שבועותשבוע 3

שבוע 3

סדרות — הגדרה, גבולות, מונוטוניות

סדרותגבול סדרהסדרות מונוטוניותסדרה חסומה

פתחי סיכום שבוע 3

📖

הרצאה 2

חומר חדש

→

✏️

תרגול 3

מתרגל הרצאה 2

→

📋

מטלה 3

תרגול 3 + הרצאה 2

הערות קהילה

מה הסטודנטים שמו לב אליו

טוען הערות...

סיכום שבוע 3

לפני שמתחילים

מסקנות מרכזיות

MVT: פונקציה גזירה בקטע סגור — קיים נקודה פנימית שבה הנגזרת שווה לשיפוע הממוצע
פיתוח טיילור = כלי מרכזי לחישוב גבולות ואינטגרלים

טעויות נפוצות

שגיאה בפיתוח נגזרת סינוס/קוסינוס מסדר n
שכחת תנאי המשפט (רציפות, גזירות בקטע)
בלבול בין MVT של קושי לרגיל

כלים מרכזיים

נגזרת מסדר n
MVT
רול
פיתוח טיילור עם שארית
חישוב נגזרת מסדר n של פונקציות בסיסיות

מדריך לימוד

איך ללמוד שבוע 3

בכל אינטגרל — קודם זהי צורה מהטבלה, אחר-כך הצבה, ורק אז בחלקים.

מה לחזור קודם

כללי גזירה ונגזרות בסיסיות
המשפט היסודי מאינפי 1

חובה לשנן

פונקציה קדומה: $F'(x)=f(x)$ ; אינטגרל לא מסוים $\int f = F + C$
שתי קדומות של אותה פונקציה נבדלות בקבוע בלבד
אינטגרציה בחלקים: $\int u'v = uv - \int uv'$
הצבה: $\int g(F(x))F'(x)\,dx = \int g(t)\,dt$
אינטגרביליות: $\underline I(f) = \overline I(f)$ ; רציפה על קטע סגור ⇐ אינטגרבילית

כלים מרכזיים

אינטגרציה בחלקים
הצבה (שינוי משתנה)
סכומי רימן (עליון/תחתון)

טעויות נפוצות

לשכוח את הקבוע $+C$ באינטגרל לא מסוים
לבלבל בין הסכום העליון ( $M_k$ ) לסכום התחתון ( $m_k$ )
להניח שכל פונקציה אינטגרבילית

סדר לימוד מומלץ

1
פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים + לינאריות
2
אינטגרציה בחלקים
3
הצבה (שינוי משתנה)
4
חלוקה וסכומי רימן עליון/תחתון
5
אינטגרביליות (עליון=תחתון); רציפה ⇒ אינטגרבילית

סיכום שבוע 3

חומר, הגדרות ומבחנים

מטרת הסף

לשלוט בחישוב אינטגרלים לא מסוימים: טבלת אינטגרלים, החלפת משתנה, ואינטגרציה בחלקים.

העיקרון המוביל

בכל אינטגרל — תחילה זהי את הצורה: האם זה דפוס ישיר מהטבלה? החלפה לינארית? החלפה קוסמטית? דפוס $f'/f$ או $f \cdot f'$ ? רק אם לא — עברי לחלקים.

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

\int e^x\,dx = e^x + C

\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C

\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C, \quad \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C

אינטואיציה

אלה הלבנים הבסיסיות. כל אינטגרל מורכב בסוף מתפרק לאחת מהצורות הללו.

מתי להשתמש?

תמיד — בדקי תחילה אם האינטגרל הוא ישיר מהטבלה לפני כל שיטה אחרת.

אם $f(x) = g(ax+b)$ , הנח $t = ax+b$ , אז $dt = a\,dx$ ולכן $dx = dt/a$ :

\int g(ax+b)\,dx = \frac{1}{a} \int g(t)\,dt

אינטואיציה

ארגומנט לינארי מאפשר 'לפשט' בלי לשנות את מבנה הפונקציה — רק מחלקים בקצב שינוי הארגומנט.

מתי להשתמש?

כשהארגומנט הוא $ax+b$ (לינארי). לדוגמה: $\int e^{3x}\,dx$ , $\int \sin(2x+1)\,dx$ .

הערות חשובות

לא לשכוח לחלק ב- $a$ !
עבור $a=1$ — אין שינוי (כי $dx = dt$ ).

דוגמה

$\int e^{3x}\,dx$ : $t = 3x$ , $dx = dt/3$ . $\int e^t \cdot dt/3 = e^t/3 + C = e^{3x}/3 + C$ .

כשהארגומנט לא לינארי, הנח $t = h(x)$ ובטא את $dx$ בעזרת $dt = h'(x)\,dx$ :

dx = \frac{dt}{h'(x)}

המטרה: לכתוב את כל האינטגרל בפונקציה של $t$ בלבד.

אינטואיציה

הדוגמה הקלאסית: $\int f(\sqrt{x})\,dx$ . הנח $t = \sqrt{x}$ , אז $x = t^2$ , $dx = 2t\,dt$ . כל $\sqrt{x}$ הופך ל- $t$ .

