∑
26
24
שבועות / שבוע 3 / סיכום
אינפי ב׳ · מועד א׳ 2026 · יעד 90+
שבוע 3

נגזרות — MVT, רול וטיילור

להשתמש ב-MVT להוכחת אי-שוויונות ולהבין את משפט טיילור עם שארית לגרנז'.

🚀 לפני שמתחילים

מטרת השבוע
להשתמש ב-MVT להוכחת אי-שוויונות ולהבין את משפט טיילור עם שארית לגרנז'.
דרישות קדם — מה חייבים לדעת לפני:
  • נגזרת פונקציה
  • רציפות ב-[a,b][a,b]
  • גזירות ב-(a,b)(a,b)
קשר לחומר קודם: שבוע 1: גבולות ולופיטל — MVT משלים את הכלים לפונקציות גזירות.

📋 מדריך לימוד

מקס אמר ←
💡 טיפ מהיר: MVT הוא כלי ההוכחה הראשי לאי-שוויונות. לפונקציה ff על [a,b][a,b], חפשי cc שנותן מה שאת צריכה.
✅ חובה לשנן:
  • MVT: ff רציפה ב-[a,b][a,b], גזירה ב-(a,b)(a,b) ⟹ ∃c:f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists c: f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
  • רול: מקרה פרטי של MVT כש-f(a)=f(b)f(a)=f(b)
  • שארית טיילור: Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
📖 סדר לימוד מומלץ:
  1. משפט רול: הניסוח, הוכחה קצרה, ומתי שימושי
  2. MVT: גרסה כללית של רול — הנגזרת שווה ל'שיפוע הממוצע'
  3. קורולרים מ-MVT: f′=0f'=0 ⟹ ff קבועה; ∣f′∣≤M|f'|\le M ⟹ ∣f(b)−f(a)∣≤M∣b−a∣|f(b)-f(a)|\le M|b-a|
  4. פיתוח טיילור: סכום + שארית לגרנז'. מה התפקיד של כל חלק?
  5. שימוש: חישוב גבולות בעזרת פיתוח טיילור
⚠ טעויות נפוצות
  • להשתמש ב-MVT בלי לבדוק רציפות ב-[a,b][a,b] וגזירות ב-(a,b)(a,b)
  • לשכוח שבשארית לגרנז': ξ\xi בין x0x_0 ל-xx (לא ידוע בדיוק)
  • לבלבל בין רול (תנאי f(a)=f(b)f(a)=f(b)) ל-MVT (ללא תנאי זה)

🔗 מה ההגדרות / המשפטים מאפשרים להסיק

כל חץ מראה: אם מתקיים השמאלי, ניתן להסיק את הימני
ff רציפה ב-[a,b][a,b], גזירה ב-(a,b)(a,b)
←
MVT: ∃c:f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists c: f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
f′(x)=0f'(x)=0 לכל xx
←
ff קבועה (קורולר ישיר מ-MVT)
f(n+1)f^{(n+1)} קיימת
←
טיילור עם שארית לגרנז': Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

📐 משפטים מרכזיים

משפט: משפט רול
ff רציפה ב-[a,b][a,b], גזירה ב-(a,b)(a,b), f(a)=f(b)f(a)=f(b) ⟹ ∃c∈(a,b):f′(c)=0\exists c\in(a,b): f'(c)=0. מה זה מאפשר: הוכחת קיום נקודה שבה הנגזרת אפסית — אבן הבסיס של MVT.
משפט: משפט הערך הממוצע (MVT)
ff רציפה ב-[a,b][a,b], גזירה ב-(a,b)(a,b) ⟹ ∃c∈(a,b):f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists c\in(a,b): f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}. מה זה מאפשר: קשר בין שיפוע מיתר (f(b)−f(a)f(b)-f(a)) לנגזרת בנקודה (f′(c)f'(c)). שימוש מרכזי: הוכחת אי-שוויונות.
משפט: פיתוח טיילור עם שארית לגרנז'
f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} עבור ξ\xi כלשהו בין x0x_0 ל-xx. מה זה מאפשר: קירוב פונקציה בפולינום + חסימת השגיאה.

💡 דברים חשובים שעלו בתרגול — מסקנות מקס

מקס אמר ←
MVT הוא כלי ההוכחה הראשי לאי-שוויונות. לפונקציה ff על [a,b][a,b], חפשי cc שנותן את מה שאת צריכה.
מקס אמר ←
פיתוח טיילור = כלי מרכזי לחישוב גבולות ואינטגרלים. שארית לגרנז' תאפשר לך לחסום את השגיאה.

❓ שאלות חשובות לתרגול

הוכיחי: ∀x>0:  ex>1+x\forall x>0:\; e^x > 1+x. (MVT על ex−1−xe^x-1-x)
הוכיחי: ∣sin⁡a−sin⁡b∣≤∣a−b∣|\sin a - \sin b|\le|a-b| לכל a,ba,b. (MVT + ∣cos⁡∣≤1|\cos|\le 1)
חשבי נגזרת מסדר nn של f(x)=11−xf(x)=\tfrac{1}{1-x} — תבנית כללית.
אינפי ב׳ — מועד א׳ · 01.07.2026 · יעד 90+ · Max Mahlin