Mentora
0
35
שבועותשבוע 4
סיכום שבוע

שבוע 4

נגזרות — מסדר גבוה, MVT, ופיתוח טיילור

נגזרת מסדר nמשפט הערך הממוצעמשפט רולפיתוח טיילור
פתחי סיכום שבוע 4
📖

הרצאה 3

חומר חדש

→
✏️

תרגול 4

מתרגל הרצאה 3

→
📋

מטלה 4

תרגול 4 + הרצאה 3

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

סיכום שבוע 4

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • IBP: בחרי u=u = הפונקציה שנגזרתה פשוטה יותר, dv=dv = מה שנוח לאינטגרציה

  • פירוק לשברים חלקיים: שם ά/מכנה — פירוק המכנה לגורמים ראשוניים

טעויות נפוצות

  • בחירה לא טובה של u ב-IBP

  • שכחת קבוע האינטגרציה +C

  • טעויות בגבולות בהחלפת משתנה

כלים מרכזיים

  • החלפת משתנה

  • אינטגרציה בחלקים

  • פירוק לשברים חלקיים

  • אינטגרלים בסיסיים

  • אינטגרציה בחלקים: ∫udv∫u dv

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 4

ניוטון-לייבניץ עובד רק לפונקציה רציפה: מצאי קדומה והציבי עליון פחות תחתון.

מה לחזור קודם

  • אינטגרל לא מסוים ופונקציה קדומה

  • סכומי רימן ואינטגרביליות

חובה לשנן

  • לינאריות ומונוטוניות של האינטגרל המסוים

  • אי-שוויון הערך המוחלט: ∣∫abf∣≤∫ab∣f∣\left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b |f|

  • משפט הערך הממוצע: קיים cc עם f(c)=1b−a∫abff(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f

  • המשפט היסודי: F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt קדומה של ff הרציפה, F′=fF'=f

  • ניוטון-לייבניץ: ∫abf=G(b)−G(a)\int_a^b f = G(b) - G(a)

כלים מרכזיים

  • המשפט היסודי של החדו"א

  • נוסחת ניוטון-לייבניץ

  • משפט הערך הממוצע האינטגרלי

טעויות נפוצות

  • להשתמש בניוטון-לייבניץ בלי לוודא רציפות

  • לבלבל בין פונקציית הצבירה ∫axf\int_a^x f (פונקציה) לבין ∫abf\int_a^b f (מספר)

  • טעות בסימן בהיפוך גבולות: ∫baf=−∫abf\int_b^a f = -\int_a^b f

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    תכונות: לינאריות, מונוטוניות, פיצול קטעים, היפוך גבולות

  2. 2

    אי-שוויון הערך המוחלט

  3. 3

    משפט הערך הממוצע האינטגרלי

  4. 4

    רציפות פונקציית הצבירה

  5. 5

    המשפט היסודי ← נוסחת ניוטון-לייבניץ

סיכום שבוע 4

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

לחשב אינטגרלים מסוימים בעזרת ניוטון-לייבניץ, לבצע החלפת משתנה נכונה (עם שינוי גבולות), ולהסיק גבולות מסדרות בעזרת סכומי רימן.

העיקרון המוביל

בהחלפת משתנה באינטגרל מסוים — חובה לשנות את גבולות האינטגרציה. ובסכומי רימן — לא ניתן להשתמש באלגברת גבולות כשמספר האיברים תלוי ב-nn.

בנוי על: אינטגרלים לא-מסוימים (שבוע 3), המשפט היסודי של החשבון

אם ff רציפה על [a,b][a,b] ו-F′=fF' = f, אז:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

וכן: ddx∫axf(t) dt=f(x)\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).

למה זה נוסף?

מחבר בין שני מושגים שונים לכאורה: אינטגרל (שטח) ונגזרת. הוכחה שהם הפוכים זה לזה.

אינטואיציה

הגרסה השנייה אומרת: נגזרת של 'שטח מצטבר' היא הפונקציה עצמה. כל כמה שמוסיפים שטח ב-xx, הקצב הוא f(x)f(x).

הערות חשובות

  • לגרסה השנייה: כשהגבול העליון הוא g(x)g(x) במקום xx, הנגזרת היא f(g(x))⋅g′(x)f(g(x)) \cdot g'(x) (כלל השרשרת).

  • לא להשתמש בניוטון-לייבניץ עם אינטגרלים לא תקינים בלי לבדוק תחילה!

דוגמה

ddx∫0x2et2 dt=e(x2)2⋅2x=2xex4\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} e^{t^2}\,dt = e^{(x^2)^2} \cdot 2x = 2x e^{x^4}.

כשמניחים t=g(x)t = g(x), גבולות האינטגרציה משתנים:

∫abf(g(x))g′(x) dx=∫g(a)g(b)f(t) dt\int_a^b f(g(x)) g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt

אינטואיציה

הגבולות חייבים לתאר אותה תנועה — מ-g(a)g(a) עד g(b)g(b) במשתנה tt.

