שבוע 8

טורי חזקות — הגדרה, רדיוס, תחום התכנסות

טור חזקותרדיוס התכנסותתחום התכנסותגזירת טורי חזקות
📖

הרצאה 8

חומר חדש

✏️

תרגול 8

מתרגל הרצאה 7

📋

מטלה 8

תרגול 8 + הרצאה 7

סיכום שבוע 8

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

  • בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד

  • בקצוות — יש לבדוק ידנית, ייתכן כל מצב

  • הסדר גורם: aₙ≥0 חיוני ל-Leibniz

טעויות נפוצות

  • שכחת בדיקת קצוות תחום ההתכנסות

  • הנחה שהתכנסות בתנאי → מתכנס מוחלט (שגוי)

כלים מרכזיים

  • הוכחת התכנסות בתנאי (Leibniz)

  • הוכחת אי-התכנסות מוחלטת

  • השוואת כוחות

  • מציאת כל x שבהם טור מתכנס (בהחלט/בתנאי/מתבדר)

  • שאלות על תחום התכנסות מלא עם בדיקת קצוות

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 8

סדר הבדיקות לטורים עם $(-1)^n$: קודם בדקי מוחלטת, אחר-כך לייבניץ.

מה לחזור קודם

  • כל המבחנים הקודמים

  • הגדרת ערך מוחלט

חובה לשנן

  • התכנסות מוחלטת: an\sum |a_n| מתכנס

  • התכנסות מוחלטת ← התכנסות רגילה (לא להפך!)

  • מבחן לייבניץ: bnb_n יורד ו-bn0b_n \to 0(1)nbn\sum (-1)^n b_n מתכנס

כלים מרכזיים

  • התכנסות מוחלטת

  • מבחן לייבניץ

טעויות נפוצות

  • לחשוב שהתכנסות רגילה ← מוחלטת

  • לא לבדוק שגם bnb_n יורדת מונוטונית לפני לייבניץ

  • לבלבל מוחלטת ומותנית

סדר לימוד מומלץ

  1. 1

    הגדרת התכנסות מוחלטת

  2. 2

    למה מוחלטת ← רגילה (הוכחת הגדרה)

  3. 3

    הגדרת התכנסות מותנית

  4. 4

    מבחן לייבניץ — תנאים ואיך לזהות

  5. 5

    (1)n+1/n\sum (-1)^{n+1}/n: לייבניץ — מותנית; 1/n\sum 1/n מתבדר — לא מוחלטת

סיכום שבוע 8

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

להבין את ההבדל בין התכנסות מוחלטת למותנית, ולדעת להפעיל את מבחן לייבניץ.

העיקרון המוביל

כשיש (1)n(-1)^n — קודם נסי מוחלטת. אם לא — נסי לייבניץ. אל תפעילי לייבניץ לפני שבדקת מוחלטת.

בנוי על: כל מבחני שבוע 7 — הם נחוצים לבדיקת $\sum |a_n|$

עץ החלטות — מה אני מסיקה?

כן ✓

an0a_n \to 0

כן ✓

an<\sum |a_n| < \infty

מתכנס מוחלטת
לא ✗

an=\sum |a_n| = \infty

כן ✓

שני התנאים ✓

מתכנס מותנית
לא ✗

תנאי לא מתקיים

מתבדר
לא ✗

an↛0a_n \not\to 0

הטור מתבדר

an\sum a_n מתכנס מוחלטת אם an\sum |a_n| מתכנס.

למה זה נוסף?

זוהי צורת ההתכנסות ה"חזקה". אם הטור מתכנס גם בלי לתת לסימנות לבטל — הוא בטוח מתכנס.

אינטואיציה

דמייני שכל האיברים חיוביים — הטור עדיין מסתדר. זה הרבה חזק יותר מהתכנסות רגילה שמסתמכת על ביטולי סימנות.

הערות חשובות

  • משפט: מוחלטת \Rightarrow התכנסות רגילה. ההפך לא נכון.

  • לכן: אם הוכחת מוחלטת — סיימת. אין צורך בלייבניץ.

דוגמה

(1)nn2\sum \dfrac{(-1)^n}{n^2}: 1n2\sum \dfrac{1}{n^2} מתכנס (p=2>1)(p=2>1). לכן מוחלטת.

an\sum a_n מתכנסת מותנית אם: (1) an\sum a_n מתכנס, אך (2) an\sum |a_n| מתבדר.

