Mentora
0
79
שבועותשבוע 8
סיכום שבוע

שבוע 8

טורים — מבחן מנה, שורש, ולייבניץ

מבחן מנהמבחן שורשטור חלופימבחן לייבניץ
פתחי סיכום שבוע 8
📖

הרצאה 7

חומר חדש

→
✏️

תרגול 8

מתרגל הרצאה 7

→
📋

מטלה 8

תרגול 8 + הרצאה 7

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

סיכום שבוע 8

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד

  • בקצוות — יש לבדוק ידנית, ייתכן כל מצב

  • הסדר גורם: aₙ≥0\ge 0 חיוני ל-Leibniz

טעויות נפוצות

  • שכחת בדיקת קצוות תחום ההתכנסות

  • הנחה שהתכנסות בתנאי → מתכנס מוחלט (שגוי)

כלים מרכזיים

  • הוכחת התכנסות בתנאי (Leibniz)

  • הוכחת אי-התכנסות מוחלטת

  • השוואת כוחות

  • מציאת כל x שבהם טור מתכנס (בהחלט/בתנאי/מתבדר)

  • שאלות על תחום התכנסות מלא עם בדיקת קצוות

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 8

לטור עם $(-1)^n$: קודם בדקי התכנסות בהחלט, אחר-כך לייבניץ. ההרמוני המתחלף — מתכנס בתנאי.

מה לחזור קודם

  • מבחן האינטגרל

  • כל מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים

חובה לשנן

  • התכנסות בהחלט: ∑∣an∣<∞\sum |a_n| < \infty

  • התכנסות בהחלט ← התכנסות רגילה (לא להפך!)

  • התכנסות בתנאי: מתכנס אך לא בהחלט

  • מבחן לייבניץ: ana_n יורדת ל-00 ← ∑(−1)n+1an\sum (-1)^{n+1} a_n מתכנס

  • הערכת שגיאה בלייבניץ: ∣S−SN∣≤aN+1|S - S_N| \le a_{N+1}

כלים מרכזיים

  • מבחן האינטגרל

  • התכנסות בהחלט

  • מבחן לייבניץ

טעויות נפוצות

  • לחשוב שהתכנסות רגילה גוררת מוחלטת

  • לא לבדוק ש-ana_n יורדת מונוטונית לפני לייבניץ

  • לבלבל בין התכנסות מוחלטת למותנית

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    מבחן האינטגרל (השלמה)

  2. 2

    התכנסות בהחלט ← התכנסות רגילה

  3. 3

    התכנסות בתנאי

  4. 4

    טור מתחלף ומבחן לייבניץ

  5. 5

    הערכת סכום ושגיאה

סיכום שבוע 8

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

להבין את ההבדל בין התכנסות מוחלטת למותנית, ולדעת להפעיל את מבחן לייבניץ.

העיקרון המוביל

כשיש (−1)n(-1)^n — קודם נסי מוחלטת. אם לא — נסי לייבניץ. אל תפעילי לייבניץ לפני שבדקת מוחלטת.

בנוי על: כל מבחני שבוע 7 — הם נחוצים לבדיקת $\sum |a_n|$

עץ החלטות — מה אני מסיקה?

כן ✓

an→0a_n \to 0 ✓

↓
כן ✓

∑∣an∣<∞\sum |a_n| < \infty

↓
מתכנס מוחלטת
לא ✗

∑∣an∣=∞\sum |a_n| = \infty

↓
כן ✓

שני התנאים ✓

↓
מתכנס מותנית
לא ✗

תנאי לא מתקיים

↓
מתבדר
לא ✗

an↛0a_n \not\to 0

↓
הטור מתבדר

∑an\sum a_n מתכנס מוחלטת אם ∑∣an∣\sum |a_n| מתכנס.

למה זה נוסף?

זוהי צורת ההתכנסות ה"חזקה". אם הטור מתכנס גם בלי לתת לסימנות לבטל — הוא בטוח מתכנס.

אינטואיציה

דמייני שכל האיברים חיוביים — הטור עדיין מסתדר. זה הרבה חזק יותר מהתכנסות רגילה שמסתמכת על ביטולי סימנות.

הערות חשובות

  • משפט: מוחלטת ⇒\Rightarrow התכנסות רגילה. ההפך לא נכון.

  • לכן: אם הוכחת מוחלטת — סיימת. אין צורך בלייבניץ.

דוגמה

∑(−1)nn2\sum \dfrac{(-1)^n}{n^2}: ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^2} מתכנס (p=2>1)(p=2>1). לכן מוחלטת.

∑an\sum a_n מתכנסת מותנית אם: (1) ∑an\sum a_n מתכנס, אך (2) ∑∣an∣\sum |a_n| מתבדר.

למה זה נוסף?

מציינת מצב ביניים — הטור מתכנס רק בזכות ביטול בין חיוביים לשליליים, לא בזכות 'קטנות' אמיתית.

אינטואיציה

כמו קבוצה שמתאזנת רק כי כל חוב מקוזז מיד. אם נסדר מחדש את הסדר — האיזון יתמוטט.