מתי להשתמש?

בכל החלפת משתנה באינטגרל מסוים. אפשר גם לא לשנות גבולות, אבל אז צריך לחזור ל-xx בסוף.

טעות נפוצה

הטעות הנפוצה ביותר: לשכוח לשנות את גבולות האינטגרציה! אם t=g(x)t = g(x): גבול תחתון הוא g(a)g(a), גבול עליון הוא g(b)g(b).

דוגמה

∫01xex2 dx\int_0^1 x e^{x^2}\,dx: t=x2t = x^2, dt=2x dxdt = 2x\,dx. גבולות: x=0→t=0x=0 \to t=0, x=1→t=1x=1 \to t=1. =12∫01et dt=12[et]01=e−12= \frac{1}{2}\int_0^1 e^t\,dt = \frac{1}{2}[e^t]_0^1 = \frac{e-1}{2}.

∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du

חשוב: [uv]ab=u(b)v(b)−u(a)v(a)[uv]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a) — מציבים את הגבולות **ב-uvuv מיד**.

הערות חשובות

  • הגבולות מוצבים ב-uvuv בסוף (לא ב-∫v du\int v\,du).

  • בפועל: נוח לחשב ∫v du\int v\,du ללא גבולות, ואז להציב את שניהם.

דוגמה

∫01xex dx\int_0^1 x e^x\,dx: u=xu=x, dv=exdxdv=e^x dx. [xex]01−∫01ex dx=e−[ex]01=e−(e−1)=1[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e-1) = 1.

lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx

באופן כללי: b−an∑k=0n−1f ⁣(a+k⋅b−an)→∫abf(x) dx\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\cdot\frac{b-a}{n}\right) \to \int_a^b f(x)\,dx.

למה זה נוסף?

מאפשרת לחשב גבולות של סכומים שמספר האיברים גדל — הם הם סכומי רימן של אינטגרל מסוים.

אינטואיציה

1n\frac{1}{n} הוא רוחב כל מלבן, f(k/n)f(k/n) הוא הגובה. הסכום הוא שטח מקורב — ובגבול הוא מדויק.

מתי להשתמש?

כשמזהים 1n∑f(k/n)\frac{1}{n}\sum f(k/n) — זהו ∫01f\int_0^1 f. כשמזהים b−an∑f(a+k(b−a)/n)\frac{b-a}{n}\sum f(a + k(b-a)/n) — זהו ∫abf\int_a^b f.

טעות נפוצה

לא ניתן לפצל lim⁡\lim שבתוכו מספר אינסופי של איברים תלויי nn (אסור: lim⁡1n2+12+lim⁡1n2+22+…\lim \frac{1}{n^2+1^2} + \lim \frac{1}{n^2+2^2} + \ldots). כל הסכום הוא ביחד — זיהוי כאינטגרל.

דוגמה

lim⁡n→∞∑k=1n1n+k=lim⁡1n∑k=1n11+k/n=∫01dx1+x=ln⁡2\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \lim \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+k/n} = \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2.

∫abf+∫bcf=∫acf∫abf=−∫baf\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f \qquad \int_a^b f = -\int_b^a f
∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx
m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)(m≤f≤M)m(b-a) \le \int_a^b f \le M(b-a) \quad (m \le f \le M)

הערות חשובות

  • הלינאריות: ∫(αf+βg)=α∫f+β∫g\int(\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g.

  • אי-שוויון אינטגרל: שימושי להוכחות.

תרשים שבוע 4

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

נגזרת מסדר n

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

MVT

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

Pₙ(x)=(x) = Σ f(k)(xf^(k)(x₀)/k! · (x-x₀)k)^k

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

IBP: בחרי u=u = הפונקציה שנגזרתה פשוטה יותר, dv=dv = מה שנוח לאינטגרציה

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 3 — חומר חדש

הגדרות

  • נגזרת מסדר n

  • פולינום טיילור

  • שארית לגרנז'

משפטים

  • MVT

  • רול

  • פיתוח טיילור עם שארית

נוסחאות מפתח

Pₙ(x)=(x) = Σ f(k)(xf^(k)(x₀)/k! · (x-x₀)k)^k

Rₙ(x)=f(n+1)((x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! · (x-x₀)(n+1))^(n+1)

חשוב למבחן

MVT — כלי הוכחה עיקרי

חשוב למבחן

טיילור — חישוב גבולות ואינטגרלים

מקור: שבוע 3.pdf

✏️ תרגול

תרגול 4 · מתרגל הרצאה 3

חישוב אינטגרלים מסוימים ולא מסוימים, שיטות: החלפת משתנה, אינטגרציה בחלקים, פירוק לשברים חלקיים.