למה זה נוסף?

מציינת מצב ביניים — הטור מתכנס רק בזכות ביטול בין חיוביים לשליליים, לא בזכות 'קטנות' אמיתית.

אינטואיציה

כמו קבוצה שמתאזנת רק כי כל חוב מקוזז מיד. אם נסדר מחדש את הסדר — האיזון יתמוטט.

טעות נפוצה

משפט ריארנז'מנט של רימן: כל טור מתכנס מותנית ניתן לסדר מחדש כך שיתכנס לכל מספר שנרצה — או אפילו יתבדר. לכן אל תשני סדר בטורים מותניים!

דוגמה

(1)n+1n=112+13=ln2\sum \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \cdots = \ln 2. מתכנס (לייבניץ). 1n\sum \tfrac{1}{n} מתבדר. לכן מותנית.

יהי n=1(1)n+1bn\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n עם bn>0b_n > 0. אם:

  1. bnb_n יורדת מונוטונית: bn+1bnb_{n+1} \le b_n

  2. limnbn=0\lim_{n\to\infty} b_n = 0

אז הטור מתכנס. ובנוסף: SSNbN+1|S - S_N| \le b_{N+1} (הערכת שגיאה).

למה זה נוסף?

כשהמבחנים של שבוע 7 לא עובדים (כי an\sum |a_n| מתבדר), לייבניץ נותן קריטריון להתכנסות מותנית.

אינטואיציה

הסכומים החלקיים S1,S2,S3,S_1, S_2, S_3, \ldots מקפצים: גדול, קטן, גדול, קטן... אבל הקפיצות קטנות ומתאפסות — לכן מתכנסים לגבול.

מתי להשתמש?

רק אחרי שבדקת ש-an\sum |a_n| מתבדר. אל תפעילי לפני.

הערות חשובות

  • צריך לבדוק שניהם: יורדת וגם bn0b_n \to 0.

  • לפעמים יורדת רק מ-n=kn = k גדול מסוים — זה בסדר (זנב).

  • הערכת שגיאה: SSNbN+1|S - S_N| \le b_{N+1} שימושית בשאלות קירוב.

טעות נפוצה

לא בדקת שיורדת מונוטונית? לייבניץ לא תקף! לדוגמה: bn=1/nb_n = 1/n עם b1>b2>b_1 > b_2 > \cdots — צריך לאמת, לא רק להניח.

דוגמה

n=1(1)n+1n\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}: bn=1/nb_n = 1/\sqrt{n}. יורדת? כן, 1/n+1<1/n1/\sqrt{n+1} < 1/\sqrt{n}. bn0b_n \to 0? כן. לכן מתכנס (מותנית — כי 1/n=1/n1/2\sum 1/\sqrt{n} = \sum 1/n^{1/2} מתבדר, p=1/2<1p=1/2 < 1).

צעד 1: תנאי הכרחי — an0a_n \to 0? אם לא — מתבדר.

צעד 2: נסי מוחלטת — an\sum |a_n| מתכנס? השתמשי בכל מבחני שבוע 7.

צעד 3: אם לא מוחלטת — האם (1)nbn\sum (-1)^n b_n ותנאי לייבניץ?

צעד 4: אם כן — מתכנס מותנית. אם לא — מתבדר.

אינטואיציה

הסדר הזה לא מקרי: הוא הולך מהחזק לחלש. כשמצאת מוחלטת — סיימת. כשלא — ניסית להציל.

הערות חשובות

  • סיכום: an<\sum |a_n| < \infty ← מוחלטת ← מתכנס.

  • סיכום: an=\sum |a_n| = \infty, לייבניץ ← מותנית.

  • אם גם לייבניץ נכשל — מתבדר.

בטור לייבניץ: S2NS_{2N} עולה מונוטונית וחסומה מעל. S2N1S_{2N-1} יורדת ומחסומה מתחת. שניהם שואפים לאותו גבול SS.

אינטואיציה

הסכומים הזוגיים 'מתקרבים מלמטה' והסכומים האי-זוגיים 'מתקרבים מלמעלה'. כמו מספריים שמתכנסים לנקודה אחת.

הערות חשובות

  • זה הרעיון שעומד מאחורי הוכחת לייבניץ — מונוטוני-חסום על כל אחת מהסדרות.