טעות נפוצה

משפט ריארנז'מנט של רימן: כל טור מתכנס מותנית ניתן לסדר מחדש כך שיתכנס לכל מספר שנרצה — או אפילו יתבדר. לכן אל תשני סדר בטורים מותניים!

דוגמה

∑(−1)n+1n=1−12+13−⋯=ln⁡2\sum \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \cdots = \ln 2. מתכנס (לייבניץ). ∑1n\sum \tfrac{1}{n} מתבדר. לכן מותנית.

יהי ∑n=1∞(−1)n+1bn\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n עם bn>0b_n > 0. אם:

  1. bnb_n יורדת מונוטונית: bn+1≤bnb_{n+1} \le b_n

  2. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n\to\infty} b_n = 0

אז הטור מתכנס. ובנוסף: ∣S−SN∣≤bN+1|S - S_N| \le b_{N+1} (הערכת שגיאה).

למה זה נוסף?

כשהמבחנים של שבוע 7 לא עובדים (כי ∑∣an∣\sum |a_n| מתבדר), לייבניץ נותן קריטריון להתכנסות מותנית.

אינטואיציה

הסכומים החלקיים S1,S2,S3,…S_1, S_2, S_3, \ldots מקפצים: גדול, קטן, גדול, קטן... אבל הקפיצות קטנות ומתאפסות — לכן מתכנסים לגבול.

מתי להשתמש?

רק אחרי שבדקת ש-∑∣an∣\sum |a_n| מתבדר. אל תפעילי לפני.

הערות חשובות

  • צריך לבדוק שניהם: יורדת וגם bn→0b_n \to 0.

  • לפעמים יורדת רק מ-n=kn = k גדול מסוים — זה בסדר (זנב).

  • הערכת שגיאה: ∣S−SN∣≤bN+1|S - S_N| \le b_{N+1} שימושית בשאלות קירוב.

טעות נפוצה

לא בדקת שיורדת מונוטונית? לייבניץ לא תקף! לדוגמה: bn=1/nb_n = 1/n עם b1>b2>⋯b_1 > b_2 > \cdots — צריך לאמת, לא רק להניח.

דוגמה

∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}: bn=1/nb_n = 1/\sqrt{n}. יורדת? כן, 1/n+1<1/n1/\sqrt{n+1} < 1/\sqrt{n}. bn→0b_n \to 0? כן. לכן מתכנס (מותנית — כי ∑1/n=∑1/n1/2\sum 1/\sqrt{n} = \sum 1/n^{1/2} מתבדר, p=1/2<1p=1/2 < 1).

צעד 1: תנאי הכרחי — an→0a_n \to 0? אם לא — מתבדר.

צעד 2: נסי מוחלטת — ∑∣an∣\sum |a_n| מתכנס? השתמשי בכל מבחני שבוע 7.

צעד 3: אם לא מוחלטת — האם ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n ותנאי לייבניץ?

צעד 4: אם כן — מתכנס מותנית. אם לא — מתבדר.

אינטואיציה

הסדר הזה לא מקרי: הוא הולך מהחזק לחלש. כשמצאת מוחלטת — סיימת. כשלא — ניסית להציל.

הערות חשובות

  • סיכום: ∑∣an∣<∞\sum |a_n| < \infty ← מוחלטת ← מתכנס.

  • סיכום: ∑∣an∣=∞\sum |a_n| = \infty, לייבניץ ← מותנית.

  • אם גם לייבניץ נכשל — מתבדר.

בטור לייבניץ: S2NS_{2N} עולה מונוטונית וחסומה מעל. S2N−1S_{2N-1} יורדת ומחסומה מתחת. שניהם שואפים לאותו גבול SS.

אינטואיציה

הסכומים הזוגיים 'מתקרבים מלמטה' והסכומים האי-זוגיים 'מתקרבים מלמעלה'. כמו מספריים שמתכנסים לנקודה אחת.

הערות חשובות

  • זה הרעיון שעומד מאחורי הוכחת לייבניץ — מונוטוני-חסום על כל אחת מהסדרות.

  • מכאן גם השגיאה: ∣S−SN∣≤∣aN+1∣=bN+1|S - S_N| \le |a_{N+1}| = b_{N+1}.

תרשים שבוע 8

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

טור חלופי

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

מבחן דלאמבר

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

R=lim∣a\mathbb{R} = lim |aₙ₊₁/aₙ|⁻¹

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 7 — חומר חדש

הגדרות

  • טור חלופי

  • התכנסות מוחלטת

  • התכנסות בתנאי

משפטים

  • מבחן דלאמבר

  • מבחן קושי

  • מבחן לייבניץ

נוסחאות מפתח

R=lim∣a\mathbb{R} = lim |aₙ₊₁/aₙ|⁻¹

R=lim∣a\mathbb{R} = lim |aₙ∣(−1/n)|^(-1/n)

חשוב למבחן

מבחן מנה — שכיח ביותר

חשוב למבחן

לייבניץ — זכרי תנאים

מקור: שבוע 7 סיכום.pdf

✏️ תרגול

תרגול 8 · מתרגל הרצאה 7

הבחנה בין התכנסות מוחלטת לבין התכנסות בתנאי, הוכחות Leibniz, וטורים חלופיים.