מתי להשתמש?

כשיש שורש, לוגריתם, או ביטוי שקשה לטפל בו ישירות.

הערות חשובות

בסוף תמיד מחזירים ל- $x$ בהחלפה הפוכה.
ניתן גם להניח $t = x^2$ , $t = e^x$ , וכו' לפי הצורה.

דוגמה

$\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\,dx$ : $t = \sqrt{x}$ , $dx = 2t\,dt$ . $\int \frac{2t\,dt}{t(1+t)} = 2\int \frac{dt}{1+t} = 2\ln|1+t| + C = 2\ln(1+\sqrt{x}) + C$ .

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C

למה זה נוסף?

זהו מקרה פרטי של החלפה $t = f(x)$ , $dt = f'(x)\,dx$ . התוצאה תמיד $\ln|t| = \ln|f(x)|$ .

אינטואיציה

תזהי: 'האם המונה הוא נגזרת המכנה (עד לקבוע)?' — אם כן, התוצאה היא $\ln|f(x)|$ .

מתי להשתמש?

כל אינטגרל שבר שבו המונה הוא נגזרת המכנה. לדוגמה: $\int \frac{2x}{x^2+1}$ , $\int \frac{\cos x}{\sin x}$ .

דוגמה

$\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$ (כי $(x^2+1)' = 2x$ ).

\int f(x) \cdot f'(x)\,dx = \frac{[f(x)]^2}{2} + C

אינטואיציה

זה $\int t\,dt = t^2/2$ עם $t = f(x)$ .

מתי להשתמש?

כשרואים פונקציה כפול נגזרתה: $\sin x \cos x$ , $x \cdot \sqrt{1+x^2}$ .

דוגמה

$\int \sin x \cos x\,dx = \frac{\sin^2 x}{2} + C$ (כי $f = \sin x$ , $f' = \cos x$ ).

\int u\,dv = uv - \int v\,du

הכלל: בחרי $u$ ו- $dv$ כך ש- $\int v\,du$ פשוט יותר מ- $\int u\,dv$ .

למה זה נוסף?

נגזרת מכפלה: $(uv)' = u'v + uv'$ . אינטגרל: $uv = \int u'v + \int uv'$ . לכן $\int uv' = uv - \int u'v$ .

אינטואיציה

IBP מחליפה אינטגרל 'קשה' $\int u\,dv$ באינטגרל (מקווים) 'קל' $\int v\,du$ .

מתי להשתמש?

מכפלות של: פולינום × $e^x$ , פולינום × $\sin/\cos$ , $\ln x$ לבד, $\arctan x$ לבד.

הערות חשובות

כלל LIATE לבחירת $u$ : ** $L**og, **I**nverse trig, **A**lgebra ($ פולינום), Trig, Exponential — לוגריתם ראשון!
לפעמים צריך IBP פעמיים.
לפעמים האינטגרל חוזר — אז מוסיפים לשני הצדדים ומחלקים.

דוגמה

$\int x e^x\,dx$ : $u = x$ , $dv = e^x\,dx$ . $du = dx$ , $v = e^x$ . $= xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$ .

אם אחרי IBP מקבלים \int I = \text{ביטוי} - c \cdot \int I, אז:

\int I + c \cdot \int I = \text{ביטוי} \implies \int I = \frac{\text{ביטוי}}{1+c}

אינטואיציה

האינטגרל 'זזה' מצד לצד ונוצרת משוואה. פותרים אותה אלגברית.

דוגמה

$\int e^x \cos x\,dx$ : IBP עם $u=e^x$ , $dv=\cos x$ : $= e^x \sin x - \int e^x \sin x$ . IBP שוב: $= e^x \sin x - (-e^x \cos x + \int e^x \cos x)$ . לכן $2\int e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$ , $\int = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$ .

תרשים שבוע 3

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

הגדרה

גבול סדרה (ε-N)

מגדירה את האובייקט שעליו מותר לעבוד בהמשך השבוע.

←

משפט

כל סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת

נותן תנאים שמאפשרים להסיק תוצאה בלי לפתור מאפס.

←

נוסחה

$lim (1+1/n)^n = e$

הופכת את המשפט לכלי חישוב/זיהוי בתרגילים.

←

מה מסיקים

MVT: פונקציה גזירה בקטע סגור — קיים נקודה פנימית שבה הנגזרת שווה לשיפוע הממוצע

זו המסקנה שצריך לקחת לתרגול, מטלות ומבחני עבר.

📖 הרצאה

הרצאה 2 — חומר חדש

הגדרות

גבול סדרה (ε-N)
סדרה מונוטונית
סדרה חסומה
סדרת קושי

משפטים

כל סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת
משפט ה-Squeeze

נוסחאות מפתח

$lim (1+1/n)^n = e$

$lim n^(1/n) = 1$

חשוב למבחן

שאלות על סדרות רקורסיביות — מונוטוניות + גבול

חשוב למבחן

Squeeze theorem שכיח בסדרות

מקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

✏️ תרגול

תרגול 3 · מתרגל הרצאה 2

חישוב נגזרות מסדר n, יישום MVT ומשפטי רול ולגרנז', ופיתוח טיילור של מחלקה ראשונה.

