∑
26
46
שבועות / שבוע 5 / סיכום
אינפי ב׳ · מועד א׳ 2026 · יעד 90+
שבוע 5

אינטגרלים לא אמיתיים — תרגול 5

להגדיר אינטגרל לא-אמיתי בכל סוגיו, לחשב אותו על-ידי גבול, ולהחיל מבחן השוואה ואינטגרל $p$ לבדיקת התכנסות.

🚀 לפני שמתחילים

מטרת השבוע
להגדיר אינטגרל לא-אמיתי בכל סוגיו, לחשב אותו על-ידי גבול, ולהחיל מבחן השוואה ואינטגרל pp לבדיקת התכנסות.
דרישות קדם — מה חייבים לדעת לפני:
  • אינטגרל מסוים (FTC) — ניוטון-לייבניץ
  • גבולות של פונקציות (x→∞x\to\infty, x→0+x\to0^+)
  • אינטגרציה: החלפת משתנה, אינטגרלים בסיסיים (ln⁡\ln, exe^x, arctan⁡\arctan)
קשר לחומר קודם: שבוע 4: FTC ניוטון-לייבניץ — כלל זה עדיין בשימוש, אך עכשיו לאחר שלוקחים גבול. כל מה שלמדת על אינטגרל מסוים עובד גם כאן.

📋 מדריך לימוד

מקס אמר ←
💡 טיפ מהיר: שלב 0 לפני כל חישוב: בדקי אם ff רציפה בכל הקטע. אם לא — האינטגרל לא-אמיתי ויש לפרק לגבול. ∫−111x dx\int_{-1}^1\frac{1}{x}\,dx הוא דוגמה קלאסית לטעות זו — תמיד עולה במבחן.
✅ חובה לשנן:
  • ∫a∞f=lim⁡b→∞∫abf\int_a^\infty f = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f — הגדרה עם גבול אחד
  • ∫−∞∞f=∫−∞0f+∫0∞f\int_{-\infty}^\infty f = \int_{-\infty}^0 f + \int_0^\infty f — שני גבולות נפרדים! אם אחד מתבדר — כולו מתבדר
  • סינגולריות ב-aa: ∫abf=lim⁡δ→0+∫a+δbf\int_a^b f = \lim_{\delta\to0^+}\int_{a+\delta}^b f
  • סינגולריות ב-bb: ∫abf=lim⁡δ→0+∫ab−δf\int_a^b f = \lim_{\delta\to0^+}\int_a^{b-\delta} f
  • אינטגרל pp: ∫1∞dxxp\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} מתכנס   ⟺  p>1\iff p>1, שווה 1p−1\frac{1}{p-1}
  • אינטגרל pp ב-0: ∫01dxxp\int_0^1 \frac{dx}{x^p} מתכנס   ⟺  p<1\iff p<1, שווה 11−p\frac{1}{1-p}
  • ∫0∞epx dx\int_0^\infty e^{px}\,dx מתכנס   ⟺  p<0\iff p<0, שווה −1p-\frac{1}{p}
  • טור גיאומטרי: ∑n=0∞qn=11−q\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} עבור ∣q∣<1|q|<1
📖 סדר לימוד מומלץ:
  1. שלב 1 — זהי את סוג האינטגרל הלא-אמיתי: גבול אינסופי? או סינגולריות בתוך/בקצה הקטע?
  2. שלב 2 — כתבי כגבול: ∫a∞f=lim⁡b→∞∫abf\int_a^\infty f = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f
  3. שלב 3 — חשבי את האינטגרל המסוים הפנימי ע"י N-L
  4. שלב 4 — לקחי את הגבול; אם קיים וסופי — מתכנס
  5. לבדיקת התכנסות בלבד: השתמשי במבחן השוואה עם אינטגרל pp כסרגל
  6. **לאינטגרל על (−∞,∞)(-\infty,\infty):** פצלי ל-∫−∞0+∫0∞\int_{-\infty}^0+\int_0^\infty וחשבי בנפרד
⚠ טעויות נפוצות
  • ∫−111x dx≠0\int_{-1}^1\frac{1}{x}\,dx\ne0 — 1/x1/x לא רציפה ב-x=0x=0, N-L אסור, הוא מתבדר!
  • ∫−∞∞f\int_{-\infty}^\infty f — לא ניתן לכתוב lim⁡R→∞∫−RRf\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R f (ערך ראשי ≠\ne אינטגרל לא-אמיתי)
  • לשכוח לבדוק סינגולריות פנימיות: ∫021x−1 dx\int_0^2\frac{1}{x-1}\,dx — יש לפצל ב-x=1x=1
  • כלל פונקציה אי-זוגית (∫−aa=0\int_{-a}^a=0) — תקף רק לאינטגרל מסוים, לא לא-אמיתי
  • אחרי lim⁡b→∞\lim_{b\to\infty} לא לשכוח: epb→0e^{pb}\to0 רק אם p<0p<0!