  • מכאן גם השגיאה: SSNaN+1=bN+1|S - S_N| \le |a_{N+1}| = b_{N+1}.

תרשים שבוע 8

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

טור חזקות סביב x₀

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

משפט

משפט הרדיוס

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

נוסחה

R = 1/limsup|aₙ|^(1/n)

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

מה מסיקים

בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 8 — חומר חדש

הגדרות

  • טור חזקות סביב x₀

  • רדיוס התכנסות R

משפטים

  • משפט הרדיוס

  • גזירת טור חזקות שומרת על R

  • אינטגרציה של טור חזקות

נוסחאות מפתח

R = 1/limsup|aₙ|^(1/n)

Σaₙxⁿ גזיר ← Σnaₙxⁿ⁻¹ עם אותו R

חשוב למבחן

רדיוס התכנסות — שאלה שכיחה

חשוב למבחן

גזירה/אינטגרציה טור — כלי לחישוב סכומים

מקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

✏️ תרגול

תרגול 8 · מתרגל הרצאה 7

הבחנה בין התכנסות מוחלטת לבין התכנסות בתנאי, הוכחות Leibniz, וטורים חלופיים.

טכניקות

  • הוכחת התכנסות בתנאי (Leibniz)

  • הוכחת אי-התכנסות מוחלטת

  • השוואת כוחות

חובה לתרגל

  • מציאת כל x שבהם טור מתכנס (בהחלט/בתנאי/מתבדר)

  • שאלות על תחום התכנסות מלא עם בדיקת קצוות

  • הוכחת התכנסות בתנאי vs מוחלטת

טעויות נפוצות

  • שכחת בדיקת קצוות תחום ההתכנסות

  • הנחה שהתכנסות בתנאי → מתכנס מוחלט (שגוי)

מסקנות

בתוך רדיוס ההתכנסות — מוחלט תמיד

בקצוות — יש לבדוק ידנית, ייתכן כל מצב

הסדר גורם: aₙ≥0 חיוני ל-Leibniz

📋 מטלה

אין ניתוח מטלה לשבוע זה

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

ציטוט מקור

הגדרות ומשפטים מהרצאה

טקסט שחולץ בפועל מהקבצים — אם OCR לא קריא, מוצג סיכום מקושר.

1. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפטים עם אינטואיציה — חלק ב׳

טור חזקות — 1

2. הגדרהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

הגדרה )8 הרצאה + 9 תרגול(

:ניסוח תהי (aₙ) סדרה של מספרים ממשיים ותהי x₀ ∈ ℝ טור החזקות של . (aₙ) סביב x₀ :הוא

Σ(n=0→∞) aₙ · (x−x₀)ⁿ = a₀ + a₁(x−x₀) + a₂(x−x₀)² + ...

תחום ההתכנסות הוא קבוצת כל ערכי x .שעבורם הטור מתכנס

אינטואיציה

פונקציה בפרמטר“ טור חזקות הוא x המרכז .” x₀ והמקדמים ,הוא נקודת המדידה aₙ .קובעים את העוצמה של כל חזקה

הטור מתכנס תמיד במרכז — 1

3. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )8 הרצאה(

:ניסוח הטור תמיד מתכנס בנקודה x = x₀ לערך , a₀ .

aₙ · (x₀ − x₀)ⁿ = aₙ · 0ⁿ = 0 for n ≥ 1

:לכן נשאר רק האיבר הראשון a₀ .

אינטואיציה

.תמיד יש לפחות נקודה אחת שבה הוא מתכנס .טור חזקות לא מתבדר בכל מקום :זו נקודת העוגן

רדיוס ההתכנסות — 2

4. הגדרהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

הגדרה )8 הרצאה(

:ניסוח יהי Σ aₙ(x−x₀)ⁿ :רדיוס ההתכנסות מוגדר כך .טור חזקות

R = sup { r ≥ 0 : the series converges absolutely for every x ∈ [x₀−r, x₀+r] }

אינטואיציה

R סביב ”רדיוס האזור הבטוח“ הוא x₀ המנה או בזיהוי/משתמשים בנוסחאות השורש ;בפועל כמעט לא מחשבים סופרמום .