טכניקות

נגזרת מסדר n
MVT
רול
פיתוח טיילור עם שארית

חובה לתרגל

חישוב נגזרת מסדר n של פונקציות בסיסיות
יישום MVT להוכחת אי-שוויונות
הוכחות ב-ε-δ על גבולות

טעויות נפוצות

שגיאה בפיתוח נגזרת סינוס/קוסינוס מסדר n
שכחת תנאי המשפט (רציפות, גזירות בקטע)
בלבול בין MVT של קושי לרגיל

מסקנות

MVT: פונקציה גזירה בקטע סגור — קיים נקודה פנימית שבה הנגזרת שווה לשיפוע הממוצע

פיתוח טיילור = כלי מרכזי לחישוב גבולות ואינטגרלים

📋 מטלה

מטלה 3 · מבוסס תרגול 3 + הרצאה 2

טבלת מטלה

מטלה 3 — שאלות לתרגול ומעקב

5 שאלות3 בעדיפות גבוהה

ש׳ 1

ש׳ 2

ש׳ 3

ש׳ 4

ש׳ 5

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הרצאה 2 · 26.3.26 — אינטגרל לא מסוים, פונקציה קדומה, שיטות אינטגרציה

הגדרה — פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים

יהי

I \subseteq \mathbb{R}

קטע ותהיינה

F, f

שתי פונקציות המוגדרות על

I

. נאמר כי

F

היא פונקציה קדומה של

f

ב-

I

אם:
(i)

F

גזירה ב-

I

;
(ii) לכל

x \in I

מתקיים

F'(x) = f(x)

.
במקרה זה נגדיר את האינטגרל הלא מסוים (indefinite) של

f

על

I

, ונסמן

\int f(x)\,dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \},

ובקיצור

\int f(x)\,dx = F(x) + C

דוגמאות — טבלת אינטגרלים בסיסית (I)

\int \cos x\,dx = \sin x + C \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x + C

\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C \qquad \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C

\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C

ההצדקה ל-

\int \frac{dx}{x}

: בקטע

(0,\infty)

מתקיים

\int \frac{dx}{x} = \ln x + C

, ובקטע

(-\infty,0)

מתקיים

\int \frac{dx}{x} = \ln(-x) + C

(כי

[\ln(-x)]' = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac{1}{x}

); באופן כללי

\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C

משפט 1 — שתי פונקציות קדומות נבדלות בקבוע

תהיינה

f, F, G

שלוש פונקציות המוגדרות בקטע

I \subseteq \mathbb{R}

. נניח כי

F

ו-

G

הן פונקציות קדומות של

f

ב-

I

. אזי קיים

C \in \mathbb{R}

כך שלכל

x \in I

מתקיים

F(x) = G(x) + C.

הוכחה

נגדיר את הפונקציה

h(x) = F(x) - G(x)

לכל

x \in I

. אזי

h

גזירה ב-

I

(כהפרש פונקציות גזירות), ולכל

x \in I

מתקיים

h'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0

(מכך ש-

F, G

קדומות של

f

). לפי המסקנה ממשפט הערך הממוצע (מחדו"א 1), פונקציה שנגזרתה אפס בקטע היא קבועה, ולכן קיים

C \in \mathbb{R}

כך שלכל

x \in I

מתקיים

h(x) = C

, כלומר

F(x) - G(x) = C

, ומכאן

F(x) = G(x) + C

מסקנה 1 — האינטגרל הלא מסוים הוא אוסף כל הקדומות

\int f(x)\,dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \} = \{ \text{כל הפונקציות הקדומות של } f \text{ ב-}I \}.

הוכחה

נובע ישירות ממשפט 1: כל שתי קדומות נבדלות בקבוע, ולכן אוסף כל הקדומות הוא בדיוק

\{F(x) + C : C \in \mathbb{R}\}

הערה — חשיבות ההנחה שהתחום הוא קטע

יש חשיבות להנחה כי הפונקציות מוגדרות בקטע. למשל, עבור

F(x) = \begin{cases} \ln x & x > 0 \\ \ln(-x) + 1 & x < 0 \end{cases}

מתקיים

F'(x) = \frac{1}{x}

לכל

x \ne 0

, אך

F

אינה מהצורה

\ln|x| + C

(הקבוע שונה בכל אחד משני הקטעים). הסיבה: תחום ההגדרה

\{x \ne 0\}

אינו קטע, ולכן משפט 1 אינו חל עליו.

הערה 1 — האינטגרל הלא מסוים הוא קבוצת פונקציות

האינטגרל

\int f(x)\,dx

הוא קבוצת פונקציות, ולא פונקציה בודדת — הוא אוסף כל הפונקציות הקדומות של

f

(הנבדלות זו מזו בקבוע). [בכתב היד מופיעה כאן גם הפניה לתרגיל — מספר ההפניה אינו ברור לי לגמרי בכתב היד.]