🔗 מה ההגדרות / המשפטים מאפשרים להסיק

כל חץ מראה: אם מתקיים השמאלי, ניתן להסיק את הימני
גבול אינסופי: ∫a∞\int_a^\infty
←
lim⁡b→∞∫abf dx\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx — חשבי N-L ואז b→∞b\to\infty
סינגולריות ב-aa (קצה שמאלי)
←
lim⁡δ→0+∫a+δbf dx\lim_{\delta\to0^+}\int_{a+\delta}^b f\,dx
סינגולריות ב-bb (קצה ימני)
←
lim⁡δ→0+∫ab−δf dx\lim_{\delta\to0^+}\int_a^{b-\delta} f\,dx
0≤f(x)≤g(x)0\le f(x)\le g(x) + ∫a∞g\int_a^\infty g מתכנס
←
∫a∞f\int_a^\infty f מתכנס — מבחן השוואה
∫a∞f\int_a^\infty f מתבדר + f≤gf\le g
←
∫a∞g\int_a^\infty g מתבדר (כיוון הפוך)
⚠ הטעות הקלאסית — $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ (דוגמה 4 בתרגול)
הפונקציה 1/x1/x לא רציפה ב-x=0x=0, לכן N-L אסור לחלוטין. הפירוק הנכון: ∫−101x dx+∫011x dx\int_{-1}^0\frac{1}{x}\,dx + \int_0^1\frac{1}{x}\,dx. החצי השמאלי: lim⁡δ→0+[ln⁡∣x∣]−1−δ=lim⁡ln⁡δ=−∞\lim_{\delta\to0^+}[\ln|x|]_{-1}^{-\delta}=\lim\ln\delta=-\infty. האינטגרל מתבדר.

📖 הגדרות מהשבוע

הגדרה: אינטגרל לא-אמיתי — גבול אינסופי
יהי a∈Ra\in\mathbb{R}, f:[a,∞)→Rf:[a,\infty)\to\mathbb{R} אינטגרבילית ב-[a,b][a,b] לכל b>ab>a. נאמר שהאינטגרל מתכנס אם:
∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx
קיים וסופי. מה זה מאפשר: לחשב שטח מתחת לגרף על תחום אינסופי.
הגדרה: אינטגרל על כל הציר $\mathbb{R}$
∫−∞∞f(x) dx=∫−∞0f(x) dx+∫0∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^\infty f(x)\,dx — שני גבולות נפרדים. מתכנס אם ורק אם שניהם מתכנסים. מה זה מאפשר: חישוב ∫−∞∞1ex+e−x dx\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{e^x+e^{-x}}\,dx ודומיו.
הגדרה: אינטגרל לא-אמיתי — סינגולריות בקצה
סינגולריות ב-aa (פונקציה מוגדרת ב-(a,b](a,b]): ∫abf=lim⁡δ→0+∫a+δbf\int_a^b f = \lim_{\delta\to0^+}\int_{a+\delta}^b f. סינגולריות ב-bb (מוגדרת ב-[a,b)[a,b)): ∫abf=lim⁡δ→0+∫ab−δf\int_a^b f = \lim_{\delta\to0^+}\int_a^{b-\delta} f. מה זה מאפשר: לחשב ∫011x dx\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx ודומיו.

