שבוע 8
הרצאה 8
חומר חדש
תרגול 8
מתרגל הרצאה 7
מטלה 8
תרגול 8 + הרצאה 7
סיכום שבוע 8
מסקנות מרכזיות
בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד
בקצוות — יש לבדוק ידנית, ייתכן כל מצב
הסדר גורם: aₙ≥0 חיוני ל-Leibniz
טעויות נפוצות
שכחת בדיקת קצוות תחום ההתכנסות
הנחה שהתכנסות בתנאי → מתכנס מוחלט (שגוי)
כלים מרכזיים
הוכחת התכנסות בתנאי (Leibniz)
הוכחת אי-התכנסות מוחלטת
השוואת כוחות
מציאת כל x שבהם טור מתכנס (בהחלט/בתנאי/מתבדר)
שאלות על תחום התכנסות מלא עם בדיקת קצוות
מדריך לימוד
סדר הבדיקות לטורים עם $(-1)^n$: קודם בדקי מוחלטת, אחר-כך לייבניץ.
מה לחזור קודם
כל המבחנים הקודמים
הגדרת ערך מוחלט
חובה לשנן
התכנסות מוחלטת: מתכנס
התכנסות מוחלטת ← התכנסות רגילה (לא להפך!)
מבחן לייבניץ: יורד ו- ← מתכנס
כלים מרכזיים
התכנסות מוחלטת
מבחן לייבניץ
טעויות נפוצות
לחשוב שהתכנסות רגילה ← מוחלטת
לא לבדוק שגם יורדת מונוטונית לפני לייבניץ
לבלבל מוחלטת ומותנית
סדר לימוד מומלץ
הגדרת התכנסות מוחלטת
למה מוחלטת ← רגילה (הוכחת הגדרה)
הגדרת התכנסות מותנית
מבחן לייבניץ — תנאים ואיך לזהות
: לייבניץ — מותנית; מתבדר — לא מוחלטת
סיכום שבוע 8
מטרת הסף
להבין את ההבדל בין התכנסות מוחלטת למותנית, ולדעת להפעיל את מבחן לייבניץ.
העיקרון המוביל
כשיש — קודם נסי מוחלטת. אם לא — נסי לייבניץ. אל תפעילי לייבניץ לפני שבדקת מוחלטת.
בנוי על: כל מבחני שבוע 7 — הם נחוצים לבדיקת $\sum |a_n|$
עץ החלטות — מה אני מסיקה?
✓
שני התנאים ✓
תנאי לא מתקיים
מתכנס מוחלטת אם מתכנס.
למה זה נוסף?
זוהי צורת ההתכנסות ה"חזקה". אם הטור מתכנס גם בלי לתת לסימנות לבטל — הוא בטוח מתכנס.
אינטואיציה
דמייני שכל האיברים חיוביים — הטור עדיין מסתדר. זה הרבה חזק יותר מהתכנסות רגילה שמסתמכת על ביטולי סימנות.
הערות חשובות
משפט: מוחלטת התכנסות רגילה. ההפך לא נכון.
לכן: אם הוכחת מוחלטת — סיימת. אין צורך בלייבניץ.
דוגמה
: מתכנס . לכן מוחלטת.
מתכנסת מותנית אם: (1) מתכנס, אך (2) מתבדר.
למה זה נוסף?
מציינת מצב ביניים — הטור מתכנס רק בזכות ביטול בין חיוביים לשליליים, לא בזכות 'קטנות' אמיתית.
אינטואיציה
כמו קבוצה שמתאזנת רק כי כל חוב מקוזז מיד. אם נסדר מחדש את הסדר — האיזון יתמוטט.
טעות נפוצה
משפט ריארנז'מנט של רימן: כל טור מתכנס מותנית ניתן לסדר מחדש כך שיתכנס לכל מספר שנרצה — או אפילו יתבדר. לכן אל תשני סדר בטורים מותניים!
דוגמה
. מתכנס (לייבניץ). מתבדר. לכן מותנית.
יהי עם . אם:
יורדת מונוטונית:
אז הטור מתכנס. ובנוסף: (הערכת שגיאה).
למה זה נוסף?
כשהמבחנים של שבוע 7 לא עובדים (כי מתבדר), לייבניץ נותן קריטריון להתכנסות מותנית.
אינטואיציה
הסכומים החלקיים מקפצים: גדול, קטן, גדול, קטן... אבל הקפיצות קטנות ומתאפסות — לכן מתכנסים לגבול.
מתי להשתמש?
רק אחרי שבדקת ש- מתבדר. אל תפעילי לפני.