.מבנה

מתכנס בהחלט ⇒ קרוב יותר למרכז — 2

5. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )8 הרצאה(

:ניסוח יהיו x₁, x₂ ∈ ℝ כך ש־ |x₂−x₀| < |x₁−x₀| אם . Σaₙ(x₁−x₀)ⁿ אז ,מתכנס Σaₙ(x₂−x₀)ⁿ .מתכנס בהחלט

אינטואיציה

הוא שורד ,אם הטור שורד רחוק יותר .זה ה

6. למהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

למה תחום ההתכנסות הוא קטע ולא אוסף נקודות מפוזר

.בהחלט בכל נקודה קרובה יותר

3

:

7. מסקנהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

מסקנה קריטית .הכול בהחלט — בתוך הרדיוס .התכנסות בתנאי יכולה להופיע רק בקצוות

4

:חשוב אם הגבול L .לא משתמשים בנוסחה הזו — לא קיים

שלושת המקרים של רדיוס ההתכנסות — 3

8. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )8 הרצאה(

:ניסוח לכל טור חזקות קיים R ∈ [0,∞] :כך ש

מקרה מה קורה

R = ∞ הטור מתכנס בהחלט לכל x ∈ ℝ .

R = 0 הטור מתכנס רק במרכז x = x₀ ומתבדר לכל , x ≠ x₀ .

0 < R < ∞ |x−x₀| < R ;מתכנס בהחלט ⇒ |x−x₀| > R ;מתבדר ⇒ |x−x₀| = R .לבדוק בנפרד ⇒

אינטואיציה

.והקצוות הם נקודת השאלה ,מחוץ לו התבדרות ,יש קטע ברור של התכנסות :”המפה המלאה“ זו

מבחן השורש לרדיוס :קושי־הדמר — 4

9. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )8 הרצאה(

:ניסוח :במובן הרחב ,אם קיים הגבול

L = lim(n→∞) ⁿ√|aₙ|

:אז

L = 0 → R = ∞ | L = ∞ → R = 0 | 0<L<∞ → R = 1/L

אינטואיציה

:לפי מבחן השורש ⁿ√|aₙ(x−x₀)ⁿ| = ⁿ√|aₙ| · |x−x₀| → L·|x−x₀| לכן ההתכנסות מתקבלת כאשר הביטוי קטן .

.1מ־

מבחן המנה לרדיוס — הערה )9 תרגול(

:ניסוח :אם קיים

L = lim(n→∞) |aₙ₊₁ / aₙ|

אז R = 1/L .לפי אותם חוקים של מבחן השורש

אינטואיציה

מבחן המנה נוח כשיש עצרת n! מבחן השורש נוח כשיש .או מכפלות n√ או nⁿ .

5

:זהירות כאשר R₁ = R₂ .יכול לקרות ביטול בין המקדמים .אי אפשר להסיק מראש מה הרדיוס של הסכום —

דוגמאות מהירות לטור גיאומטרי

טור זיהוי

10. מסקנהמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

מסקנה

Σ(−1)ⁿx²ⁿ t = −x² |t|<1 → −1<x<1 :והסכום , 1/(1+x²) .

Σ((2x+3)/4)²ⁿ t = ((2x+3)/4)² |t|<1 → −3.5<x<0.5 ולכן , x₀=−1.5 , R=2 .

:סיכום בשורה אחת מה x₀ ? ← מה R ? ← ?מה קורה בקצוות ←

?מה הסכום :אם גיאומטרי

הפרש שני טורי חזקות / סכום —

11. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )9 תרגול(

:ניסוח יהיו Σaₙxⁿ , Σbₙxⁿ עם רדיוסי התכנסות R₁, R₂ אם . R₁ ≠ R₂ :אז ,

R(aₙ ± bₙ) = min { R₁ , R₂ }

אינטואיציה

.ולכן הסכום או ההפרש מתבדרים ,בין הרדיוסים אחד כבר מתבדר .בתוך הרדיוס הקטן שני הטורים מתכנסים

השוואת טורי חזקות —

12. משפטמקור: calculus2_week9_RTL_polished.pdf

משפט )9 תרגול(

:ניסוח יהיו Σaₙ(x−x₀)ⁿ , Σbₙ(x−x₀)ⁿ עם רדיוסי התכנסות R₁, R₂ אם . |aₙ| ≤ |bₙ| לכל n ≥ 0 אז , R₁ ≥ R₂ .