טכניקות

  • החלפת משתנה

  • אינטגרציה בחלקים

  • פירוק לשברים חלקיים

  • אינטגרלים בסיסיים

חובה לתרגל

  • אינטגרציה בחלקים: ∫udv∫u dv

  • החלפת משתנה (sin,cos,exp)(sin, cos, exp)

  • פירוק לשברים חלקיים

  • אינטגרלים לא מסוימים של פונקציות רציונליות

טעויות נפוצות

  • בחירה לא טובה של u ב-IBP

  • שכחת קבוע האינטגרציה +C

  • טעויות בגבולות בהחלפת משתנה

מסקנות

IBP: בחרי u=u = הפונקציה שנגזרתה פשוטה יותר, dv=dv = מה שנוח לאינטגרציה

פירוק לשברים חלקיים: שם ά/מכנה — פירוק המכנה לגורמים ראשוניים

📋 מטלה

מטלה 4 · מבוסס תרגול 4 + הרצאה 3

טבלת מטלה

מטלה 4 — שאלות לתרגול ומעקב

4 שאלות2 בעדיפות גבוהה
ש׳ 1
ש׳ 2
ש׳ 3
ש׳ 4

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הרצאה 3 · 16.4.26 — אינטגרל מסוים, תכונות האינטגרל, אי-שוויון הערך המוחלט
דוגמה — פונקציה לא חסומה אינה אינטגרבילית
הפונקציה המוגדרת ע"י
f(x)={1x0<x≤10x=0f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & 0 < x \le 1 \\ 0 & x = 0 \end{cases}

עבור x∈[0,1]x \in [0,1] היא לא חסומה, ולכן אינה אינטגרבילית ב-[0,1][0,1].
משפט 1 — תכונות האינטגרל המסוים
תהיינה a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהיינה f,gf,g שתי פונקציות המוגדרות ב-[a,b][a,b]. אזי:
(i) **לינאריות:** אם f,gf,g אינטגרביליות ב-[a,b][a,b], אזי לכל α,β∈R\alpha,\beta \in \mathbb{R} הפונקציה αf+βg\alpha f + \beta g אינטגרבילית ב-[a,b][a,b] ובנוסף
∫ab[αf(x)+βg(x)] dx=α∫abf(x) dx+β∫abg(x) dx.\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx.

(ii) **אלגברה:** אם f,gf,g אינטגרביליות ב-[a,b][a,b], אזי g±fg \pm f ו-f⋅gf \cdot g אינטגרביליות ב-[a,b][a,b]; ואם בנוסף fg\frac{f}{g} חסומה ב-[a,b][a,b], אזי גם fg\frac{f}{g} אינטגרבילית ב-[a,b][a,b].
(iii) ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b] אם"ם ff אינטגרבילית בכל תת-קטע סגור של [a,b][a,b].
(iv) אם ff מונוטונית ב-[a,b][a,b] אזי ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b].
(v) **מונוטוניות האינטגרל:** אם f,gf,g אינטגרביליות ב-[a,b][a,b] ולכל x∈[a,b]x \in [a,b] מתקיים f(x)≤g(x)f(x) \le g(x), אזי ∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx.
(vi) **שאת ההגדרה (אדיטיביות):** יהי a<c<ba < c < b. אזי ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b] אם"ם ff אינטגרבילית ב-[a,c][a,c] וגם ב-[c,b][c,b], ובמקרה זה ∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.
(vii) **אי-תלות בנקודה בודדת:** אם ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b] ו-gg שונה מ-ff בנקודה אחת בלבד (כלומר g(x)=f(x)g(x) = f(x) לכל x≠x0x \ne x_0), אזי gg אינטגרבילית ב-[a,b][a,b] ומתקיים ∫abg(x) dx=∫abf(x) dx\int_a^b g(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx.
הוכחה
המשפט לא הוכח בהרצאה.
דוגמאות — בדיקת קיום אינטגרלים
(1) ∫13dxx\int_1^3 \frac{dx}{x} קיים, כי f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} רציפה ולכן אינטגרבילית ב-[1,3][1,3].
(2) ∫13sin⁡xx dx\int_1^3 \frac{\sin x}{x}\,dx קיים, כי f(x)=sin⁡xxf(x) = \frac{\sin x}{x} רציפה ולכן אינטגרבילית ב-[1,3][1,3].
(3) ∫−13sin⁡xx dx\int_{-1}^3 \frac{\sin x}{x}\,dx קיים: הפונקציה f(x)={sin⁡xxx≠01x=0f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases} רציפה ולכן אינטגרבילית ב-[−1,3][-1,3]. מתכונת אי-התלות בנקודה בודדת, הערך f(0)f(0) אינו משנה את ערך האינטגרל, ולכן אין צורך לציינו.
מסקנה 1 — רציפה פרט למספר סופי של נקודות — אינטגרבילית
אם ff חסומה ב-[a,b][a,b] ורציפה ב-[a,b][a,b] פרט למספר סופי של נקודות, אזי ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b].
דוגמה — חישוב $\int_{-2}^3 \operatorname{sign}(x)\,dx$
sign⁡(x)={1x>0−1x<00x=0\operatorname{sign}(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} מונוטונית ולכן אינטגרבילית. מ-שאת ההגדרה:
∫−23sign⁡(x) dx=∫−20(−1) dx+∫031 dx=−1⋅(0+2)+1⋅(3−0)=1.\int_{-2}^3 \operatorname{sign}(x)\,dx = \int_{-2}^0 (-1)\,dx + \int_0^3 1\,dx = -1\cdot(0+2) + 1\cdot(3-0) = 1.
מסקנה — אינטגרל כשטח מסומן
אם f(x)≤0f(x) \le 0 לכל x∈[a,b]x \in [a,b] ו-ff אינטגרבילית, אזי −f(x)≥0-f(x) \ge 0 ומתקיים
∫abf(x) dx=−∫ab[−f(x)] dx=−(השטח שמעל הגרף של f).\int_a^b f(x)\,dx = -\int_a^b [-f(x)]\,dx = -(\text{השטח שמעל הגרף של } f).