טכניקות

  • הוכחת התכנסות בתנאי (Leibniz)

  • הוכחת אי-התכנסות מוחלטת

  • השוואת כוחות

חובה לתרגל

  • מציאת כל x שבהם טור מתכנס (בהחלט/בתנאי/מתבדר)

  • שאלות על תחום התכנסות מלא עם בדיקת קצוות

  • הוכחת התכנסות בתנאי vs מוחלטת

טעויות נפוצות

  • שכחת בדיקת קצוות תחום ההתכנסות

  • הנחה שהתכנסות בתנאי → מתכנס מוחלט (שגוי)

מסקנות

בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד

בקצוות — יש לבדוק ידנית, ייתכן כל מצב

הסדר גורם: aₙ≥0\ge 0 חיוני ל-Leibniz

📋 מטלה

אין ניתוח מטלה לשבוע זה

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הרצאה 7 · 14.5.26 — מבחן האינטגרל, התכנסות בהחלט, התכנסות בתנאי
טענת עזר 1 — עזר למבחן האינטגרל
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[k,∞)[k,\infty) עם (i) ff יורדת, (ii) lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x\to\infty} f(x) = 0. אזי לכל n≥kn \ge k מתקיים
f(n+1)≤∫nn+1f(x) dx≤f(n).f(n+1) \le \int_n^{n+1} f(x)\,dx \le f(n).
הוכחה
מאחר ש-ff יורדת, לכל x∈[n,n+1]x \in [n, n+1] מתקיים f(n+1)≤f(x)≤f(n)f(n+1) \le f(x) \le f(n). ממונוטוניות האינטגרל על הקטע [n,n+1][n,n+1] (שאורכו 1):
f(n+1)=∫nn+1f(n+1) dx≤∫nn+1f(x) dx≤∫nn+1f(n) dx=f(n).f(n+1) = \int_n^{n+1} f(n+1)\,dx \le \int_n^{n+1} f(x)\,dx \le \int_n^{n+1} f(n)\,dx = f(n).
משפט 5 — מבחן האינטגרל (עם הוכחה מלאה)
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי ff פונקציה המוגדרת ב-[k,∞)[k,\infty) עם (i) ff יורדת, (ii) lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x\to\infty} f(x) = 0. אזי הטור ∑n=k∞f(n)<∞\sum_{n=k}^\infty f(n) < \infty אם"ם ∫k∞f(x) dx<∞\int_k^\infty f(x)\,dx < \infty, ובנוסף
∫k∞f(x) dx≤∑n=k∞f(n)≤f(k)+∫k∞f(x) dx.\int_k^\infty f(x)\,dx \le \sum_{n=k}^\infty f(n) \le f(k) + \int_k^\infty f(x)\,dx.
הוכחה
מאחר ש-ff יורדת ו-lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x\to\infty} f(x) = 0, מתקיים lim⁡x→∞f(x)=inf⁡{f(x):x≥k}=0\lim_{x\to\infty} f(x) = \inf\{ f(x) : x \ge k \} = 0, ולכן f(x)≥0f(x) \ge 0 לכל x≥kx \ge k.
**(⇐\Leftarrow, נניח ∫k∞f<∞\int_k^\infty f < \infty):** נביט בפונקציה F(x)=∫kxf(t) dtF(x) = \int_k^x f(t)\,dt עבור x≥kx \ge k. מאחר ש-f≥0f \ge 0, FF עולה (F(x2)−F(x1)=∫x1x2f≥0F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f \ge 0), ו-∫k∞f=lim⁡x→∞F(x)=sup⁡{F(x)}\int_k^\infty f = \lim_{x\to\infty} F(x) = \sup\{F(x)\}. תהי (SN)(S_N) סדרת הסכומים החלקיים SN=∑n=kNf(n)S_N = \sum_{n=k}^N f(n). אזי לכל NN, בעזרת טענת עזר 1,
SN=f(k)+f(k+1)+⋯+f(N)≤f(k)+∫kk+1f+⋯+∫N−1Nf=f(k)+∫kNf≤f(k)+∫k∞f.S_N = f(k) + f(k+1) + \cdots + f(N) \le f(k) + \int_k^{k+1} f + \cdots + \int_{N-1}^N f = f(k) + \int_k^N f \le f(k) + \int_k^\infty f.