משפט 2 — תכונות האינטגרל הלא מסוים (לינאריות, בחלקים, הצבה)

תהיינה

f, g, F, G

פונקציות המוגדרות בקטע

I \subseteq \mathbb{R}

, כאשר

F

קדומה של

f

ו-

G

קדומה של

g

ב-

I

(כלומר

F' = f

G' = g

). אזי:
(i) **לינאריות:** לכל

\alpha, \beta \in \mathbb{R}

\int [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha \int f(x)\,dx + \beta \int g(x)\,dx.

(ii) **אינטגרציה בחלקים:**

\int F'(x) G(x)\,dx = F(x) G(x) - \int F(x) G'(x)\,dx.

(iii) **שיטת ההצבה (החלפת המשתנה):**

\int g(F(x)) \cdot f(x)\,dx = \int g(t)\,dt, \qquad t = F(x).

הוכחה

נוכיח את (iii). נשים לב שלכל

x \in I

מתקיים, מכלל השרשרת,

[G(F(x))]' = G'(F(x)) \cdot F'(x) = g(F(x)) \cdot f(x).

אזי

G(F(x))

היא פונקציה קדומה של

g(F(x)) \cdot f(x)

בקטע

I

, ולכן

\int g(F(x)) f(x)\,dx = G(F(x)) + C = G(t) + C = \int g(t)\,dt, \qquad t = F(x).

דוגמאות — טבלת אינטגרלים בסיסית (II)

\int e^x\,dx = e^x + C \qquad \int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \;\; (\alpha \ne -1)

\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \;\; (0 < a \ne 1) \qquad \int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C

דוגמאות לפי לינאריות — אינטגרציה לפי לינאריות

\int (x - x^2 + 2x^3)\,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 2\cdot\frac{x^4}{4} + C

\int (e^x - 5x)\,dx = e^x - \frac{5x^2}{2} + C

\int \frac{x^2 - x}{x^3}\,dx = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right)dx = \ln|x| + \frac{1}{x} + C \quad \Big( \big(\tfrac{1}{x}\big)' = -\tfrac{1}{x^2} \Big)

דוגמאות לפי אינטגרציה בחלקים — אינטגרציה בחלקים

\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x \cdot 1\,dx = x e^x - e^x + C \quad (u' = e^x,\; v = x)

\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2\!\int x e^x\,dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C

\int \ln x\,dx = x \ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x \ln x - x + C \quad (u' = 1,\; v = \ln x)

דוגמאות לפי שיטת ההצבה — אינטגרציה בהצבה

\int \sin(x^2)\cdot 2x\,dx \;\underset{t = x^2}{=}\; \int \sin t\,dt = -\cos t + C = -\cos(x^2) + C

\int \sin(x^3) x^2\,dx \;\underset{t = x^3}{=}\; \frac{1}{3}\!\int \sin t\,dt = -\frac{1}{3}\cos(x^3) + C

\int \frac{\ln x}{x}\,dx \;\underset{t = \ln x}{=}\; \int t\,dt = \frac{(\ln x)^2}{2} + C

\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx \;\underset{t = \cos x}{=}\; -\int \frac{dt}{t} = -\ln|\cos x| + C

\int \cos x \sin x\,dx \;\underset{t = \cos x}{=}\; -\frac{\cos^2 x}{2} + C \;\; \Big( = \frac{\sin^2 x}{2} + C \text{ בדרך אחרת} \Big)

תרגיל 1 — $\int \arctan x\,dx$

חשבו את

\displaystyle\int \arctan x\,dx

הוכחה

אינטגרציה בחלקים עם

u' = 1

v = \arctan x

(

v' = \frac{1}{1+x^2}

\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx.

בהצבה

t = 1 + x^2

dt = 2x\,dx

= x\arctan x - \frac{1}{2}\!\int \frac{dt}{t} = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln|1+x^2| + C.

תרגיל 2 — $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$

חשבו את

\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\,dx

הוכחה

בהצבה

t = \arcsin x

, כלומר

x = \sin t

ו-

dx = \sqrt{1-x^2}\,dt

\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int (1 - x^2)\,dt = \int (1 - \sin^2 t)\,dt = \int \cos^2 t\,dt.

בעזרת

\cos^2 t = \frac{\cos(2t) + 1}{2}

= \frac{1}{2}\!\int \cos(2t)\,dt + \frac{1}{2}\!\int 1\,dt = \frac{1}{4}\sin(2t) + \frac{1}{2}t + C = \frac{1}{4}\sin(2\arcsin x) + \frac{1}{2}\arcsin x + C.

תרגיל 3 — $\int \arcsin x\,dx$

חשבו את

\displaystyle\int \arcsin x\,dx

הוכחה

אינטגרציה בחלקים עם

u' = 1

v = \arcsin x

(

v' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

בהצבה

t = 1 - x^2

dt = -2x\,dx

= x\arcsin x + \int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = x\arcsin x + \sqrt{t} + C = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C.