באופן כללי, האינטגרל הוא השטח המסומן: אם הגרף חוצה את ציר ה-xx, ∫abf(x) dx=S1−S2+S3\int_a^b f(x)\,dx = S_1 - S_2 + S_3 (שטחים מעל הציר בחיוב ומתחתיו בשלילה).
משפט 2 — אי-שוויון הערך המוחלט לאינטגרל
תהיינה a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a,b]. נניח כי ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b]. אזי
∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx.\left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx.
הוכחה
מאחר ש-ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b], גם ∣f∣|f| אינטגרבילית ב-[a,b][a,b], ולכן ∫ab∣f(x)∣ dx\int_a^b |f(x)|\,dx קיים. נשים לב כי לכל x∈[a,b]x \in [a,b] מתקיים
−∣f(x)∣≤f(x)≤∣f(x)∣.-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|.

לכן ממונוטוניות האינטגרל,
−∫ab∣f(x)∣ dx=∫ab−∣f(x)∣ dx≤∫abf(x) dx≤∫ab∣f(x)∣ dx.-\int_a^b |f(x)|\,dx = \int_a^b -|f(x)|\,dx \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b |f(x)|\,dx.

נסמן r=∫ab∣f(x)∣ dxr = \int_a^b |f(x)|\,dx. אזי −r≤∫abf(x) dx≤r-r \le \int_a^b f(x)\,dx \le r, כלומר ∣∫abf(x) dx∣≤r=∫ab∣f(x)∣ dx\left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \le r = \int_a^b |f(x)|\,dx.
משפט 3 — משפט הערך הממוצע האינטגרלי
תהיינה a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a,b]. נניח כי ff רציפה ב-[a,b][a,b]. אזי קיימת c∈[a,b]c \in [a,b] המקיימת
f(c)=1b−a∫abf(x) dx.f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.
הוכחה
מאחר ש-ff רציפה ב-[a,b][a,b] היא אינטגרבילית, ולכן ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx קיים. נסמן r=1b−a∫abf(x) dxr = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx; נרצה למצוא c∈[a,b]c \in [a,b] כך ש-f(c)=rf(c) = r.
מאחר ש-ff רציפה, ממשפט ויירשטראס קיימות x1,x2∈[a,b]x_1, x_2 \in [a,b] כך שלכל x∈[a,b]x \in [a,b] מתקיים f(x2)≤f(x)≤f(x1)f(x_2) \le f(x) \le f(x_1). נסמן M=f(x1)M = f(x_1) ו-m=f(x2)m = f(x_2), אזי m≤f(x)≤Mm \le f(x) \le M לכל x∈[a,b]x \in [a,b]. ממונוטוניות האינטגרל,
m(b−a)=∫abm dx≤∫abf(x) dx≤∫abM dx=M(b−a).m(b-a) = \int_a^b m\,dx \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b M\,dx = M(b-a).

נחלק ב-b−ab-a ונקבל f(x2)=m≤r≤M=f(x1)f(x_2) = m \le r \le M = f(x_1). אם x1=x2x_1 = x_2 אזי f(x2)=r=f(x1)f(x_2) = r = f(x_1) וניתן לבחור c=x1c = x_1. אחרת, ממשפט ערך הביניים על הקטע שבין x1x_1 ל-x2x_2 קיימת cc ביניהם כך ש-f(c)=rf(c) = r.
הגדרה — אינטגרל על קטע מנוון והיפוך גבולות
תהי ff פונקציה. נגדיר:
(i) ∫aaf(x) dx=0\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0;
(ii) ∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx.
הערה 3 — אדיטיביות לכל סדר של הגבולות
תחת ההגדרה לעיל, נוסחת האדיטיביות נכונה לכל a,b,c∈Ra,b,c \in \mathbb{R} (ללא תנאי סדר ביניהם):
∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.