לכן (SN)(S_N) עולה וחסומה מלעיל, ומתכנסת: ∑n=k∞f(n)=sup⁡SN≤f(k)+∫k∞f\sum_{n=k}^\infty f(n) = \sup S_N \le f(k) + \int_k^\infty f.
**(⇒\Rightarrow, נניח ∑f(n)=S<∞\sum f(n) = S < \infty):** מטענת עזר 1, F(N)=∫kNf=∑n=kN−1∫nn+1f≤∑n=kN−1f(n)≤SF(N) = \int_k^N f = \sum_{n=k}^{N-1}\int_n^{n+1} f \le \sum_{n=k}^{N-1} f(n) \le S. ולכל x≥kx \ge k נבחר N=⌈x⌉N = \lceil x \rceil, ומאחר ש-FF עולה F(x)≤F(N)≤SF(x) \le F(N) \le S. לכן ∫k∞f=lim⁡x→∞F(x)=sup⁡F(x)≤S=∑n=k∞f(n)\int_k^\infty f = \lim_{x\to\infty} F(x) = \sup F(x) \le S = \sum_{n=k}^\infty f(n).
הגדרה — התכנסות בהחלט
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty סדרה. נאמר שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס בהחלט אם
∑n=k∞∣an∣<∞.\sum_{n=k}^\infty |a_n| < \infty.
משפט 1 — מבחן ההתכנסות בהחלט
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty סדרה. נניח שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס בהחלט. אזי הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס.
הוכחה
נגדיר bn=∣an∣−anb_n = |a_n| - a_n לכל n≥kn \ge k. נשים לב כי לכל n≥kn \ge k,
0≤bn=∣an∣−an≤2∣an∣0 \le b_n = |a_n| - a_n \le 2|a_n|

(הימני כי −an≤∣an∣-a_n \le |a_n|). ממבחן ההשוואה,
∑n=k∞bn≤∑n=k∞2∣an∣=2∑n=k∞∣an∣<∞,\sum_{n=k}^\infty b_n \le \sum_{n=k}^\infty 2|a_n| = 2\sum_{n=k}^\infty |a_n| < \infty,

ולכן ∑bn\sum b_n מתכנס. ומכאן (מאחר ש-an=∣an∣−bna_n = |a_n| - b_n, מלינאריות)
∑n=k∞an=∑n=k∞(∣an∣−bn)=∑n=k∞∣an∣−∑n=k∞bn\sum_{n=k}^\infty a_n = \sum_{n=k}^\infty (|a_n| - b_n) = \sum_{n=k}^\infty |a_n| - \sum_{n=k}^\infty b_n

מתכנס (כהפרש שני טורים מתכנסים).
דוגמה — $\sum \frac{\sin n}{n^{1.5}}$ מתכנס בהחלט
הטור ∑n=1∞sin⁡(n)n1.5\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n^{1.5}} מתכנס (בהחלט), שכן
∑n=1∞∣sin⁡(n)∣n1.5≤∑n=1∞1n1.5<∞\sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n)|}{n^{1.5}} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.5}} < \infty

(הטור ה-pp עם p=1.5>1p = 1.5 > 1).
הגדרה — התכנסות בתנאי
יהי 0≤k∈Z0 \le k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^\infty סדרה. נאמר שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^\infty a_n מתכנס בתנאי אם הטור מתכנס אבל אינו מתכנס בהחלט, כלומר ∑n=k∞∣an∣=∞\sum_{n=k}^\infty |a_n| = \infty.
הגדרה — טור לייבניץ (טור מתחלף)
תהי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^\infty סדרה. נאמר שהטור ∑n=1∞(−1)n+1an\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n הוא טור לייבניץ אם:
(i) (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^\infty יורדת;
(ii) lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
משפט 2 — מבחן לייבניץ
תהי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^\infty סדרה ויהי ∑n=1∞(−1)n+1an\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n טור לייבניץ. אזי הטור מתכנס לסכום S∈RS \in \mathbb{R}, ובנוסף
a1−a2≤S≤a1.a_1 - a_2 \le S \le a_1.
הוכחה
תהי (SN)(S_N) סדרת הסכומים החלקיים SN=∑n=1N(−1)n+1anS_N = \sum_{n=1}^N (-1)^{n+1} a_n. נביט בתת-הסדרה הזוגית (S2N)(S_{2N}).
**(S2N)(S_{2N}) עולה:** S2(N+1)−S2N=a2N+1−a2N+2≥0S_{2(N+1)} - S_{2N} = a_{2N+1} - a_{2N+2} \ge 0 (כי (an)(a_n) יורדת).
**(S2N)(S_{2N}) חסומה מלעיל ע"י a1a_1:**
S2N=a1−(a2−a3)−(a4−a5)−⋯−(a2N−2−a2N−1)−a2N≤a1−a2N≤a1S_{2N} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \cdots - (a_{2N-2} - a_{2N-1}) - a_{2N} \le a_1 - a_{2N} \le a_1

(כל סוגר אי-שלילי כי (an)(a_n) יורדת, ו-a2N≥0a_{2N} \ge 0 כי an→0a_n \to 0 וסדרה יורדת ל-0 היא אי-שלילית). לכן (S2N)(S_{2N}) עולה וחסומה מלעיל, ומתכנסת: קיים S=lim⁡N→∞S2N=sup⁡{S2N}S = \lim_{N\to\infty} S_{2N} = \sup\{S_{2N}\}, עם a1−a2=S2≤S≤a1a_1 - a_2 = S_2 \le S \le a_1.
**תת-הסדרה האי-זוגית:** מאחר ש-S2N=S2N−1−a2NS_{2N} = S_{2N-1} - a_{2N} ו-lim⁡a2N=lim⁡aN=0\lim a_{2N} = \lim a_N = 0,
lim⁡N→∞S2N−1=lim⁡N→∞(S2N+a2N)=S+0=S.\lim_{N\to\infty} S_{2N-1} = \lim_{N\to\infty}(S_{2N} + a_{2N}) = S + 0 = S.