הגדרה — חלוקה של קטע

יהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

ויהי

n \in \mathbb{N}

. חלוקה בעלת

n

חלקים של הקטע

[a,b]

היא וקטור עולה

P = (x_0, \ldots, x_n)

כך ש-

a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.

הגדרה — סכומי דרבו ואינטגרל עליון/תחתון

יהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

ותהי

f

פונקציה חסומה המוגדרת ב-

[a,b]

, ותהי

P = (x_0, \ldots, x_n)

חלוקה של

[a,b]

.
(i) **הסכום העליון** של

f

ביחס לחלוקה

P

מסומן

\overline{S}(f,P)

ומוגדר ע"י

\overline{S}(f,P) = \sum_{k=1}^{n} M_k (x_k - x_{k-1}), \qquad M_k = \sup\{ f(x) : x_{k-1} \le x \le x_k \}.

(ii) **הסכום התחתון** של

f

ביחס לחלוקה

P

מסומן

\underline{S}(f,P)

ומוגדר ע"י

\underline{S}(f,P) = \sum_{k=1}^{n} m_k (x_k - x_{k-1}), \qquad m_k = \inf\{ f(x) : x_{k-1} \le x \le x_k \}.

(iii) **האינטגרל העליון** של

f

ב-

[a,b]

מסומן

\overline{I}(f)

ומוגדר ע"י

\overline{I}(f) = \inf\{ \overline{S}(f,P) : P

חלוקה של

[a,b] \}

.
(iv) **האינטגרל התחתון** של

f

ב-

[a,b]

מסומן

\underline{I}(f)

ומוגדר ע"י

\underline{I}(f) = \sup\{ \underline{S}(f,P) : P

חלוקה של

[a,b] \}

הערה 2 — הסכום התחתון קטן או שווה לסכום העליון

לכל חלוקה ולכל

1 \le k \le n

מתקיים

m_k \le M_k

, ומכאן שהסכום התחתון קטן או שווה לסכום העליון. הסכום העליון

\overline{S}(f,P)

הוא שטח המלבנים החוסמים מלמעלה, והסכום התחתון

\underline{S}(f,P)

הוא שטח המלבנים החסומים מלמטה. אם

S

הוא ה"שטח" שמתחת לגרף, מתקיים

\underline{I}(f) \le S \le \overline{I}(f).

הגדרה — אינטגרביליות ואינטגרל מסוים

יהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

ותהי

f

פונקציה חסומה המוגדרת ב-

[a,b]

. נאמר כי

f

אינטגרבילית ב-

[a,b]

אם קיים

S \in \mathbb{R}

כך ש-

S = \overline{I}(f) = \underline{I}(f).

במקרה זה נגדיר את האינטגרל המסוים של

f

בקטע

[a,b]

להיות

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = S

מסקנה 3 — אינטגרל של פונקציה אי-שלילית הוא השטח שמתחת לגרף

אם

0 \le f(x)

לכל

x \in [a,b]

ו-

f

אינטגרבילית, אזי

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx

הוא השטח שמתחת לגרף של

f

מעל הקטע

[a,b]

משפט 3 — אינטגרל של פונקציה קבועה

יהי

C \in \mathbb{R}

ויהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

. אזי הפונקציה הקבועה

f(x) = C

אינטגרבילית ב-

[a,b]

, ומתקיים

\int_a^b C\,dx = C \cdot (b - a).

הוכחה

תהי

P = (x_0, \ldots, x_n)

חלוקה של

[a,b]

. לכל

1 \le k \le n

מתקיים

M_k = \sup\{C\} = C

, ולכן

\overline{S}(f,P) = \sum_{k=1}^{n} C (x_k - x_{k-1}) = C \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) = C(x_n - x_0) = C(b-a)

(הסכום טלסקופי). לכן

\overline{I}(f) = \inf\{ C(b-a) \} = C(b-a)

. באופן זהה

m_k = \inf\{C\} = C

, ולכן

\underline{S}(f,P) = C(b-a)

ו-

\underline{I}(f) = C(b-a)

. מאחר ש-

\overline{I}(f) = \underline{I}(f) = C(b-a)

, הפונקציה אינטגרבילית ו-

\int_a^b C\,dx = C(b-a)

משפט 4 — פונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית

יהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

. פונקציית דיריכלה

D(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}

אינה אינטגרבילית ב-

[a,b]

הוכחה

תהי

P = (x_0, \ldots, x_n)

חלוקה של

[a,b]

. בכל תת-קטע

[x_{k-1}, x_k]

קיים מספר רציונלי (צפיפות

\mathbb{Q}

), ולכן

M_k = \sup\{ D(x) : x_{k-1} \le x \le x_k \} = 1

. מכאן

\overline{S}(D,P) = \sum_{k=1}^{n} 1\cdot(x_k - x_{k-1}) = b - a, \qquad \overline{I}(D) = \inf\{ b-a \} = b-a.

כמו כן בכל תת-קטע קיים מספר אי-רציונלי (צפיפות

\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}

), ולכן

m_k = \inf\{ D(x) \} = 0

, ומכאן

\underline{S}(D,P) = 0, \qquad \underline{I}(D) = \sup\{ 0 \} = 0.