לדוגמה עבור a<b<ca < b < c: מ-שאת ההגדרה ∫ac=∫ab+∫bc\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c, ולכן ∫ab=∫ac−∫bc=∫ac+∫cb\int_a^b = \int_a^c - \int_b^c = \int_a^c + \int_c^b.
משפט 4 — רציפות פונקציית הצבירה
תהיינה a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a,b]. נניח כי ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b], ונביט בפונקציה FF המוגדרת ע"י
F(x)=∫axf(t) dtלכל a≤x≤b.F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad \text{לכל } a \le x \le b.

אזי FF רציפה ב-[a,b][a,b].
הוכחה
מאחר ש-ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b], היא אינטגרבילית בכל תת-קטע, ולכן FF מוגדרת היטב ב-[a,b][a,b] (ובפרט F(a)=∫aaf(t) dt=0F(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0).
נוכיח כי FF רציפה. יהי x0∈[a,b]x_0 \in [a,b]; צריך להוכיח שלכל ε>0\varepsilon > 0 קיים δ>0\delta > 0 כך שלכל x∈[a,b]x \in [a,b] עם ∣x−x0∣<δ|x-x_0| < \delta מתקיים ∣F(x)−F(x0)∣<ε|F(x)-F(x_0)| < \varepsilon. מאחר ש-ff חסומה ב-[a,b][a,b], קיים K>0K > 0 כך שלכל x∈[a,b]x \in [a,b] מתקיים ∣f(x)∣≤K|f(x)| \le K. נבחר δ=εK\delta = \frac{\varepsilon}{K}. נניח x>x0x > x_0 (המקרה x<x0x < x_0 דומה). אזי
∣F(x)−F(x0)∣=∣∫axf(t) dt−∫ax0f(t) dt∣=∣∫x0xf(t) dt∣≤∫x0x∣f(t)∣ dt≤∫x0xK dt=K(x−x0)=K∣x−x0∣<Kδ=ε.|F(x)-F(x_0)| = \left| \int_a^x f(t)\,dt - \int_a^{x_0} f(t)\,dt \right| = \left| \int_{x_0}^x f(t)\,dt \right| \le \int_{x_0}^x |f(t)|\,dt \le \int_{x_0}^x K\,dt = K(x-x_0) = K|x-x_0| < K\delta = \varepsilon.
דוגמה — פונקציית הצבירה של $\operatorname{sign}(x)$
עבור x∈[−2,3]x \in [-2,3] ו-F(x)=∫−2xsign⁡(x) dxF(x) = \int_{-2}^x \operatorname{sign}(x)\,dx:
ל-−2≤x≤0-2 \le x \le 0: F(x)=∫−2x(−1) dx=−(x+2)=−2−xF(x) = \int_{-2}^x (-1)\,dx = -(x+2) = -2 - x.
ל-0≤x≤30 \le x \le 3: F(x)=∫−20(−1) dx+∫0x1 dx=−2+xF(x) = \int_{-2}^0 (-1)\,dx + \int_0^x 1\,dx = -2 + x.
כלומר F(x)={−2−x−2≤x≤0−2+x0≤x≤3=−2+∣x∣F(x) = \begin{cases} -2 - x & -2 \le x \le 0 \\ -2 + x & 0 \le x \le 3 \end{cases} = -2 + |x|.
משפט 5 — המשפט היסודי של החדו"א (גרסה ראשונה)
תהיינה a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a,b]. נניח כי ff רציפה ב-[a,b][a,b], ונביט בפונקציה F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t)\,dt לכל a≤x≤ba \le x \le b. תהי x0∈[a,b]x_0 \in [a,b]. אזי FF גזירה ב-x0x_0 ובנוסף F′(x0)=f(x0)F'(x_0) = f(x_0).
הוכחה
מאחר ש-ff רציפה היא אינטגרבילית, ולכן FF מוגדרת היטב ב-[a,b][a,b]. יהי ε>0\varepsilon > 0. מהרציפות של ff ב-x0x_0, קיים δ1>0\delta_1 > 0 כך שלכל x∈[a,b]x \in [a,b] עם ∣x−x0∣<δ1|x-x_0| < \delta_1 מתקיים ∣f(x)−f(x0)∣<ε2|f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2} (∗)(*). נבחר δ=δ1\delta = \delta_1 ויהי x∈[a,b]x \in [a,b] עם 0<∣x−x0∣<δ0 < |x-x_0| < \delta (נניח x>x0x > x_0). אזי
∣F(x)−F(x0)x−x0−f(x0)∣=∣1x−x0∫x0xf(t) dt−f(x0)∣=∣1x−x0[∫x0xf(t) dt−(x−x0)f(x0)]∣.\left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x_0) \right| = \left| \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x f(t)\,dt - f(x_0) \right| = \left| \frac{1}{x-x_0}\left[ \int_{x_0}^x f(t)\,dt - (x-x_0)f(x_0) \right] \right|.

