סדרות — הגדרה, גבולות, מונוטוניות

תרגול 2 היום: סדרות. • תזכורת: .L ∈ R סדרה של מספרים ממשיים. יהי (an)∞ n=k ותהי 0 ≤ k ∈ Z יהי n ≥ N כך שלכל N ∈ N קיים > 0 אם לכל (an)∞ n=k הוא גבול של L נאמר כי מתקיים | an − L |< ונאמר שהסדרה מתכנסת. lim n→∞an = L במקרה זה נסמן משפט )הלמה של היינה(: .x0 פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של f . תהיL ∈ R ויהי x0 ∈ R תהי של מספרים ממשיים הנמצאת (xn)∞ n=1 , אזי לכל סדרה lim x→x0 f (x) = L אם . lim n→∞f (xn) = L מתקיים lim n→∞xn = x0 בסביבה המנוקבת, ושעבורה הערה: , אולם יש לעדכן את ההוכחהL = ±∞ ו x0 = ±∞ הלמה של היינה נכונה גם כאשר בהתאם. 1

דוגמאות: . חשבו את הגבול הבא, או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב0 < a ∈ R 1. יהי lim n→∞ n √a :פתרון .0 בסביבה המנוקבת של x לכל f (x) = ax נגדיר טבעי. n ≥ 1 לכל xn = 1 n נגדיר נשים לב ש lim n→∞xn = lim n→∞ 1 n = 0 ראינו באינפי 1 כי lim x→0f (x) = lim x→0ax = 1 ולכן מהלמה של היינה מתקיים 1 = lim n→∞f (xn) = lim n→∞f ( 1 n ) = lim n→∞a 1 n = lim n→∞ n √a 2

2. חשבו את הגבול הבא, או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב lim n→∞ n √n :פתרון .x ≥ 1 לכל f (x) = x 1 x נגדיר טבעי. n ≥ 1 לכל xn = n נגדיר נשים לב ש lim n→∞xn = lim n→∞n = ∞ נחשב את הגבול lim x→∞x 1 x = lim x→∞eln ( x 1 x ) = lim x→∞e ln x x = (∗) e0 = 1 נחשב את הגבול במעריך (∗) lim x→∞ ln x x ? ∞ = L lim x→∞ 1 x 1 = lim x→∞ 1 x = 0 ולכן מהלמה של היינה מתקיים 1 = lim n→∞f (xn) = lim n→∞f (n) = lim n→∞n 1 n 3

3. חשבו את הגבול הבא, או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב lim n→∞ [ n0.6 (n2 + 1)0.7 − n2] .x > 0 לכל f (x) = x0.7 רמז: היעזרו בפונקציה :פתרון .x > 0 לכל f (x) = x0.7 נגדיר .x > 0 לכל f ′ (x) = 0.7x−0.3 גזירה מאשג"ז ומתקיים f נשים לב ש כעת נחשב את הגבול lim n→∞ [ n0.6 (n2 + 1)0.7 − n2] = lim n→∞ n2 [ (n2 + 1)0.7 n1.4 − 1 ] = lim n→∞ n2 [( n2 + 1 n2 )0.7 − 1 ] = lim n→∞ n2 [( 1 + 1 n2 )0.7 − 1 ] = lim n→∞ (1 + 1 n2 )0.7 − 1 1 n2 = Heine xn= 1 n2 lim h→0 (1 + h)0.7 − 1 h = f ′ (1) = 0.7 הוכחה ללמה של היינה: סדרה של מספרים ממשיים הנמצאת בסביבה המנוקבת כך ש (xn)∞ n=1 תהי . > 0 ויהי lim n→∞xn = x0 0 <

תרגיל: המוגדרת באופן רקורסיבי על ידי (an)∞ n=1 נביט בסדרה { a1 = 1 4 an+1 = a2 n + 1 4 ∀n ∈ N ומצאו את ערכו. lim n→∞an הוכיחו כי קיים הגבול פתרון: .n ∈ N לכל 0 ≤ an < 1 2 ראשית נוכיח באינדוקציה ש .0 ≤ a1 = 1 4 < 1 2 בסיס האינדוקציה: .(0 ≤ an < 1 2 )כלומר n ונניח שהטענה מתקיימת עבור n ∈ N צעד האינדוקציה: יהי לכן an+1 = a2 n + 1 4 < 1 4 + 1 4 = 1 2 . 1 2 חסומה מלעיל על ידי (an)∞ n=1 ולכן הסדרה עולה. (an)∞ n=1 שנית נוכיח באינדוקציה ש .a2 = ( 1 4 )2 + 1 4 = 5 16 > 1 4 = a1 בסיס האינדוקציה: .(an+1 ≥ an )כלומר n ונניח שהטענה מתקיימת עבור n ∈ N צעד האינדוקציה: יהי ולכן n ∈ N לכל an ≥ 0 הוכחנו כי an+2

תרגיל: המוגדרת באופן רקורסיבי על ידי (an)∞ n=1 נביט בסדרה c > 0 יהי { a1 = c an+1 = arctan (an) ∀n ∈ N ומצאו את ערכו. lim n→∞an הוכיחו כי קיים הגבול .x > 0 לכל arctan x < x רמז: פתרון: .n ∈ N לכל an > 0 ראשית נוכיח באינדוקציה ש .a1 = c > 0 בסיס האינדוקציה: .(an > 0 )כלומר n ונניח שהטענה מתקיימת עבור n ∈ N צעד האינדוקציה: יהי לכן an+1 = arctan (an) > 0 .(x > 0 לכל arctan x > 0 )נזכור ש .0 הוכחנו כי הסדרה חסומה מלרע על ידי .an+1 ≤ an מתקיים n ∈ N יורדת. נראה כי לכל (an)∞ n=1 שנית נוכיח ש .n ∈ N יהי an+1 = arctan (an) < an ולכן ניתן להשתמש ברמז. n ∈ N לכל an > 0 הוכחנו ש הוכחנו כי הסדרה יורדת. כך

ולכן נקבל כי L = arctan (L) .L = inf {an : n ∈ N} ≥ 0 , אזי0 היות שהסדרה חסומה מלרע על ידי שעבורו יש שוויון, L > 0 הוא פתרון של המשוואה ומהרמז לא יכול להיות L = 0 .L = 0 ולכן בהכרח L > arctan (L) כי בהכרח מתקיים . lim n→∞an = 0 כלומר קיבלנו כי 8