מאחר ש-

\underline{I}(D) = 0 \ne b - a = \overline{I}(D)

, הפונקציה

D(x)

אינה אינטגרבילית ב-

[a,b]

הערה — סימון: אינטגרל מסוים מול לא מסוים

יש להבחין בין האינטגרל המסוים

\int_a^b f(x)\,dx

(מספר) לבין האינטגרל הלא מסוים

\int f(x)\,dx

(קבוצת פונקציות). למשל

\int_1^5 3\,dx = 3\cdot(5-1) = 12

(לפי

C\cdot(b-a)

), בעוד

\int 3\,dx = 3x + C

משפט 5 — האינטגרל התחתון קטן או שווה לעליון

יהיו

a, b \in \mathbb{R}

כך ש-

a < b

ותהי

f

פונקציה חסומה המוגדרת ב-

[a,b]

. אזי

\underline{I}(f) \le \overline{I}(f).

הוכחה

ההוכחה נשענת על כך שלכל שתי חלוקות

P_1, P_2

של

[a,b]

מתקיים

\underline{S}(f,P_1) \le \overline{S}(f,P_2)

; מכאן הסופרמום של הסכומים התחתונים קטן או שווה לאינפימום של הסכומים העליונים, כלומר

\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)

נתקעת בהגדרה? מאגר ההגדרות כולל פורמלי + אינטואיציה + דוגמה לכל מושג.

פתחי מאגר

ציטוט מקור

הגדרות ומשפטים מהרצאה

טקסט שחולץ בפועל מהקבצים — אם OCR לא קריא, מוצג סיכום מקושר.

1. משפטמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

משפט .3

והצבה בחלקים אינטגרציה ,לינאריות .4

(והצבה IBP) מפורטות דוגמאות .5

המסוים והאינטגרל דארבו סכומי ,חלוקה .6

סדרות תזכורת :2 תרגול .7

היינה של ה

2. למהמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

למה .8

היינה באמצעות גבולות חישוב דוגמאות .9

גבולן וחישוב רקורסיביות סדרות .10

מסוים לא אינטגרל :2 הרצאה - 'א חלק

(Antiderivative) קדומה פונקציה .1 הרצאה

קדומה פונקציה -

3. הגדרהמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

הגדרה

:אם -ב של קדומה פונקציה היא -ש נאמר . על המוגדרות פונקציות ותהיינה ,קטע יהי

. -ב גזירה .1

. מתקיים לכל .2

מסוים הלא האינטגרל -

4. הגדרהמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

הגדרה

:הקדומות הפונקציות כל כקבוצת -ב של מסוים הלא האינטגרל את מגדירים זה במקרה

. נכתוב ובקיצור

בסיסיים אינטגרלים טבלת .2 הרצאה

הפונקציה מסוים לא אינטגרל הערות

( ) —

—

מכיל שאינו קטע בכל

—

- חשובה הערה

הפונקציה ,לדוגמה . את מכיל שאינו קטע כל על של קדומה היא הפונקציה

.אחד קטע אינו ה

5. הגדרהמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

הגדרה תחום כי — יחיד קבוע עבור -ל שווה אינה אך , ומקיימת גזירה

קבוע כדי עד הקדומה יחידות .3 הרצאה

6. משפטמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

משפט

כך קבוע קיים אזי . -ב של קדומות פונקציות הן -ו -ש נניח . קטע על המוגדרות פונקציות שלוש יהיו