הערות חשובות
צריך לבדוק שניהם: יורדת וגם .
לפעמים יורדת רק מ- גדול מסוים — זה בסדר (זנב).
הערכת שגיאה: שימושית בשאלות קירוב.
טעות נפוצה
לא בדקת שיורדת מונוטונית? לייבניץ לא תקף! לדוגמה: עם — צריך לאמת, לא רק להניח.
דוגמה
: . יורדת? כן, . ? כן. לכן מתכנס (מותנית — כי מתבדר, ).
צעד 1: תנאי הכרחי — ? אם לא — מתבדר.
צעד 2: נסי מוחלטת — מתכנס? השתמשי בכל מבחני שבוע 7.
צעד 3: אם לא מוחלטת — האם ותנאי לייבניץ?
צעד 4: אם כן — מתכנס מותנית. אם לא — מתבדר.
אינטואיציה
הסדר הזה לא מקרי: הוא הולך מהחזק לחלש. כשמצאת מוחלטת — סיימת. כשלא — ניסית להציל.
הערות חשובות
סיכום: ← מוחלטת ← מתכנס.
סיכום: , לייבניץ ← מותנית.
אם גם לייבניץ נכשל — מתבדר.
בטור לייבניץ: עולה מונוטונית וחסומה מעל. יורדת ומחסומה מתחת. שניהם שואפים לאותו גבול .
אינטואיציה
הסכומים הזוגיים 'מתקרבים מלמטה' והסכומים האי-זוגיים 'מתקרבים מלמעלה'. כמו מספריים שמתכנסים לנקודה אחת.
הערות חשובות
זה הרעיון שעומד מאחורי הוכחת לייבניץ — מונוטוני-חסום על כל אחת מהסדרות.
מכאן גם השגיאה: .
תרשים שבוע 8
הגדרה
טור חזקות סביב x₀
מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.
משפט
משפט הרדיוס
נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.
נוסחה
R = 1/limsup|aₙ|^(1/n)
הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.
מה מסיקים
בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד
זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.
הרצאה 8 — חומר חדש
הגדרות
טור חזקות סביב x₀
רדיוס התכנסות R
משפטים
משפט הרדיוס
גזירת טור חזקות שומרת על R
אינטגרציה של טור חזקות
נוסחאות מפתח
R = 1/limsup|aₙ|^(1/n)
Σaₙxⁿ גזיר ← Σnaₙxⁿ⁻¹ עם אותו R
חשוב למבחן
חשוב למבחן
מקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf
תרגול 8 · מתרגל הרצאה 7
הבחנה בין התכנסות מוחלטת לבין התכנסות בתנאי, הוכחות Leibniz, וטורים חלופיים.
טכניקות
הוכחת התכנסות בתנאי (Leibniz)
הוכחת אי-התכנסות מוחלטת
השוואת כוחות
חובה לתרגל
מציאת כל x שבהם טור מתכנס (בהחלט/בתנאי/מתבדר)
שאלות על תחום התכנסות מלא עם בדיקת קצוות
הוכחת התכנסות בתנאי vs מוחלטת
טעויות נפוצות
שכחת בדיקת קצוות תחום ההתכנסות
הנחה שהתכנסות בתנאי → מתכנס מוחלט (שגוי)
מסקנות
בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד
בקצוות — יש לבדוק ידנית, ייתכן כל מצב
הסדר גורם: aₙ≥0 חיוני ל-Leibniz
אין ניתוח מטלה לשבוע זה
נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.
ציטוט מקור
טקסט שחולץ בפועל מהקבצים — אם OCR לא קריא, מוצג סיכום מקושר.
משפטים עם אינטואיציה — חלק ב׳
טור חזקות — 1
הגדרה )8 הרצאה + 9 תרגול(
:ניסוח תהי (aₙ) סדרה של מספרים ממשיים ותהי x₀ ∈ ℝ טור החזקות של . (aₙ) סביב x₀ :הוא
Σ(n=0→∞) aₙ · (x−x₀)ⁿ = a₀ + a₁(x−x₀) + a₂(x−x₀)² + ...
תחום ההתכנסות הוא קבוצת כל ערכי x .שעבורם הטור מתכנס
אינטואיציה
פונקציה בפרמטר“ טור חזקות הוא x המרכז .” x₀ והמקדמים ,הוא נקודת המדידה aₙ .קובעים את העוצמה של כל חזקה
הטור מתכנס תמיד במרכז — 1
משפט )8 הרצאה(
:ניסוח הטור תמיד מתכנס בנקודה x = x₀ לערך , a₀ .
aₙ · (x₀ − x₀)ⁿ = aₙ · 0ⁿ = 0 for n ≥ 1
:לכן נשאר רק האיבר הראשון a₀ .
