נגזרות — מסדר גבוה, MVT, ופיתוח טיילור

תרגול 3 היום: האינטגרל הלא מסוים. • תזכורת: f (x) ∫ f (x) dx xa,a 6 = −1 xa+1 a+1 + C 1 x ln | x | +C sin x − cos x + C cos x sin x + C ex ex + C ax, 1 6 = a > 0 ax ln a + C 1 cos2 x tan x + C 1 sin2 x − cot x + C 1 1+x2 arctan x + C 1 √1−x2 arcsin x + C − 1 √1−x2 arccos x + C לינאריות האינטגרל הלא מסוים: ∫ (af (x) + bg (x)) dx = ∫ af (x) dx + ∫ bg (x) dx = aF (x) + bG (x) + C 1

דוגמאות: .1 ∫ 1 x3 dx = ∫ x−3dx = x−2 −2 + C = − 1 2x2 + C .2 ∫ ( 2 x + ex ) dx = 2 ln | x | +ex + C תזכורת: הצבה:/החלפת משתנה ∫ g (F (x)) · f (x) dx = ∫ g (t) dt .dt = f (x) dx ו t = F (x) כאשר .3 ∫ 5 √x − 1dx = ∫ (x − 1)1 5 dx = t=x−1,dt=dx ∫ t1 5 dt = t6 5 6 5 + C = 5 6 (x − 1)6 5 + C הערה: בהצבה לינארית תמיד נקבל t = ax + b dt = adx dx = dt a 2

.4 ∫ ( 1 (1 + x)2 + 5 1 + x2 − 1 2x + 1 ) dx נפתור כל אינטגרל בנפרד ונשתמש בלינאריות האינטגרל ∫ 1 (1 + x)2 dx = t=1+x,dt=dx ∫ 1 t2 dt = ∫ t−2dt = t−1 −1 +C = −1 t +C = − 1 1 + x+C ∫ 5 1 + x2 dx = 5 arctan (x) + C ∫ 1 2x + 1dx = t=1+2x, dt 2 =dx ∫ 1 2tdt = 1 2 ln | t | +C = 1 2 ln | 2x + 1 | +C לכן סה"כ נקבל ∫ ( 1 (1 + x)2 + 5 1 + x2 − 1 2x + 1 ) dx = − 1 1 + x + 5 arctan(x) − 1 2 ln | 2x + 1 | +C .5 a, b > 0, ∫ 1 b + ax2 dx = 1 b ∫ 1 1 + a b x2 dx = 1 b ∫ 1 1 + (√a b x)2 dx = t=√a b x,dt=√a b dx 1 b ∫ 1 1 + t2 √ b adt = 1 b · √ b a·arctan (t)+C = 1 √ab · arctan (√a b x ) + C 3

הערה: ∫ f ′ (x) f (x) dx = ln | f (x) | +C ∫ f (x) f ′ (x) dx = f 2 (x) 2 + C .7 ∫ ( ex 1 + ex − sin x 3 + cos x ) dx נפתור כל אינטגרל בנפרד ונשתמש בלינאריות האינטגרל. נשים לב שהנגזרת של המכנה שווה למונה בשני המקרים. ∫ ex 1 + ex dx = ln | 1 + ex | +C ∫ − sin x 3 + cos xdx = ∫ − sin x 3 + cos xdx = ln | 3 + cos(x) | +C לכן סה"כ נקבל ∫ ( ex 1 + ex − sin x 3 + cos x ) dx = ln | 1 + ex | + ln | 3 + cos(x) | +C הערה: בשני האינטגרלים אפשר לוותר על הערך המוחלט, מכיוון שהביטויים בתוכם בהכרח חיוביים. .8 ∫ ex 1 + e2x dx = t=ex,dt=exdx ∫ 1 1 + t2 dt = arctan (t)+C = arctan (ex) + C 5