מאחר ש-(x−x0)f(x0)=∫x0xf(x0) dt(x-x_0)f(x_0) = \int_{x_0}^x f(x_0)\,dt, נקבל
=∣1x−x0∫x0x[f(t)−f(x0)] dt∣≤1∣x−x0∣∫x0x∣f(t)−f(x0)∣ dt  ≤(∗)  1∣x−x0∣∫x0xε2 dt=1∣x−x0∣⋅ε2⋅(x−x0)=ε2<ε.= \left| \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x [f(t) - f(x_0)]\,dt \right| \le \frac{1}{|x-x_0|}\int_{x_0}^x |f(t) - f(x_0)|\,dt \;\underset{(*)}{\le}\; \frac{1}{|x-x_0|}\int_{x_0}^x \frac{\varepsilon}{2}\,dt = \frac{1}{|x-x_0|}\cdot\frac{\varepsilon}{2}\cdot(x-x_0) = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.

לכן F′(x0)=lim⁡x→x0F(x)−F(x0)x−x0=f(x0)F'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0).
משפט 6 — נוסחת ניוטון-לייבניץ
תהיינה a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba<b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a,b]. נניח כי ff רציפה ב-[a,b][a,b], ותהי GG פונקציה קדומה של ff ב-[a,b][a,b]. אזי
∫abf(x) dx=[G(x)]ab=G(b)−G(a).\int_a^b f(x)\,dx = \big[ G(x) \big]_a^b = G(b) - G(a).
הוכחה
מהמשפט היסודי (גרסה ראשונה), הפונקציה F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t)\,dt היא קדומה של ff ב-[a,b][a,b] (כי F′=fF' = f). מאחר ש-FF ו-GG שתיהן קדומות של ff בקטע, קיים C∈RC \in \mathbb{R} כך ש-F(x)=G(x)+CF(x) = G(x) + C לכל x∈[a,b]x \in [a,b]. לכן
∫abf(x) dx=∫abf(t) dt=F(b)=F(b)−F(a)=(G(b)+C)−(G(a)+C)=G(b)−G(a),\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = F(b) = F(b) - F(a) = (G(b)+C) - (G(a)+C) = G(b) - G(a),

כאשר השתמשנו ב-F(a)=∫aaf(t) dt=0F(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0.
דוגמאות — חישובים בעזרת ניוטון-לייבניץ
∫01x2 dx=[x33]01=13−0=13\int_0^1 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}

∫01x dx=∫01x1/2 dx=[x3/23/2]01=23\int_0^1 \sqrt{x}\,dx = \int_0^1 x^{1/2}\,dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}

∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=−(−1)−(−1)=2\int_0^\pi \sin x\,dx = \big[ -\cos x \big]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2

∫0π/2sin⁡x dx=[−cos⁡x]0π/2=0−(−1)=1\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx = \big[ -\cos x \big]_0^{\pi/2} = 0 - (-1) = 1

∫−111−x2 dx=[12sin⁡(2arcsin⁡x)+12arcsin⁡x]−11=12⋅π2−(−π4)=π2.\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \left[ \tfrac{1}{2}\sin(2\arcsin x) + \tfrac{1}{2}\arcsin x \right]_{-1}^1 = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2} - \left( -\tfrac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2}.

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

Week 4

שבוע 4

המשפט היסודי + FTC2 + ערך ביניים

תרגול 4

תובנות שבועיות

4
שבוע 4תרגול 4 · המשפט היסודי + FTC2 + ערך ביניים
פתח

  • F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt היא תמיד רציפה, ואם ff רציפה — גם גזירה.

  • F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) — ולא F′(x)=f(b)−f(a)F'(x)=f(b)-f(a)! זו טעות קלאסית.

  • שאלה קלאסית: 'הוכח שקיים cc כך ש-F(c)=1F(c)=1' — משפט ערך הביניים על FF.

  • ∫−aaf=0\int_{-a}^{a} f = 0 לפונקציה אי-זוגית — המשפט לאינטגרל מסוים בלבד.

  • ∫−aaf=2∫0af\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f לפונקציה זוגית — המשפט לאינטגרל מסוים בלבד.

  • אסור להשתמש בזה לאינטגרל לא-אמיתי בלי הצדקה.

אינטואיציות שמקס הדגיש

תרגול 4אינטגרלים

F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt היא תמיד רציפה

הפונקציה F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt היא פונקציה רציפה תמיד (אפילו אם ff לא רציפה) — כי השטח מצטבר ברציפות. זה כלי חזק לשאלות ערך ביניים.