אינטואיציה
.תמיד יש לפחות נקודה אחת שבה הוא מתכנס .טור חזקות לא מתבדר בכל מקום :זו נקודת העוגן
רדיוס ההתכנסות — 2
הגדרה )8 הרצאה(
:ניסוח יהי Σ aₙ(x−x₀)ⁿ :רדיוס ההתכנסות מוגדר כך .טור חזקות
R = sup { r ≥ 0 : the series converges absolutely for every x ∈ [x₀−r, x₀+r] }
אינטואיציה
R סביב ”רדיוס האזור הבטוח“ הוא x₀ המנה או בזיהוי/משתמשים בנוסחאות השורש ;בפועל כמעט לא מחשבים סופרמום .
.מבנה
מתכנס בהחלט ⇒ קרוב יותר למרכז — 2
משפט )8 הרצאה(
:ניסוח יהיו x₁, x₂ ∈ ℝ כך ש־ |x₂−x₀| < |x₁−x₀| אם . Σaₙ(x₁−x₀)ⁿ אז ,מתכנס Σaₙ(x₂−x₀)ⁿ .מתכנס בהחלט
אינטואיציה
הוא שורד ,אם הטור שורד רחוק יותר .זה ה
למה תחום ההתכנסות הוא קטע ולא אוסף נקודות מפוזר
.בהחלט בכל נקודה קרובה יותר
3
:
מסקנה קריטית .הכול בהחלט — בתוך הרדיוס .התכנסות בתנאי יכולה להופיע רק בקצוות
4
:חשוב אם הגבול L .לא משתמשים בנוסחה הזו — לא קיים
שלושת המקרים של רדיוס ההתכנסות — 3
משפט )8 הרצאה(
:ניסוח לכל טור חזקות קיים R ∈ [0,∞] :כך ש
מקרה מה קורה
R = ∞ הטור מתכנס בהחלט לכל x ∈ ℝ .
R = 0 הטור מתכנס רק במרכז x = x₀ ומתבדר לכל , x ≠ x₀ .
0 < R < ∞ |x−x₀| < R ;מתכנס בהחלט ⇒ |x−x₀| > R ;מתבדר ⇒ |x−x₀| = R .לבדוק בנפרד ⇒
אינטואיציה
.והקצוות הם נקודת השאלה ,מחוץ לו התבדרות ,יש קטע ברור של התכנסות :”המפה המלאה“ זו
מבחן השורש לרדיוס :קושי־הדמר — 4
משפט )8 הרצאה(
:ניסוח :במובן הרחב ,אם קיים הגבול
L = lim(n→∞) ⁿ√|aₙ|
:אז
L = 0 → R = ∞ | L = ∞ → R = 0 | 0<L<∞ → R = 1/L
אינטואיציה
:לפי מבחן השורש ⁿ√|aₙ(x−x₀)ⁿ| = ⁿ√|aₙ| · |x−x₀| → L·|x−x₀| לכן ההתכנסות מתקבלת כאשר הביטוי קטן .
.1מ־
מבחן המנה לרדיוס — הערה )9 תרגול(
:ניסוח :אם קיים
L = lim(n→∞) |aₙ₊₁ / aₙ|
אז R = 1/L .לפי אותם חוקים של מבחן השורש
אינטואיציה
מבחן המנה נוח כשיש עצרת n! מבחן השורש נוח כשיש .או מכפלות n√ או nⁿ .
5
:זהירות כאשר R₁ = R₂ .יכול לקרות ביטול בין המקדמים .אי אפשר להסיק מראש מה הרדיוס של הסכום —
דוגמאות מהירות לטור גיאומטרי
טור זיהוי
מסקנה
Σ(−1)ⁿx²ⁿ t = −x² |t|<1 → −1<x<1 :והסכום , 1/(1+x²) .
Σ((2x+3)/4)²ⁿ t = ((2x+3)/4)² |t|<1 → −3.5<x<0.5 ולכן , x₀=−1.5 , R=2 .