מאחר ששתי תת-הסדרות (הזוגית והאי-זוגית) שואפות ל-SS, נובע lim⁡N→∞SN=S\lim_{N\to\infty} S_N = S. ולכן הטור מתכנס ל-SS, עם a1−a2≤S≤a1a_1 - a_2 \le S \le a_1.
הערה 1 — כתיב הטור המתחלף
∑n=1∞(−1)n+1an=a1−a2+a3−a4+⋯\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots
דוגמה — הטור ההרמוני המתחלף (התכנסות בתנאי)
הטור ההרמוני המתחלף
∑n=1∞(−1)n+1n=1−12+13−⋯\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots

כאן an=1na_n = \frac{1}{n} סדרה יורדת השואפת ל-00, ולכן ממבחן לייבניץ הטור מתכנס. אך הוא אינו מתכנס בהחלט (כי הטור ההרמוני ∑1n\sum\frac{1}{n} מתבדר), ולכן הוא מתכנס **בתנאי**.

טבלה (מתכנס / מתכנס בהחלט):
∑(−1)n+1n\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} — מתכנס ✓, בהחלט ✗ (בתנאי).
∑(−1)n+1n2\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} — מתכנס ✓, בהחלט ✓.
∑(−1)n+1n\sum \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} — מתכנס ✓, בהחלט ✗ (בתנאי).

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

ציטוט מקור

הגדרות ומשפטים מהרצאה

טקסט שחולץ בפועל מהקבצים — אם OCR לא קריא, מוצג סיכום מקושר.

1. משפטמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

משפטי בסיס מהרצאה

טורים אי־שליליים ומבחני השוואה

מבחן המנה ומבחן האינטגרל ,מבחן השורש

הרמוני וטורים עם לוגים pהטור ה־

כללי בחירה מהירים למבחן מתאים

התכנסות בתנאי ולייבניץ ,התכנסות בהחלט

השמת סוגריים וטעויות נפוצות

:מטרת הדף ותרגול 7 הרצאה ,6 הכללים וההערות החשובות מהרצאה ,סיכום קצר ומדויק של ה

2. משפטמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

משפטים

.- ללא דוגמאות חישוביות 7

:העיקרון המוביל אלא להחליט אם הוא מתכנס או מתבדר בעזרת ,”לחשב את סכום הטור“ לא מחפשים

.מבחן מתאים

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

1 עמוד · 2 חדו״א · 7 סיכום הרצאה ותרגול

6 חלק מקדים -

3. למהמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

למה זה נוסף .הרמוני pאינטגרל והטור ה־ ,מנה ,שורש ,מבחני השוואה :6 נשען על ה

4. משפטמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

משפט מבחן ההשוואה הגבולי - גרסה מלאה

:אם ,לטורים אי־שליליים

an≥0,bn>0,L=lim(an/bn)a_n \ge 0, b_n > 0, L = lim (a_n / b_n)

ו־

0<L<∞0 < L < \infty

:אז

מתכנס nbn_b Σ ⇔ מתכנס nan_a Σ

.שני הטורים בעלי אותה התנהגות התכנסות :המשמעות

.־הרמוניp זהו הכלי המרכזי להשוואה לטור מוכר כמו הרמוני או

מסקנות מהמבחן הגבולי

אם L=0L = 0 ו־ Σ bnb_n אז ,מתכנס Σ an.a_n .מתכנס

אם L=∞L = \infty ו־ Σ bnb_n אז ,מתבדר Σ an.a_n .מתבדר

:זהירות .אלו מסקנות חד־כיווניות בלבד

5. משפטמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

משפט עזר חסימה על ידי טור גיאומטרי

:אם קיים מספר

0≤q<10 \le q < 1

:והחל ממקום מסוים מתקיים

an≤qna_n \le q^n

:אז

Σ an<∞a_n < \infty

.זה הרעיון שמאחורי הוכחת מבחן השורש

.ברגע שמצליחים לחסום בטור גיאומטרי מתכנס - סיימנו

•

•

•

•

•

•

•

2 עמוד · 2 חדו״א · 7 סיכום הרצאה ותרגול

6. משפטמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

משפט מבחן השורש - ניסוח מהרצאה

:אם קיים

L=lim√[n]anL = lim √[n]{a_n}

בהרצאה הודגש שהמקרה L>1.L > 1 .מוביל להתבדרות דרך התנאי ההכרחי

.המבחן מתאים במיוחד לביטויים עם חזקות

7. משפטמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

משפט מבחן המנה - ניסוח מהרצאה

:אם הטור חיובי וקיים

L=lim(an+1/an)L = lim (a_{n+1}/a_n)