ברגע שהמוח מפנים שה-F הגדולה היא פונקציה — והיא פונקציה תמיד רציפה — אתם הולכים לעשות עליה לופיטל, לגרנז', כל מה שרוצים.

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תרגול 4 היום: האינטגרל המסוים.

תזכורת: תהיינה a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba < b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a, b]. נסמן כי ff אינטגרבילית ב-[a,b][a, b].

1.

(א) ∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x) \, dx = 0

(ב) ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx

2. למת ההדבקה: לכל a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} מתקיים

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx

3. (המשפט היסודי של החדו"א) תהיינה a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba < b ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[a,b][a, b]. נניח כי ff אינטגרבילית ב-[a,b][a, b].

נביט בפונקציה המוגדרת על ידי

F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t) \, dt

לכל $a \leq x \le

2
בינוניגבולותסדרותפונקציות

שאלות:

1.(א) חשבו את האינטגרל המסוים ∫0112x+1dx\int_0^1 \frac{1}{2x+1} dx

פתרון:

∫0112x+1dx=[ln⁡∣2x+1∣2]01=ln⁡∣2⋅1+1∣2−ln⁡∣2⋅0+1∣2=ln⁡32−ln⁡12=12ln⁡3=ln⁡(3)\int_0^1 \frac{1}{2x+1} dx = \left[\frac{\ln|2x+1|}{2}\right]_0^1 = \frac{\ln|2 \cdot 1 + 1|}{2} - \frac{\ln|2 \cdot 0 + 1|}{2} = \frac{\ln 3}{2} - \frac{\ln 1}{2} = \frac{1}{2}\ln 3 = \ln(\sqrt{3})

דרך נוספת: נפתור בעזרת הצבה, נשים לב שנצטרך לשנות גם את גבולות האינטגרל.

t=2x+1,dt=2dx,x=1⇒t=3,x=0⇒t=1t = 2x + 1, \quad dt = 2dx, \quad x = 1 \Rightarrow t = 3, \quad x = 0 \Rightarrow t = 1

לכן נקבל:

$$\int01int_0^1 \frac12x+1dx=frac{1}{2x+1} dx = \int13int_1^3 \frac12tdt=frac{1}{2t} dt = \left[\frac{\ln|t|}{2}\right]13=right]_1^3 = \frac{\ln 3}{2} - \frac{\ln 1}{2} = \frac{1}{2

3
בינוניגבולותסדרותפונקציות

(ב) חשבו את האינטגרל המסוים ∫−11arctan⁡(x)dx\int_{-1}^{1} \arctan(x)dx

פתרון:

נסמן u′=1u' = 1, u=xu = x, v=arctan⁡(x)v = \arctan(x), v′=11+x2v' = \frac{1}{1 + x^2}

נקבל:

∫−11arctan⁡(x)dx=[x⋅arctan⁡(x)]−11−∫−11x1+x2dx\int_{-1}^{1} \arctan(x)dx = [x \cdot \arctan(x)]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} \frac{x}{1 + x^2} dx
=1⋅arctan⁡(1)−(−1)⋅arctan⁡(−1)−[ln⁡∣1+x2∣2]−11= 1 \cdot \arctan(1) - (-1) \cdot \arctan(-1) - \left[\frac{\ln|1 + x^2|}{2}\right]_{-1}^{1}
=0−(ln⁡∣2∣2−ln⁡∣2∣2)=0= 0 - \left(\frac{\ln|2|}{2} - \frac{\ln|2|}{2}\right) = 0

(ג) חשבו את האינטגרל המסוים ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx כאשר f(x)=max⁡{x,x2}f(x) = \max\{x, x^2\} לכל x∈[0,2]x \in [0, 2]

פתרון:

ראשית נשים לב שלכל x∈[0,1]x \in [0, 1] מתקיים x2≤xx^2 \leq x ולכל x∈[1,2]x \in [1, 2] מתקיים $x2x^2 \geq

4
בינוניגבולותסדרותפונקציות
1.חשבו את הגבול
lim⁡n→∞15+25+…+n5n6\lim_{n \to \infty} \frac{1^5 + 2^5 + \ldots + n^5}{n^6}

פתרון:

lim⁡n→∞15+25+…+n5n6=lim⁡n→∞1n⋅15+25+…+n5n5=lim⁡n→∞1n⋅∑k=1n(kn)5\lim_{n \to \infty} \frac{1^5 + 2^5 + \ldots + n^5}{n^6} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1^5 + 2^5 + \ldots + n^5}{n^5} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n} \right)^5

נגדיר את הפונקציה f(x)=x5f(x) = x^5 המוגדרת על [0,1][0,1] לכל x∈[0,1]x \in [0,1].