:ש

הוכחה

:ומתקיים ,(גזירות כהפרש) גזירה . -ב נגדיר

-ש כך קיים לכן .קבועה היא בקטע אפס שנגזרתה פונקציה — (1 אינפי) הממוצע הערך מ

7. מסקנהמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

מסקנה

.בקבוע רק מזו זו נבדלות וכולן — הקטע על של הקדומות הפונקציות כל קבוצת הוא

והצבה IBP ,לינאריות — חישוב כללי .4 הרצאה

החישוב כללי -

8. משפטמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

משפט

.בהתאמה של קדומות הן כי ונניח , קטע על המוגדרות פונקציות יהיו

: לכל :לינאריות .1

:אזי ברציפות גזירות אם :(IBP) בחלקים אינטגרציה .2

אזי ,מוגדרת -ו על גזירה אם :(Substitution) ההצבה שיטת .3

(סקיצה) ההצבה הוכחת

של קדומה פונקציה היא לכן . :השרשרת כלל לפי

ולכן , -ב

חישוב דוגמאות .5 הרצאה

לינאריות 5.1

לינאריות דוגמאות

בחלקים אינטגרציה 5.2

— דוגמה

אזי . -ו נבחר

— דוגמה

אזי . -ו נבחר

(פעמיים IBP) — דוגמה

— דוגמה

: ,

: להצבה

:לכן

— דוגמה

: :IBP

: הצבה

:ולכן

ההצבה שיטת 5.3

— דוגמה

: הצבה

— דוגמה

: ולכן , הצבה

— דוגמה

: הצבה

המסוים והאינטגרל דארבו סכומי ,חלוקה .6 הרצאה

(Partition) חלוקה -

9. הגדרהמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

הגדרה

:ש כך וקטור היא בגודל של חלוקה . ויהי , -ש כך יהי

ותחתון עליון דארבו סכומי -

10. הגדרהמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

הגדרה

: לכל נסמן .חלוקה ותהי על חסומה תהי

. :העליון הסכום

. :התחתון הסכום

ותחתון עליון אינטגרל -

11. הגדרהמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

הגדרה תקפות

-ו גם ולכן , לכל היטב מוגדרים -ו ,התחתון/העליון החסם

12. משפטמקור: שבוע 2 | אינפי 2.pdf

משפטי פי-על , על חסומה -כש

. חלוקה לכל מוגדרים

(דארבו לפי) אינטגרביליות -

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

Week 3

שבוע 3

שיטות אינטגרציה

תרגול 3

תובנות שבועיות

שבוע 3תרגול 3 · שיטות אינטגרציה

פתח

החלפת משתנה לא פותרת — רק מעבירה לאינטגרל אחר (בתקווה קל יותר).
לזהות 'ביטוי והנגזרת שלו' — אינטגרציה ישירה.
כשרואים שורש — להציב $t=\sqrt{x}$ (נוח מאוד).
אינטגרציה בחלקים: בחרי $u$ = הפונקציה שנגזרתה פשוטה, ו- $dv$ = מה שנוח לאינטגרציה.
$u$ ו- $dv$ חייבים להיות מסומנים באותו אופן בכל המקרים.

טיפ

כשמשתמשים באינטגרציה בחלקים ומגיעים לאינטגרל שחוזר — זה לפעמים נותן משוואה שאפשר לפתור.

שאלות מהתרגול

בינונינגזרותסדרות

תרגול 3 היום: האינטגרל הלא מסוים.

תזכורת:

| $f(x)$ | $\int f(x) dx$ |

|--------|----------------|

| $x^a, a \neq -1$ | $\frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ |

| $\frac{1}{x}$ | $\ln \|x\| + C$ |

| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |

| $\cos x$ | $\sin x + C$ |

| $e^x$ | $e^x + C$ |

| $a^x, a \neq 1, a > 0$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ |

| $\frac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x + C$ |

| $\frac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x + C$ |

| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ |

| $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ |

| $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x + C$ |

לינאריות האינטגרל הלא מסוים:

$$\ $int (af(x) + bg(x)) dx$

בינונינגזרותסדרות

דוגמאות:

.1 $\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

.2 $\int \left( \frac{2}{x} + e^x \right) dx = 2 \ln |x| + e^x + C$

תזכורת: הצבה/החלפת משתנה

\int g(F(x)) \cdot f(x) dx = \int g(t) dt

כאשר $t = F(x)$ ו- $dt = f(x) dx$

.3 $\int 5\sqrt{x - 1} dx = \int (x-1)^{\frac{1}{5}} dx = \int t^{\frac{1}{5}} dt = \frac{t^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} + C = \frac{5}{6}(x-1)^{\frac{6}{5}} + C$

כאשר $t = x - 1, dt = dx$

הערה: בהצבה לינארית תמיד נקבל

t = ax + b

dt = a dx

dx = \frac{dt}{a}

בינונינגזרותסדרות

\int \left( \frac{1}{(1 + x)^2} + \frac{5}{1 + x^2} - \frac{1}{2x + 1} \right) dx

נפתור כל אינטגרל בנפרד ונשתמש בלינאריות האינטגרל

\int \frac{1}{(1 + x)^2} dx = \begin{cases} t=1+x, \\ dt=dx \end{cases} \int \frac{1}{t^2} dt = \int t^{-2}dt = \frac{t^{-1}}{-1} +C = -\frac{1}{t} +C = -\frac{1}{1 + x}+C

\int \frac{5}{1 + x^2} dx = 5 \arctan (x) + C

\int \frac{1}{2x + 1}dx = \begin{cases} t=1+2x, \\ dt = 2dx \end{cases} \int \frac{1}{2t}dt = \frac{1}{2} \ln | t | +C = \frac{1}{2} \ln | 2x + 1 | +C

לכן סה"כ נקבל

$$\int \ $left($ \ $frac{1}{(1 + x)^2} +$ \ $frac{5}{1 + x^2} -$ \fra

בינונינגזרותסדרות

הערה:

\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C

\int f(x) f'(x) dx = \frac{f^2(x)}{2} + C

\int \left(\frac{e^x}{1+e^x} - \frac{\sin x}{3+\cos x}\right) dx

נפתור כל אינטגרל בנפרד ונשתמש בלינאריות האינטגרל. נשים לב שהנגזרת של המכנה שווה למונה בשני המקרים.