אינטואיציה

גם הטור הקטן ,בכל מקום שבו הטור הגדול מתכנס בהחלט .מקדמים קטנים יותר מאפשרים אזור התכנסות גדול יותר

.מתכנס בהחלט לפי השוואה

זיהוי טור גיאומטרי — כלי )9 תרגול(

:ניסוח אם אפשר לסדר את הטור לצורה Σtⁿ כאשר , t תלוי ב־ x :אז ,

Σ(n=0→∞) tⁿ = 1 / (1 − t), בתנאי |t| < 1

מחלצים מ־ |t|<1 את תחום ה־ x ומשם מזהים את , x₀ ואת R .

אינטואיציה

.הוא נותן גם תחום התכנסות וגם סכום מפורש בצעד אחד :זה הכלי המהיר ביותר

6

שאלות מהתרגול

1
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט, מתכנסים בתנאי או מתבדרים. ∞ ∑ n=1 [( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ] .1 פתרון: נבדוק תחילה התכנסות בהחלט ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=1 [∣ ∣arctan (n) + sin n∣ ∣ · 1 1 + cos2 n · n 3n ] 4 ≤ ∞ ∑ n=1 [(∣ ∣arctan (n)∣ ∣ + ∣ ∣sin n∣ ∣) · 1 1 + cos2 n · n 3n ] ≤ ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · 1 1 + 0 · n 3n ] = ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · n 3n ] = ( π 2 + 1 ) ∞ ∑ n=1 n 3n מתכנס. נראה זאת על ידי מבחן השורש ∞ ∑ n=1 n 3n הטור lim n→∞ n √ n 3n = lim n→∞ n 1 n 3 = AOL 1 3 < 1 ולכן ממבחן ההשוואה הטור ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1

2
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

תרגיל: קבעו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר 1 − 1 4 + 1 2 − 1 42 + 1 3 − 1 43 + 1 4 − 1 44 + ... פתרון: נשים סוגריים באופן הבא: ( 1 − 1 4 ) + ( 1 2 − 1 42 ) + ( 1 3 − 1 43 ) + ( 1 4 − 1 44 ) + ... קיבלנו את הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 n − 1 4n ) זהו טור מתבדר, מכיוון שהוא מורכב מטור מתבדר פחות טור מתכנס, ולכן ממשפט השמת הסוגריים, גם הטור המקורי מתבדר. תרגיל: . ∞ ∑ n=1 1 n2 = π2 6 נניח כי . ∞ ∑ n=1 1 n2 = ∞ ∑ n=1 [ 1 (2n−1)2 + 1 (2n)2 ] 1. הוכיחו כי פתרון: מתכנס, אז ממשפט השמת הסוגריים נקבל כי ∞ ∑ n=1 1 n2 היות שהטור ∞ ∑ n=1 1 n2 = ( 1 + 1 22 ) + ( 1 32 + 1 42 ) + ... = ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) 6

3
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

. ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 = π2 8 2. הוכיחו כי פתרון: נשים לב כי מתקיים ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 = 1 4 ∞ ∑ n=1 1 n2 = 1 4 · π2 6 מתכנס )ניתן להראות זאת ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 מתכנס והטור ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 היות שהטור (, אז ∞ ∑ n=1 1 n2 בקלות על ידי מבחן ההשוואה הגבולי עם הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) = AOS ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 + ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 ולכן מהסעיף הראשון נקבל כי π2 6 = ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 + 1 4 · π2 6 ולכן ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 = 3 4 · π2 6 = π2 8 . ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 = π2 12 3. הוכיחו כי פתרון: מתכנס )טור לייבניץ(, אז ממשפט השמת הסוגריים ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 היות שהטור נקבל כי ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 =

4
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: סדרה של מספרים ממשיים. (an)∞ n=1 תהי מתכנס בהחלט. ∞ ∑ n=1 an n מתכנס, אזי ∞ ∑ n=1 an 1. אם פתרון: הטענה לא נכונה. נגדיר 2 ≤ n ∈ N ולכל a1 = 0 דוגמא נגדית: an = (−1)n+1 ln n נשים לב ש ∞ ∑ n=1 an = ∞ ∑ n=2 (−1)n+1 ln n מקיים את התנאים של המסקנה בתזכורת ולכן מתכנס, אבל ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ an n ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ [ (−1)n ln n ] n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=2 1 n ln n = ∞ לא מתכנס בהחלט. ∞ ∑ n=1 an n ולכן מתכנס בהחלט. ∞ ∑ n=1 an n מתכנס, אזי ∞ ∑ n=1 a2 n 2. אם פתרון: הטענה נכונה. מתקיים n ∈ N נשים לב שלכל ( | an | − 1 n )2 ≥ 0 ⇒ a2 n − 2 | an | n + 1 n2 ≥ 0 ⇒ | an