לכל n∈Nn \in \mathbb{N}, נביט בסדרת חלוקות אחידות של [0,1][0,1] בגודל nn:

P_n = (x_0, \ldots, x_n) \quad \text{כאשר} \quad x_k = 0 + k \cdot \frac{1}{n} = \frac{k}{n}, \quad \forall 0 \leq k \leq n

נשים לב כי:

$$

5
בינוניגבולותסדרותפונקציות
3.הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:

(א) קיימת פונקציה f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} אינטגרבילית כך ש-∣x∣=∫−1xf(t) dt|x| = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt לכל x≥−1x \geq -1.

פתרון: הטענה לא נכונה.

נניח בשלילה שקיימת פונקציה כזו, לכן המשוואה נכונה גם עבור x=−1x = -1:

1=∣−1∣=∫−1−1f(t) dt=01 = |-1| = \int_{-1}^{-1} f(t) \, dt = 0

קיבלנו סתירה! לכן לא קיימת פונקציה כזאת.

(ב) קיימים C∈RC \in \mathbb{R} ופונקציה f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} רציפה, כך ש-∣x∣=∫−1xf(t) dt+C|x| = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt + C לכל x≥−1x \geq -1.

פתרון: הטענה לא נכונה.

נניח בשלילה שקיימים C∈RC \in \mathbb{R} ופונקציה רציפה f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} כך שלכל

6
בינוניגבולותסדרותפונקציות

היות שלכל x>0x > 0 מתקיים ∣x∣=x|x| = x

∫−1xf(t) dt+1=∫−10(−1)⋅dt+∫0x1⋅dt+1\int_{-1}^{x} f(t) \, dt + 1 = \int_{-1}^{0} (-1) \cdot dt + \int_{0}^{x} 1 \cdot dt + 1

=[−t]−10+[t]0x+1= [-t]_{-1}^{0} + [t]_{0}^{x} + 1

=−0−(−(−1))+x−0+1=x= -0 - (-(-1)) + x - 0 + 1 = x

כלומר ∣x∣=∫−1xf(t) dt+1|x| = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt + 1 מתקיים לכל x>0x > 0.

היות שלכל −1≤x≤0-1 \leq x \leq 0 מתקיים ∣x∣=−x|x| = -x

∫−1xf(t) dt+1=∫−1x(−1)⋅dt+1=[−t]−1x+1\int_{-1}^{x} f(t) \, dt + 1 = \int_{-1}^{x} (-1) \cdot dt + 1 = [-t]_{-1}^{x} + 1

=−x−(−(−1))+1=−x= -x - (-(-1)) + 1 = -x

כלומר ∣x∣=∫−1xf(t) dt+1|x| = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt + 1 מתקיים לכל −1≤x≤0-1 \leq x \leq 0.

---

4. יהיו a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} כך ש-a<ba < b. נתון ש-∫abet2 dt>1\int_{a}^{b} e^{t^2} \, dt > 1.

**הוכי

7
בינוניגבולותסדרותפונקציות

תזכורת:

פונקציה f:[−a,a]→Rf : [-a, a] \to \mathbb{R} ויהי 0<a∈R0 < a \in \mathbb{R}.

נאמר כי ff היא פונקציה זוגית אם לכל x∈[−a,a]x \in [-a, a] מתקיים f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).

נאמר כי ff היא פונקציה אי־זוגית אם לכל x∈[−a,a]x \in [-a, a] מתקיים f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).

משפט:

יהי 0<a∈R0 < a \in \mathbb{R} ותהי ff פונקציה אינטגרבילית ואי־זוגית בקטע [−a,a][-a, a], אזי:

∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0

הוכחה:

ניעזר בלמת ההדבקה ונקבל:

∫−aaf(x) dx=∫−a0f(x) dx+∫0af(x) dx\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx

נחשב את האינטגרל ∫−a0f(x) dx\int_{-a}^{0} f(x) \, dx.

נשתמש בהצבה; נזכור שכעת נצטרך לשנות גם את גבולות האינטגרל:

8
בינוניגבולותסדרותפונקציות

ניתן לשנות את השם של משתנה האינטגרציה כרצוננו, מדובר במשתנה שאנו "רצים" עליו. למשל:

∫abf(x)dx=∫abf(t)dt=∫abf(y)dy=…\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(y) dy = \ldots

כעת נחזור לתרגיל ונקבל

∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx=−∫a0f(x)dx+∫a0f(x)dx=0\int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx = -\int_a^0 f(x) dx + \int_a^0 f(x) dx = 0

דוגמא:

∫−33sin⁡101x dx=0\int_{-3}^3 \sin^{101} x \, dx = 0

מתקיים (sin⁡(−x))101=(−sin⁡x)101=−(sin⁡x)101(\sin(-x))^{101} = (-\sin x)^{101} = -(\sin x)^{101} מכיוון שלכל x∈Rx \in \mathbb{R}

שבוע 3שבוע 5