\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \ln|1+e^x| + C

\int \frac{-\sin x}{3+\cos x} dx = \ln|3+\cos(x)| + C

לכן סה"כ נקבל:

\int \left(\frac{e^x}{1+e^x} - \frac{\sin x}{3+\cos x}\right) dx = \ln|1+e^x| + \ln|3+\cos(x)| + C

הערה: בשני האינטגרלים אפשר לוותר על הערך המוחלט, מכיוון שהביטויים בתוכם בהכרח חיוביים.

**8.

בינונינגזרותסדרות

תזכורת: אינטגרציה בחלקים:

\int u'(x) v(x) \, dx = u(x) v(x) - \int u(x) v'(x) \, dx

9. $\int \arcsin(x) \, dx$

נסמן $u' = 1$ , $u = x$ , $v = \arcsin(x)$ , $v' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל:

\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx

נפתור "בצד" את האינטגרל שקיבלנו:

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \begin{vmatrix} t = 1 - x^2 \\ dt = -2x \, dx \end{vmatrix} \int \frac{1}{-2\sqrt{t}} \, dt = \int \frac{t^{-\frac{1}{2}}}{-2} \, dt = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2} \cdot (-2)} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C

לכן סה"כ

בינונינגזרותסדרות

10.

\int e^x \cos(x) \, dx

נסמן $u' = e^x$ , $u = e^x$ , $v = \cos(x)$ , $v' = -\sin(x)$

נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל:

\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) - \int -e^x \sin(x) \, dx = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) \, dx

נפתור "בצד" את האינטגרל שקיבלנו, שוב נסמן $u' = e^x$ , $u = e^x$ , $v = \sin(x)$ , $v' = \cos(x)$

\int e^x \sin(x) \, dx = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx

נשים לב שקיבלנו:

\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx

נבודד את האינטגרל המבוקש ונקבל:

$$\ $int e^x$ \ $cos(x)$ \, $dx =$ \ $frac{e^x$ \ $cos(x) + e^x$ \ $sin(x)}{2} + C =$ \fra

בינונינגזרותסדרות

עוד דוגמאות: .11

\int \sin^3(x)dx = \int \sin(x) \cdot \sin^2(x)dx = \int \sin(x) \cdot (1 - \cos^2(x)) dx = \int \sin(x) dx - \int \sin(x) \cdot \cos^2(x) dx

נפתור כל אינטגרל בנפרד ונשתמש בלינאריות האינטגרל

\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C

\int \sin(x) \cdot \cos^2(x)dx

נשים לב שהנגזרת של הביטוי בחזקה שווה לביטוי השמאלי כפול מספר קבוע, נשתמש בהצבה

t = \cos(x), \quad dt = -\sin(x) dx \Rightarrow \sin(x) dx = -dt

נציב לאינטגרל ונקבל

\int -t^2 dt = -\frac{t^3}{3} + C = -\frac{\cos^3(x)}{3} + C

לכן סה"כ נקבל

$$\int \ $sin^3(x) dx = -$ \ $cos(x) -$ \ $left(-$ \frac{\ $cos^3(x)}{3}$ \r

בינונינגזרותסדרות

\int ( \sin (4x) + 2 \cos (x^2 )) dx

נפתור כל אינטגרל בנפרד ונשתמש בלינאריות האינטגרל

\int \sin (4x) dx = \begin{cases} t=4x \\ dt = 4dx \end{cases} \int \sin (t) \frac{1}{4} dt = -\frac{\cos(t)}{4} + C = -\frac{\cos (4x)}{4} + C

\int 2 \cos (x^2 ) dx = \begin{cases} t= x^2 \\ 2xdt=dx \end{cases} \int 2 \cos (t) \cdot 2dt = 4 \sin(t)+C = 4 \sin (x^2 ) +C

לכן סה"כ נקבל:

\int ( \sin (4x) + 2 \cos (x^2 )) dx = -\frac{\cos(4x)}{4} + 4 \sin (x^2 ) + C

$$\int \ $frac{(4x^2 + 3x)^2}{x^3} dx =$ \int \ $frac{16x^4 + 24x^3 + 9x^2}{x^3} dx =$ \int \ $left( 16x + 24 +$ \frac{9}{x} \ri

שבוע 2 שבוע 4

הרשמה לאינפי ב׳

סדרות — הגדרה, גבולות, מונוטוניות

מה הסטודנטים שמו לב אליו

לפני שמתחילים

איך ללמוד שבוע 3

חומר, הגדרות ומבחנים

טבלת אינטגרלים בסיסית

החלפה לינארית: $t = ax+b$

החלפה קוסמטית

דפוס: $f'(x)/f(x)$

דפוס: $f(x) \cdot f'(x)$

אינטגרציה בחלקים (IBP)

IBP חוזר: כשהאינטגרל מופיע מחדש

מה ההגדרות מאפשרות להסיק

📖 הרצאה

✏️ תרגול

📋 מטלה

מטלה 3 — שאלות לתרגול ומעקב

📖 הגדרות, משפטים והוכחות — מתוך ההרצאות (מלא, לפי מספור)

הגדרות ומשפטים מהרצאה

תובנות מהתרגול — מקס מהלין

שבוע 3

תובנות שבועיות

שאלות מהתרגול