שזו סתירה (הסדרה חיובית וגדלה).

הסדר הנכון: (1) הוכח מונוטוניות, (2) הוכח חסימות, (3) הסק קיום גבול, (4) מצא את הגבול.

אסור להניח שיש גבול ואז למצוא אותו. אפשר להשתמש בחישוב כזה רק כטיוטה.

טעויות נפוצות

הנחת קיום גבול בסדרה רקורסיבית לפני שהוכחנו

שבוע 2

אסור! ניתן להשתמש בחישוב רק כטיוטה.

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תרגול 2 היום: סדרות.

תזכורת:

יהי k∈Zk \in \mathbb{Z}, 0≤k0 \leq k ויהי L∈RL \in \mathbb{R}. סדרה של מספרים ממשיים (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty}.

נאמר כי LL הוא גבול של (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} אם לכל ε>0\varepsilon > 0 קיים N∈NN \in \mathbb{N} כך שלכל n≥Nn \geq N מתקיים ∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon ונאמר שהסדרה מתכנסת.

במקרה זה נסמן:

lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L

משפט (הלמה של היינה):

תהי ff פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של x0x_0. יהי x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} ויהי L∈RL \in \mathbb{R}.

אם lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L, אזי לכל סדרה (xn)n=1∞(x_n)_{n=1}^{\infty} של מספרים ממשיים הנמצאת בסביבה המנוקבת, ושעב

2
בינוניגבולותסדרותפונקציות

דוגמאות:

דוגמה 1. יהי a∈Ra \in \mathbb{R}, 0<a0 < a. חשבו את הגבול הבא, או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב:

lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}

פתרון:

נגדיר f(x)=axf(x) = a^x לכל xx בסביבה המנוקבת של 00.

נגדיר xn=1nx_n = \frac{1}{n} לכל n≥1n \geq 1 טבעי.

נשים לב ש:

lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

ראינו באינפי 1 כי:

lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0ax=1\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} a^x = 1

ולכן מהלמה של היינה מתקיים:

1=lim⁡n→∞f(xn)=lim⁡n→∞f(1n)=lim⁡n→∞a1n=lim⁡n→∞an1 = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} a^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}
3
בינוניגבולותסדרותפונקציות
2.חשבו את הגבול הבא, או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב lim⁡n→∞nn\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}

פתרון:

נגדיר f(x)=x1xf(x) = x^{\frac{1}{x}} לכל x≥1x \geq 1 טבעי.

נגדיר xn=nx_n = n לכל n≥1n \geq 1.

נשים לב ש lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞n=∞\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} n = \infty.

נחשב את הגבול:

lim⁡x→∞x1x=lim⁡x→∞eln⁡(x1x)=lim⁡x→∞eln⁡xx=(∗) e0=1\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} e^{\ln(x^{\frac{1}{x}})} = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{\ln x}{x}} = (*)\ e^0 = 1

נחשב את הגבול במעריך (∗)(*):

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac1x=frac{1}{x} =

4
בינוניגבולותסדרותפונקציות
3.חשבו את הגבול הבא, או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב:
lim⁡n→∞[n0.6(n2+1)0.7−n2]\lim_{n \to \infty} \left[ n^{0.6} (n^2 + 1)^{0.7} - n^2 \right]

רמז: היעזרו בפונקציה f(x)=x0.7f(x) = x^{0.7} לכל x>0x > 0.

פתרון:

נגדיר f(x)=x0.7f(x) = x^{0.7} לכל x>0x > 0.

נשים לב ש־ff גזירה מאשג"ז ומתקיים f′(x)=0.7x−0.3f'(x) = 0.7x^{-0.3} לכל x>0x > 0.

כעת נחשב את הגבול:

lim⁡n→∞[n0.6(n2+1)0.7−n2]=lim⁡n→∞n2[(n2+1)0.7n1.4−1]\lim_{n \to \infty} \left[ n^{0.6} (n^2 + 1)^{0.7} - n^2 \right] = \lim_{n \to \infty} n^2 \left[ \frac{(n^2 + 1)^{0.7}}{n^{1.4}} - 1 \right]
=lim⁡n→∞n2[(n2+1n2)0.7−1]= \lim_{n \to \infty} n^2 \left[ \left( \frac{n^2 + 1}{n^2} \right)^{0.7} - 1 \right]

$$= \lim_{n \to \infty} n^2 \left[ \left

5
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תרגיל: נביט בסדרה (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} המוגדרת באופן רקורסיבי על ידי

$$\begin{cases}

a1=a_1 = \frac{1}{4} \\

an+1=an2+a_{n+1} = a_n^2 + \frac{1}{4} & \forall n \in \mathbb{N}

\end{cases}$$

הוכיחו כי קיים הגבול lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n ומצאו את ערכו.

פתרון:

ראשית נוכיח באינדוקציה ש-0≤an<120 \leq a_n < \frac{1}{2} לכל n∈Nn \in \mathbb{N}.

בסיס האינדוקציה: 0≤a1=14<120 \leq a_1 = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}.

צעד האינדוקציה: יהי n∈Nn \in \mathbb{N} ונניח שהטענה מתקיימת עבור nn (כלומר 0≤an<120 \leq a_n < \frac{1}{2}).

לכן

an+1=an2+14<14+14=12a_{n+1} = a_n^2 + \frac{1}{4} < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

ולכן הסדרה $(a_n)_{n=1}^{

6
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תרגיל:

נביט בסדרה (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} המוגדרת באופן רקורסיבי על ידי

$$\begin{cases}

a1=ca_1 = c \\

an+1=a_{n+1} = \arctan(an)arctan(a_n) & \forall n \in \mathbb{N}

\end{cases}$$

כאשר c>0c > 0.

הוכיחו כי קיים הגבול lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n ומצאו את ערכו.

רמז: arctan⁡x<x\arctan x < x לכל x>0x > 0.

פתרון:

ראשית נוכיח באינדוקציה ש־an>0a_n > 0 לכל n∈Nn \in \mathbb{N}.

בסיס האינדוקציה: a1=c>0a_1 = c > 0.

צעד האינדוקציה: יהי n∈Nn \in \mathbb{N} ונניח שהטענה מתקיימת עבור nn (כלומר an>0a_n > 0). לכן

an+1=arctan⁡(an)>0a_{n+1} = \arctan(a_n) > 0

(נזכור ש־arctan⁡x>0\arctan x > 0 לכל x>0x > 0).

הוכחנו כי הסדרה חסומה מלרע על יד

7
בינוניגבולותסדרותפונקציות

ולכן נקבל כי L=arctan⁡(L)L = \arctan(L).

L=inf⁡{an:n∈N}≥0L = \inf \{a_n : n \in \mathbb{N}\} \geq 0, אזי 00 היות שהסדרה חסומה מלרע על ידי שעבורו יש שוויון, L>0L > 0 הוא פתרון של המשוואה ומהרמז לא יכול להיות L=0L = 0.

L=0L = 0 ולכן בהכרח L>arctan⁡(L)L > \arctan(L) כי בהכרח מתקיים lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0 כלומר קיבלנו כי 8

שבוע 1שבוע 3