אינטגרל מסוים — הגדרה, תכונות, ומשפט היסודי

'תרגול 4 היום: האינטגרל המסוים. • תזכורת: .[a, b] פונקציה המוגדרת ב f ותהי a < b כך ש a, b ∈ R 1. תהיינה . נסמן[a, b] אינטגרבילית ב f נניח כי ∫ a a f (x) dx = 0 )א( ∫ a b f (x) dx = − ∫ b a f (x) dx )ב( ∫ b a f (x) dx = ∫ c a f (x) dx + ∫ b c f (x) dx מתקיים a, b, c ∈ R 2. למת ההדבקה: לכל 3. )המשפט היסודי של החדוו"א( .[a, b] פונקציה המוגדרת ב f ותהי a < b כך ש a, b ∈ R תהיינה .[a, b] אינטגרבילית ב f נניח כי נביט בפונקציה המוגדרת על ידי F (x) = ∫ x a f (t) dt .a ≤ x ≤ b לכל .x0 רציפה ב f . נניח כיx0 ∈ [a, b] תהי .F ′ (x0) = f (x0) ובנוסף x0 גזירה ב F אזי 4. )נוסחת ניוטון לייבניץ( .[a, b] פונקצי

שאלות: .1 )א( חשבו את האינטגרל המסוים ∫ 1 0 1 2x + 1 dx פתרון: ∫ 1 0 1 2x + 1 dx = [ ln | 2x + 1 | 2 ]1 0 = ln | 2 · 1 + 1 | 2 − ln | 2 · 0 + 1 | 2 = ln 3 2 − ln 1 2 = 1 2 ln 3 = ln (√3 ) דרך נוספת: נפתור בעזרת הצבה, נשים לב שנצטרך לשנות גם את "גבולות האינטגרל" t = 2x + 1, dt = 2dx, x = 1 ⇒ t = 3, x = 0 ⇒ t = 1 לכן נקבל ∫ 1 0 1 2x + 1 dx = ∫ 3 1 1 2t dt = [ ln | t | 2 ]3 1 = ln 3 2 − ln 1 2 = 1 2 ln 3 = ln (√3 ) 2

)ב( חשבו את האינטגרל המסוים ∫ 1 −1 arctan(x)dx פתרון: נסמן u′ = 1, u = x, v = arctan (x) , v′ = 1 1 + x2 נקבל ∫ 1 −1 arctan(x)dx = [x · arctan (x)]1 −1 − ∫ 1 −1 x 1 + x2 dx = 1 · arctan (1) − (−1) · arctan (−1) − [ ln | 1 + x2 | 2 ]1 −1 = 0 − ( ln | 2 | 2 − ln | 2 | 2 ) = 0 )ג( חשבו את האינטגרל המסוים ∫ 2 0 f (x) dx .x ∈ [0, 2] לכל f (x) = max {x, x2} כאשר פתרון: מתקיים x ∈ [1, 2] ולכל x2 ≤ x מתקיים x ∈ [0, 1] ראשית נשים לב שלכל . לכןx2 ≥ x f (x) = { x 0 ≤ x ≤ 1 x2 1 < x ≤ 2 ניעזר בלמת ההדבקה ונקבל ∫ 2 0 f (x) dx = ∫ 1 0 xdx + ∫ 2 1 x2dx = [ x2 2 ]1 0 + [ x3 3 ]2 1 = 12 2 − 02 2 + 23 3 − 13 3

. lim n→∞ 15+25+...+n5 n6 2. חשבו את הגבול פתרון: lim n→∞ 15 + 25 + ... + n5 n6 = lim n→∞ 1 n · 15 + 25 + ... + n5 n5 = lim n→∞ 1 n · n ∑ k=1 ( k n )5 .x ∈ [0, 1] לכל f (x) = x5 נגדיר את הפונקציה המוגדרת על ידי [0, 1] של n , נביט בסדרת חלוקות אחידות בגודלn ∈ N לכל Pn = (x0, ..., xn) and xk = 0 + k · 1 n = k n , ∀0 ≤ k ≤ n נשים לב כי 4 (Pn) = max {xk − xk−1 : 1 ≤ k ≤ n} = max { 1 n } = 1 n ולכן lim n→∞4 (Pn) = lim n→∞ 1 n = 0 .x, y ∈ [0, 1] ויהיו M = 5 נבחר .| x5 − y5 |= 0 ≤ 5 | x − y |= 0 , אז מתקייםx = y אם כך ש y ל x בין c גזירה, ממשפט לגרנז' קיימת נקודה f , אזי מהיותx 6 = y אם | x5 − y5 | |

3. הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות: לכל | x |= ∫ x −1 f (t) dt אינטגרבילית כך ש f : R → R )א( קיימת פונקציה .x ≥ −1 פתרון: הטענה לא נכונה. x = −1 נניח בשלילה שקיימת פונקציה כזו, לכן המשוואה נכונה גם עבור 1 =| −1 |= ∫ −1 −1 f (t) dt = 0 קיבלנו סתירה! לכן לא קיימת פונקציה כזאת. | x |= ∫ x −1 f (t) dt + C רציפה, כך ש f : R → R ופונקציה C ∈ R )ב( קיימים .x ≥ −1 לכל פתרון: הטענה לא נכונה. כך ש f : R → R ופונקציה רציפה C ∈ R נניח בשלילה שקיימים x = −1 , לכן המשוואה נכונה עבורx ≥ −1 לכל | x |= ∫ x −1 f (t) dt + C 1 =| −1 |= ∫ 1 −1 f (t) dt + C ⇒ C = 1 .C = 1 אם קיימת פונקציה כזו, אז רציפה, אז לפי המ

−x − (− (−1)) + 1 = −x מתקיים −1 ≤ x ≤ 0 , אז לכל| x |= −x מתקיים −1 ≤ x ≤ 0 היות שלכל | x |= ∫ x −1 f (t) dt + 1 מתקיים x > 0 אם ∫ x −1 f (t) dt + 1 = ∫ 0 −1 (−1) · dt + ∫ x 0 1 · dt + 1 = [−t]0 −1 + [t]x 0 + 1 = −0 − (− (−1)) + x − 0 + 1 = x מתקיים x > 0 , אז לכלx =| x | מתקיים x > 0 היות שלכל | x |= ∫ x −1 f (t) dt + 1 .∫ b a et2 dt > 1 . נתון שa < b כך ש a, b ∈ R 4. יהיו .∫ c a et2 dt = 1 כך ש a < c < b הוכיחו שקיימת נקודה פתרון: t ∈ [a, b] פונקציה רציפה לכל et2 . היות שx ∈ [a, b] לכל F (x) = ∫ x a et2 dt נגדיר .[a, b] ובפרט רציפה ב [a, b] גזירה ב F מאש"ר, אז לפי המשפט היסודי נשים לב ש F (

תזכורת: פונקציה. f : [−a, a] → R ותהי 0 < a ∈ R יהי .x ∈ [−a, a] לכל f (−x) = f (x) היא פונקציה זוגית אם f נאמר כי .x ∈ [−a, a] לכל f (−x) = −f (x) היא פונקציה אי זוגית אם f נאמר כי משפט: , אזי[−a, a] פונקציה אינטגרבילית ואי זוגית בקטע f ותהי 0 < a ∈ R יהי ∫ a −a f (x) dx = 0 הוכחה: ניעזר בלמת ההדבקה ונקבל ∫ a −a f (x) dx = ∫ 0 −a f (x) dx + ∫ a 0 f (x) dx נחשב את האינטגרל ∫ 0 −a f (x) dx נשתמש בהצבה, נזכור שכעת נצטרך לשנות גם את "גבולות האינטגרל" t = −x, dt = −dx, x = −a ⇒ t = a, x = 0 ⇒ t = 0 נקבל ∫ 0 −a f (x) dx = ∫ 0 a f (−t) · (−1) dt = odd function ∫ 0 a f (t) dt = − ∫ a 0 f (t) dt (∗) =

ניתן לשנות את השם של משתנה האינטגרציה כרצוננו, מדובר במשתנה שאנו "רצים" עליו. למשל: ∫ b a f (x) dx = ∫ b a f (t) dt = ∫ b a f (y) dy = ... כעת נחזור לתרגיל ונקבל ∫ 0 −a f (x) dx + ∫ a 0 f (x) dx = − ∫ a 0 f (x) dx + ∫ a 0 f (x) dx = 0 דוגמא: ∫ 3 −3 sin101 x dx = 0 מתקיים x ∈ R מכיוון שלכל (sin (−x))101 = (− sin x)101 = − (sin x)101 8