.מתאים במיוחד לעצרת ולמכפלות

.היחס בין איברים עוקבים מתנהג כמו יחס של טור גיאומטרי :הרעיון

8. משפטמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

משפט עזר השוואת יחסים

:אם החל ממקום מסוים מתקיים

an+1/an≤bn+1/bna_{n+1}/a_n \le b_{n+1}/b_n

והטור Σ bnb_n אז גם ,מתכנס Σ an.a_n .מתכנס

.זהו

9. למהמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

למה מבחן המנה עובד

.אלא במבחן המנה עצמו ,בפועל לרוב לא משתמשים בו ישירות

מצב

10. מסקנהמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

מסקנה

L<1L < 1 הטור מתכנס

L>1L > 1 ולכן הטור מתבדר ,0האיבר הכללי לא שואף ל־

L=1L = 1 אין

11. מסקנהמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

מסקנה

L<1L < 1 הטור מתכנס

L>1L > 1 ולכן הטור מתבדר ,0האיבר הכללי לא שואף ל־

L=1L = 1 אין

12. מסקנהמקור: שבוע 7 סיכום.pdf

מסקנה

•

•

•

•

3 עמוד · 2 חדו״א · 7 סיכום הרצאה ותרגול

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

Week 8

שבוע 8

התכנסות בהחלט/בתנאי + הוכח/הפרך (קלאסי למבחן!)

תרגול 8

תובנות שבועיות

8
שבוע 8תרגול 8 · התכנסות בהחלט/בתנאי + הוכח/הפרך (קלאסי למבחן!)
פתח

  • ⚠ תמיד לקרוא: האם נתון שהטור אי-שלילי? אם לא — כל האינטואיציות מתאפסות!

  • מבחן ההשוואה רק לטורים אי-שליליים.

  • לייבניץ: שלושה תנאים — an≥0a_n \geq 0, ana_n יורד, ו-an→0a_n \to 0. חסר 'יורד' — הטענה שגויה!

  • התכנסות בהחלט ⇒\Rightarrow התכנסות. ההפך לא נכון.

  • בתוך הרדיוס — מתכנס בהחלט תמיד. בקצוות — לבדוק ידנית.

  • שתילת אפסים: לדוגמה נגדית עם טור שאינו אי-שלילי.

  • טריק (a−b)2≥0(a-b)^2 \geq 0: כשרואים מכפלה — לחסום עם אי-שוויון הממוצעים (AM-GM).

חשוב למבחן

שאלות הוכח/הפרך מתרגול 8=8 = קלאסיות למבחן! מקס חזר על זה 7 פעמים!

קריטי למבחן

!

תרגילי הוכח/הפרך של תרגול 8 הם קלאסיים למבחן — מקס אמר את זה שבע פעמים!

תרגול 8

יש שם שש שאלות של הוכח או הפרך — תנסו השבוע לתת על זה פוש, בלי AI ובלי לרמות. אחרת במבחן אתם תלכו פה לאיבוד.

!

כשטור אינו אי-שלילי — כל האינטואיציות שפיתחתם לטורים חיוביים מתאפסות! זה עולם אחר לחלוטין.

תרגול 8

אתם חייבים בשיעורי הבית 8, במיוחד במבחן, לקרוא טוב טוב את השאלה. האם נתון שזה טור שלילי או לא נתון שזה טור שלילי?

!

לייבניץ דורש: (1) אי-שלילי, (2) יורד, (3) שואף לאפס. אם חסרה 'יורדת' — הטענה לא נכונה! בנה דוגמה נגדית עם סדרה קופצת.

תרגול 8

אם יוסי כתב את 'יורדת' בלייבניץ, זה לא סתם. הוא השתמש בזה בהוכחה.

!

מבחן ההשוואה (CT ו-LCT) — רק לטורים אי-שליליים! אסור להשתמש ישירות כשאין נתון על הסימן.

תרגול 8

מבחן ההשוואה הוא לטורים אי-שליליים. לא נתון שהטור אי-שלילי.

אינטואיציות שמקס הדגיש

תרגול 8טורים

∑1n ln⁡n\sum \frac{1}{n\,\ln n} — החוצץ החדש בין מתכנס למתבדר

הטור ∑1n\sum \frac{1}{n} מתבדר, אבל ∑1np\sum \frac{1}{n^p} מתכנס עבור p>1p>1. ביניהם יש שכבת לוגריתם: ∑1n ln⁡βn\sum \frac{1}{n\,\ln^\beta n} מתבדר עבור β≤1\beta \leq 1 ומתכנס עבור β>1\beta>1. זה החוצץ החדש!