5
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

∞ ∑ n=1 (−1) n+1an , אזי הטור lim n→∞an = 0 סדרה אי שלילית כך ש (an)∞ n=1 3. נניח כי מתכנס. פתרון: הטענה לא נכונה )חלק מהתנאים של משפט לייבניץ לא רשומים(. .1, 0, 1 2 , 0, 1 3 , ... נבחר את הסדרה כלומר נבחר את הסדרה an = { 1 k n = 2k − 1 0 n = 2k = { 2 n+1 n is odd 0 n is even כי הגבול של האיברים במקומות הזוגיים שווה לגבול של lim n→∞an = 0 נשים לב כי האיברים במקומות האי זוגיים ושניהם שווים לאפס. נראה כי הטור מתבדר ∞ ∑ n=1 (−1) n+1an = 1 + 0 + 1 2 + 0 + 1 3 + 0 + ... נשים סוגריים באופן הבא: (1 + 0) + ( 1 2 + 0 ) + ( 1 3 + 0 ) .. קיבלנו את הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 n + 0 ) = ∞ ∑ n=1 1 n זהו טור מתבדר, ולכ

6
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט, מתכנסים בתנאי או מתבדרים. ∞ ∑ n=1 [( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ] .1 פתרון: נבדוק תחילה התכנסות בהחלט ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=1 [∣ ∣arctan (n) + sin n∣ ∣ · 1 1 + cos2 n · n 3n ] 4 ≤ ∞ ∑ n=1 [(∣ ∣arctan (n)∣ ∣ + ∣ ∣sin n∣ ∣) · 1 1 + cos2 n · n 3n ] ≤ ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · 1 1 + 0 · n 3n ] = ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · n 3n ] = ( π 2 + 1 ) ∞ ∑ n=1 n 3n מתכנס. נראה זאת על ידי מבחן השורש ∞ ∑ n=1 n 3n הטור lim n→∞ n √ n 3n = lim n→∞ n 1 n 3 = AOL 1 3 < 1 ולכן ממבחן ההשוואה הטור ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1

7
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

תרגיל: קבעו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר 1 − 1 4 + 1 2 − 1 42 + 1 3 − 1 43 + 1 4 − 1 44 + ... פתרון: נשים סוגריים באופן הבא: ( 1 − 1 4 ) + ( 1 2 − 1 42 ) + ( 1 3 − 1 43 ) + ( 1 4 − 1 44 ) + ... קיבלנו את הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 n − 1 4n ) זהו טור מתבדר, מכיוון שהוא מורכב מטור מתבדר פחות טור מתכנס, ולכן ממשפט השמת הסוגריים, גם הטור המקורי מתבדר. תרגיל: . ∞ ∑ n=1 1 n2 = π2 6 נניח כי . ∞ ∑ n=1 1 n2 = ∞ ∑ n=1 [ 1 (2n−1)2 + 1 (2n)2 ] 1. הוכיחו כי פתרון: מתכנס, אז ממשפט השמת הסוגריים נקבל כי ∞ ∑ n=1 1 n2 היות שהטור ∞ ∑ n=1 1 n2 = ( 1 + 1 22 ) + ( 1 32 + 1 42 ) + ... = ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) 6

8
בינוניגבולותהתכנסות-בהחלטהתכנסות-בתנאי

. ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 = π2 8 2. הוכיחו כי פתרון: נשים לב כי מתקיים ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 = 1 4 ∞ ∑ n=1 1 n2 = 1 4 · π2 6 מתכנס )ניתן להראות זאת ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 מתכנס והטור ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 היות שהטור (, אז ∞ ∑ n=1 1 n2 בקלות על ידי מבחן ההשוואה הגבולי עם הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) = AOS ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 + ∞ ∑ n=1 1 (2n)2 ולכן מהסעיף הראשון נקבל כי π2 6 = ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 + 1 4 · π2 6 ולכן ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)2 = 3 4 · π2 6 = π2 8 . ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 = π2 12 3. הוכיחו כי פתרון: מתכנס )טור לייבניץ(, אז ממשפט השמת הסוגריים ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 היות שהטור נקבל כי ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 n2 =