:סיכום בשורה אחת מה x₀ ? ← מה R ? ← ?מה קורה בקצוות ←
?מה הסכום :אם גיאומטרי
הפרש שני טורי חזקות / סכום —
משפט )9 תרגול(
:ניסוח יהיו Σaₙxⁿ , Σbₙxⁿ עם רדיוסי התכנסות R₁, R₂ אם . R₁ ≠ R₂ :אז ,
R(aₙ ± bₙ) = min { R₁ , R₂ }
אינטואיציה
.ולכן הסכום או ההפרש מתבדרים ,בין הרדיוסים אחד כבר מתבדר .בתוך הרדיוס הקטן שני הטורים מתכנסים
השוואת טורי חזקות —
משפט )9 תרגול(
:ניסוח יהיו Σaₙ(x−x₀)ⁿ , Σbₙ(x−x₀)ⁿ עם רדיוסי התכנסות R₁, R₂ אם . |aₙ| ≤ |bₙ| לכל n ≥ 0 אז , R₁ ≥ R₂ .
אינטואיציה
גם הטור הקטן ,בכל מקום שבו הטור הגדול מתכנס בהחלט .מקדמים קטנים יותר מאפשרים אזור התכנסות גדול יותר
.מתכנס בהחלט לפי השוואה
זיהוי טור גיאומטרי — כלי )9 תרגול(
:ניסוח אם אפשר לסדר את הטור לצורה Σtⁿ כאשר , t תלוי ב־ x :אז ,
Σ(n=0→∞) tⁿ = 1 / (1 − t), בתנאי |t| < 1
מחלצים מ־ |t|<1 את תחום ה־ x ומשם מזהים את , x₀ ואת R .
אינטואיציה
.הוא נותן גם תחום התכנסות וגם סכום מפורש בצעד אחד :זה הכלי המהיר ביותר
6
דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט, מתכנסים בתנאי או מתבדרים. ∞ ∑ n=1 [( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ] .1 פתרון: נבדוק תחילה התכנסות בהחלט ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=1 [∣ ∣arctan (n) + sin n∣ ∣ · 1 1 + cos2 n · n 3n ] 4 ≤ ∞ ∑ n=1 [(∣ ∣arctan (n)∣ ∣ + ∣ ∣sin n∣ ∣) · 1 1 + cos2 n · n 3n ] ≤ ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · 1 1 + 0 · n 3n ] = ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · n 3n ] = ( π 2 + 1 ) ∞ ∑ n=1 n 3n מתכנס. נראה זאת על ידי מבחן השורש ∞ ∑ n=1 n 3n הטור lim n→∞ n √ n 3n = lim n→∞ n 1 n 3 = AOL 1 3 < 1 ולכן ממבחן ההשוואה הטור ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1
תרגיל: קבעו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר 1 − 1 4 + 1 2 − 1 42 + 1 3 − 1 43 + 1 4 − 1 44 + ... פתרון: נשים סוגריים באופן הבא: ( 1 − 1 4 ) + ( 1 2 − 1 42 ) + ( 1 3 − 1 43 ) + ( 1 4 − 1 44 ) + ... קיבלנו את הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 n − 1 4n ) זהו טור מתבדר, מכיוון שהוא מורכב מטור מתבדר פחות טור מתכנס, ולכן ממשפט השמת הסוגריים, גם הטור המקורי מתבדר. תרגיל: . ∞ ∑ n=1 1 n2 = π2 6 נניח כי . ∞ ∑ n=1 1 n2 = ∞ ∑ n=1 [ 1 (2n−1)2 + 1 (2n)2 ] 1. הוכיחו כי פתרון: מתכנס, אז ממשפט השמת הסוגריים נקבל כי ∞ ∑ n=1 1 n2 היות שהטור ∞ ∑ n=1 1 n2 = ( 1 + 1 22 ) + ( 1 32 + 1 42 ) + ... = ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) 6
. ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 = π2 8 2. הוכיחו כי פתרון: נשים לב כי מתקיים ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 = 1 4 ∞ ∑ n=1 1 n2 = 1 4 · π2 6 מתכנס )ניתן להראות זאת ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 מתכנס והטור ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 היות שהטור (, אז ∞ ∑ n=1 1 n2 בקלות על ידי מבחן ההשוואה הגבולי עם הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) = AOS ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 + ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 ולכן מהסעיף הראשון נקבל כי π2 6 = ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 + 1 4 · π2 6 ולכן ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 = 3 4 · π2 6 = π2 8 . ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 = π2 12 3. הוכיחו כי פתרון: מתכנס )טור לייבניץ(, אז ממשפט השמת הסוגריים ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 היות שהטור נקבל כי ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 =
הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞ n=1 תהי מתכנס בהחלט. ∞ ∑ n=1 an n מתכנס, אזי ∞ ∑ n=1 an 1. אם פתרון: הטענה לא נכונה. נגדיר 2 ≤ n ∈ N ולכל a1 = 0 דוגמא נגדית: an = (−1)n+1 ln n נשים לב ש ∞ ∑ n=1 an = ∞ ∑ n=2 (−1)n+1 ln n מקיים את התנאים של המסקנה בתזכורת ולכן מתכנס, אבל ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ an n ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ [ (−1)n ln n ] n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=2 1 n ln n = ∞ לא מתכנס בהחלט. ∞ ∑ n=1 an n ולכן מתכנס בהחלט. ∞ ∑ n=1 an n מתכנס, אזי ∞ ∑ n=1 a2 n 2. אם פתרון: הטענה נכונה. מתקיים n ∈ N נשים לב שלכל ( | an | − 1 n )2 ≥ 0 ⇒ a2 n − 2 | an | n + 1 n2 ≥ 0 ⇒ | an
∞ ∑ n=1 (−1) n+1an , אזי הטור lim n→∞an = 0 סדרה אי שלילית כך ש (an)∞ n=1 3. נניח כי מתכנס. פתרון: הטענה לא נכונה )חלק מהתנאים של משפט לייבניץ לא רשומים(. .1, 0, 1 2 , 0, 1 3 , ... נבחר את הסדרה כלומר נבחר את הסדרה an = { 1 k n = 2k − 1 0 n = 2k = { 2 n+1 n is odd 0 n is even כי הגבול של האיברים במקומות הזוגיים שווה לגבול של lim n→∞an = 0 נשים לב כי האיברים במקומות האי זוגיים ושניהם שווים לאפס. נראה כי הטור מתבדר ∞ ∑ n=1 (−1) n+1an = 1 + 0 + 1 2 + 0 + 1 3 + 0 + ... נשים סוגריים באופן הבא: (1 + 0) + ( 1 2 + 0 ) + ( 1 3 + 0 ) .. קיבלנו את הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 n + 0 ) = ∞ ∑ n=1 1 n זהו טור מתבדר, ולכ
דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט, מתכנסים בתנאי או מתבדרים. ∞ ∑ n=1 [( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ] .1 פתרון: נבדוק תחילה התכנסות בהחלט ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=1 [∣ ∣arctan (n) + sin n∣ ∣ · 1 1 + cos2 n · n 3n ] 4 ≤ ∞ ∑ n=1 [(∣ ∣arctan (n)∣ ∣ + ∣ ∣sin n∣ ∣) · 1 1 + cos2 n · n 3n ] ≤ ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · 1 1 + 0 · n 3n ] = ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · n 3n ] = ( π 2 + 1 ) ∞ ∑ n=1 n 3n מתכנס. נראה זאת על ידי מבחן השורש ∞ ∑ n=1 n 3n הטור lim n→∞ n √ n 3n = lim n→∞ n 1 n 3 = AOL 1 3 < 1 ולכן ממבחן ההשוואה הטור ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1
תרגיל: קבעו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר 1 − 1 4 + 1 2 − 1 42 + 1 3 − 1 43 + 1 4 − 1 44 + ... פתרון: נשים סוגריים באופן הבא: ( 1 − 1 4 ) + ( 1 2 − 1 42 ) + ( 1 3 − 1 43 ) + ( 1 4 − 1 44 ) + ... קיבלנו את הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 n − 1 4n ) זהו טור מתבדר, מכיוון שהוא מורכב מטור מתבדר פחות טור מתכנס, ולכן ממשפט השמת הסוגריים, גם הטור המקורי מתבדר. תרגיל: . ∞ ∑ n=1 1 n2 = π2 6 נניח כי . ∞ ∑ n=1 1 n2 = ∞ ∑ n=1 [ 1 (2n−1)2 + 1 (2n)2 ] 1. הוכיחו כי פתרון: מתכנס, אז ממשפט השמת הסוגריים נקבל כי ∞ ∑ n=1 1 n2 היות שהטור ∞ ∑ n=1 1 n2 = ( 1 + 1 22 ) + ( 1 32 + 1 42 ) + ... = ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) 6
. ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 = π2 8 2. הוכיחו כי פתרון: נשים לב כי מתקיים ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 = 1 4 ∞ ∑ n=1 1 n2 = 1 4 · π2 6 מתכנס )ניתן להראות זאת ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 מתכנס והטור ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 היות שהטור (, אז ∞ ∑ n=1 1 n2 בקלות על ידי מבחן ההשוואה הגבולי עם הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) = AOS ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 + ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 ולכן מהסעיף הראשון נקבל כי π2 6 = ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 + 1 4 · π2 6 ולכן ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 = 3 4 · π2 6 = π2 8 . ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 = π2 12 3. הוכיחו כי פתרון: מתכנס )טור לייבניץ(, אז ממשפט השמת הסוגריים ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 היות שהטור נקבל כי ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 =