∑n=2∞1n ln⁡βn\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\,\ln^\beta n}

מתכנס אם ורק אם β>1\beta > 1

אתם חייבים כבר לזכור את זה, זה יהיה מאוד מאוד רלוונטי. זה החוצץ החדש שלנו בין מתכנס למתבדר.

תרגול 8טורים, דוגמאות נגדיות

שתילת אפסים — טריק לדוגמאות נגדיות

כשבונים דוגמה נגדית לטור שאינו אי-שלילי: שתל אפסים במיקומים הזוגיים כדי לבטל את המינוסים. הטור נשאר מתבדר אבל an→0a_n \to 0.

כל פעם שמגיע מינוס, אני אתן לו אפס, והמינוס לא ישפיע. אם זו סדרה חיובית — שתל טור מתכנס במיקומים הזוגיים במקום אפסים.

תרגול 8דוגמאות נגדיות, טורים

רוצים לקפץ בסדרה? הפרד זוגי ואי-זוגי

כשרוצים לבנות סדרה שקופצת (לדוגמה נגדית), הטריק הוא להגדיר את ana_n אחרת לזוגי ואחרת לאי-זוגי. אסור (−1)n(-1)^n לסדרה אי-שלילית — אז משתמשים בהפרדת המקרים.

כל הזמן צריך לזכור, אתם רוצים לקפץ, תפרידו זוגי ואי זוגי. הזכרתי את זה שבוע שעבר, אני מזכיר את זה השבוע, אני אזכיר את זה שבוע הבא.

דוגמאות נגדיות

לייבניץ בלי 'יורדת' — הטענה שגויה

תרגול 8 · שבוע 8 · לייבניץ, טורים חלופיים

שגוי

הטענה

אם an≥0a_n \geq 0 ו-an→0a_n \to 0, אז ∑(−1)nan\sum (-1)^n a_n מתכנס

דוגמה נגדית

הגדר an=1/na_n = 1/n אם nn אי-זוגי, ו-an=1/n2a_n = 1/n^2 אם nn זוגי. אז an≥0a_n \geq 0 ו-an→0a_n \to 0, אבל ana_n לא יורדת (קופצת), והטור ∑(−1)nan\sum (-1)^n a_n מתבדר.

an=1ka_n = \frac{1}{k} אם n=2k−1n=2k-1, ו-an=1k2a_n = \frac{1}{k^2} אם n=2kn=2k

בסכום החלקי, האיברים האי-זוגיים מהווים זנב של ∑1k\sum \frac{1}{k} (מתבדר) ולא מתקזזים מספיק עם האיברים הזוגיים.

חשוב למבחן

המינוס לא עוזר אם הסדרה לא יורדת באופן מונוטוני!

זה אמור להיות מיידית, ברור שזו הטענה לא נכונה, זה אתם חייבים לדעת. עכשיו, הדוגמה הנגדית חייבת להיות משהו קופץ.

אם ∑an2\sum a_n^2 מתכנס אז ∑an/n\sum a_n/n מתכנס בהחלט — נכון!

תרגול 8 · שבוע 8 · התכנסות בהחלט, טורים

נכון

הטענה

אם ∑an2\sum a_n^2 מתכנס, אז ∑an/n\sum a_n/n מתכנס בהחלט

הוכחה

נשתמש ב-(a−b)2≥0(a-b)^2 \geq 0, כלומר a2+b2≥2aba^2+b^2 \geq 2ab. בחר a=∣an∣a=|a_n| ו-b=1/nb=1/n: אז ∣an∣/n≤(an2+1/n2)/2|a_n|/n \leq (a_n^2 + 1/n^2)/2. לכן ∑∣an∣/n≤12(∑an2+∑1/n2)\sum |a_n|/n \leq \tfrac{1}{2}\left(\sum a_n^2 + \sum 1/n^2\right). שני הטורים מתכנסים — הראשון נתון, והשני טור pp עם p=2p=2.

אני אגיד ככה, הטענה כן נכונה. אבל אתם לא אמורים לעלות על זה לבד כרגע.

∑an\sum a_n מתכנס אבל ∑∣an∣\sum |a_n| מתבדר — החוצץ n ln⁡nn\,\ln n

תרגול 8 · שבוע 8 · מבחן ההשוואה, טור עם לוגריתם

שגוי

הטענה

אם ∑an\sum a_n מתכנס, אז ∑∣an∣\sum |a_n| מתכנס

כל מה שצריך לשים פה זה n⋅ln⁡nn\cdot\ln n. החוצץ החדש שלנו בין מתכנס למתבדר.

הוספת סוגריים יכולה להפוך טור מתבדר למתכנס — אבל לא להיפך!

תרגול 8 · שבוע 8 · טורים, סוגריים

נכון

הטענה

לטור ∑(−1)n\sum (-1)^n (מתבדר) אפשר להוסיף סוגריים כדי שיתכנס

הוכחה

עם סוגריים: (1−1)+(1−1)+⋯=0+0+⋯=0(1-1)+(1-1)+\dots = 0+0+\dots = 0. אבל ההתכנסות הזו תלויה במיקום הסוגריים — הטור המקורי עדיין מתבדר.