תזכורת: אינטגרציה בחלקים: ∫ u′ (x) v (x) dx = u (x) v (x) − ∫ u (x) v′ (x) dx .9 ∫ arcsin (x) dx נסמן u′ = 1, u = x, v = arcsin(x), v′ = 1 √1 − x2 נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל ∫ arcsin (x) dx = x arcsin (x) − ∫ x √1 − x2 dx נפתור "בצד" את האינטגרל שקיבלנו ∫ x √1 − x2 dx = t=1−x2,dt=−2xdx ∫ 1 −2√tdt = ∫ t− 1 2 −2 dt = t1 2 1 2 · (−2) + C = − (1 − x2)1 2 + C לכן סה"כ נקבל ∫ arcsin(x)dx = x arcsin(x)− ( − (1 − x2)1 2 ) +C = x arcsin(x) + √1 − x2 + C 6

.10 ∫ ex cos (x) dx נסמן u′ = ex, u = ex, v = cos (x) , v′ = − sin (x) נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל ∫ ex cos (x) dx = ex cos (x)− ∫ −ex sin (x) dx = ex cos (x)+ ∫ ex sin (x) dx נפתור "בצד" את האינטגרל שקיבלנו, שוב נסמן u′ = ex, u = ex, v = sin (x) , v′ = cos (x) ∫ ex sin (x) dx = ex sin (x) − ∫ ex cos (x) dx נשים לב שקיבלנו ∫ ex cos (x) dx = ex cos (x) + ex sin (x) − ∫ ex cos (x) dx נבודד את האינטגרל המבוקש ונקבל ∫ ex cos (x) dx = ex cos (x) + ex sin (x) 2 +C = ex(cos (x) + sin (x)) 2 + C 7

עוד דוגמאות: .11 ∫ sin3(x)dx = ∫ sin (x) · sin2(x)dx = ∫ sin (x) · (1 − cos 2 (x)) dx = ∫ sin (x) dx − ∫ sin (x) · cos2 (x) dx = נפתור כל אינטגרל בנפרד ונשתמש בלינאריות האינטגרל ∫ sin (x) dx = − cos (x) + C ∫ sin (x) · cos2(x)dx נשים לב שהנגזרת של הביטוי בחזקה שווה לביטוי השמאלי כפול מספר קבוע, נשתמש בהצבה t = cos (x) , dt = − sin (x) dx ⇒ sin (x) dx = −dt נציב לאינטגרל ונקבל ∫ −t2dt = −t3 3 + C = −cos 3 (x) 3 + C לכן סה"כ נקבל ∫ sin3 (x) dx = − cos (x)− ( −cos 3 (x) 3 ) +C = − cos (x) + cos 3 (x) 3 + C 8

.3 ∫ ( sin (4x) + 2 cos (x 2 )) dx נפתור כל אינטגרל בנפרד ונשתמש בלינאריות האינטגרל ∫ sin (4x) dx = t=4x, dt 4 =dx ∫ sin (t) 4 dt = − cos(t) 4 + C = − cos (4x) 4 + C ∫ 2 cos (x 2 ) dx = t= x 2 ,2dt=dx ∫ 2 cos (t)·2dt = 4 sin(t)+C = 4 sin (x 2 ) +C לכן סה"כ נקבל ∫ ( sin (4x) + 2 cos (x 2 ) dx ) = − cos(4x) 4 + 4 sin (x 2 ) + C .4 ∫ (4x2 + 3x)2 x3 dx = ∫ 16x4 + 24x3 + 9x2 x3 dx = ∫ ( 16x + 24 + 9 x ) dx = 16x2 2 + 24x + 9 ln | x | +C = 8x2 + 24x + 9 ln | x | +C .5 ∫ 2x3 − 1 √6x4 − 12xdx = נשים לב שהנגזרת של המכנה שווה למונה כפול מספר קבוע, נשתמש בהצבה t = 6x4−12x, dt = (24x3 − 12) dx = 12 (2x3 −