הוספת סוגריים יכולה 'להציל' טור, אבל אסור להוריד סוגריים מטור שהוספנו לו אותם בלי הצדקה.

מבחן הסוגריים: אם הוספת סוגריים והטור מתבדר — הטור המקורי גם מתבדר. אבל ההפך לא נכון — אסור לשנות סדר אינסופי בלי הצדקה.

טעויות נפוצות

שימוש במבחן השוואה כשלא נתון שהטור אי-שלילי

שבוע 8

מבחן ההשוואה הוא לטורים אי-שליליים. לקרוא את השאלה!

הנחת לייבניץ בלי 'יורדת'

שבוע 8

אם יוסי כתב את 'יורד' — הוא השתמש בזה בהוכחה. זה לא פרט.

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט, מתכנסים בתנאי או מתבדרים.

1. ∑n=1∞[(arctan⁡(n)+sin⁡n1+cos⁡2n)⋅n3n]\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left( \frac{\arctan(n) + \sin n}{1 + \cos^2 n} \right) \cdot \frac{n}{3^n} \right]

פתרון:

נבדוק תחילה התכנסות בהחלט:

∑n=1∞∣(arctan⁡(n)+sin⁡n1+cos⁡2n)⋅n3n∣=∑n=1∞[∣arctan⁡(n)+sin⁡n∣1+cos⁡2n⋅n3n]\sum_{n=1}^{\infty} \left| \left( \frac{\arctan(n) + \sin n}{1 + \cos^2 n} \right) \cdot \frac{n}{3^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{|\arctan(n) + \sin n|}{1 + \cos^2 n} \cdot \frac{n}{3^n} \right]
≤∑n=1∞[∣arctan⁡(n)∣+∣sin⁡n∣1+cos⁡2n⋅n3n]\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{|\arctan(n)| + |\sin n|}{1 + \cos^2 n} \cdot \frac{n}{3^n} \right]

$$\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(left( \fr

2
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

תרגיל: קבעו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר

1−14+12−142+13−143+14−144+...1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4^3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4^4} + ...

פתרון: נשים סוגריים באופן הבא:

(1−14)+(12−142)+(13−143)+(14−144)+...\left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4^2}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4^3}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4^4}\right) + ...

קיבלנו את הטור

∑n=1∞(1n−14n)\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{4^n}\right)

זהו טור מתבדר, מכיוון שהוא מורכב מטור מתבדר פחות טור מתכנס, ולכן ממשפט השמת הסוגריים, גם הטור המקורי מתבדר.

---

תרגיל: נניח כי $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{

3
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי
2.הוכיחו כי ∑n=1∞1(2n−1)2=π28\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}

פתרון:

נשים לב כי מתקיים:

∑n=1∞1(2n)2=14∑n=1∞1n2=14⋅π26\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6}

היות שהטור ∑n=1∞1(2n−1)2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} מתכנס והטור ∑n=1∞1(2n)2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} מתכנס (ניתן להראות זאת בקלות על ידי מבחן ההשוואה הגבולי עם הטור ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}), אז:

∑n=1∞(1(2n−1)2+1(2n)2)=∑n=1∞1(2n−1)2+∑n=1∞1(2n)2\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n-1)^2} + \frac{1}{(2n)^2} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}

ולכ

4
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:

תהי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים.

1. אם ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n מתכנס, אזי ∑n=1∞ann\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} מתכנס בהחלט.

פתרון: הטענה לא נכונה.

דוגמה נגדית: נגדיר a1=0a_1 = 0 ולכל n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \geq 2:

an=(−1)n+1ln⁡na_n = \frac{(-1)^{n+1}}{\ln n}

נשים לב ש:

∑n=1∞an=∑n=2∞(−1)n+1ln⁡n\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\ln n}

מקיים את התנאים של המסקנה בתזכורת ולכן מתכנס, אבל:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left|\fracannfrac{a_n}{n}\right∣=right| = \sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln n} \cdot \frac{1}{n}\right∣=right| = \sum_{n=2}^{\infty}

5
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

## 3.

נניח כי (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה אי שלילית כך ש lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0, אזי הטור ∑n=1∞(−1)n+1an\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n מתכנס.

פתרון:

הטענה לא נכונה (חלק מהתנאים של משפט לייבניץ לא רשומים).

נבחר את הסדרה 1,0,12,0,13,0,…1, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, 0, \ldots

כלומר נבחר את הסדרה:

an={1kn=2k−10n=2k={2n+1n is odd0n is evena_n = \begin{cases} \frac{1}{k} & n = 2k - 1 \\ 0 & n = 2k \end{cases} = \begin{cases} \frac{2}{n+1} & n \text{ is odd} \\ 0 & n \text{ is even} \end{cases}

נשים לב כי lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0 כי הגבול של האיברים במקומות הזוגיים שווה לגבול של האיברים במקומות האי זוגיים ושניהם שווים לאפס.

נראה

שבוע 7שבוע 9