📐 משפטים מרכזיים

משפט: מבחן ההשוואה לאינטגרלים
יהי a∈Ra\in\mathbb{R}, f,g:[a,∞)→Rf,g:[a,\infty)\to\mathbb{R} כך ש-0≤f(x)≤g(x)0\le f(x)\le g(x) לכל x≥ax\ge a, ו-f,gf,g אינטגרביליות ב-[a,b][a,b] לכל b>ab>a. אם ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx מתכנס, אז ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx מתכנס ובנוסף ∫a∞f≤∫a∞g\int_a^\infty f\le\int_a^\infty g. מה זה מאפשר: לקבוע התכנסות/התבדרות ע"י השוואה לאינטגרל ידוע (לרוב — אינטגרל pp).
משפט: אינטגרל $p$ — שני הסוגים
לכל p∈Rp\in\mathbb{R}:
∫1∞dxxp={1p−1p>1∞p≤1\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}=\begin{cases}\frac{1}{p-1} & p>1\\ \infty & p\le1\end{cases}
∫01dxxp={11−pp<1∞p≥1\int_0^1\frac{dx}{x^p}=\begin{cases}\frac{1}{1-p} & p<1\\ \infty & p\ge1\end{cases}
מה זה מאפשר: ה'סרגל' הסטנדרטי לכל בדיקת השוואה — בחרי pp כך שסדר הגודל מתאים.
משפט: טור גיאומטרי (הכנה לשבוע הבא)
יהי q∈Rq\in\mathbb{R}. אז:
∑n=0∞qn={11−q−1<q<1מתבדראחרת\sum_{n=0}^\infty q^n=\begin{cases}\frac{1}{1-q} & -1<q<1\\ \text{מתבדר} & \text{אחרת}\end{cases}
מה זה מאפשר: חישוב מפורש של טורים — הבסיס לכל עבודה עם טורי חזקות.

💡 דברים חשובים שעלו בתרגול — מסקנות מקס

מקס אמר ←
∫−∞∞f\int_{-\infty}^\infty f — שני גבולות נפרדים בלתי תלויים. לא מספיק ש-lim⁡R→∞∫−RRf\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R f קיים — זה ה'ערך הראשי של קושי', לא אינטגרל לא-אמיתי.
מקס אמר ←
בדוגמה 2: ∫0∞epx dx=[−1p]\int_0^\infty e^{px}\,dx=[-\frac{1}{p}] — הגבול epb→0e^{pb}\to0 **רק אם p<0p<0**. לכן התשובה תלויה בסימן pp. תמיד פרדי למקרים p<0p<0, p=0p=0, p>0p>0.
מקס אמר ←
בדוגמה 3: 1ex+e−x=exe2x+1\frac{1}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^x}{e^{2x}+1}. ההצבה t=ext=e^x נותנת arctan⁡(ex)\arctan(e^x). הטריק: לזהות שהפונקציה arctan⁡(ex)\arctan(e^x) היא אנטי-נגזרת.
מקס אמר ←
בדוגמה ∫1∞arctan⁡xx dx\int_1^\infty\frac{\arctan x}{x}\,dx: arctan⁡x≥arctan⁡1=π/4\arctan x\ge\arctan 1=\pi/4 לכל x≥1x\ge1, לכן arctan⁡xx≥π4x\frac{\arctan x}{x}\ge\frac{\pi}{4x}. כיוון ש-∫1∞1x=∞\int_1^\infty\frac{1}{x}=\infty (p=1), הטור מתבדר — כיוון הפוך במבחן השוואה.
מקס אמר ←
דוגמה טריקית: ∫01xsin⁡x dx\int_0^1\frac{x}{\sin x}\,dx — הסינגולריות ב-x=0x=0 סליקה כי lim⁡x→0xsin⁡x=1\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1. אפשר להגדיר f(0)=1f(0)=1 ← ff רציפה ב-[0,1][0,1] ← האינטגרל מסוים רגיל, מתכנס.

❓ שאלות חשובות לתרגול

דוגמה 1 מהתרגול: ∫2∞1xln⁡x dx\int_2^\infty\frac{1}{x\ln x}\,dx — מהו? (מתבדר. הצבה t=ln⁡xt=\ln x, מקבלים ln⁡∣ln⁡x∣→∞\ln|\ln x|\to\infty)
דוגמה 2 מהתרגול: ∫0∞epx dx\int_0^\infty e^{px}\,dx לכל p∈Rp\in\mathbb{R} — פרדי ל-p<0p<0, p=0p=0, p>0p>0.
דוגמה 3 מהתרגול: ∫−∞∞1ex+e−x dx\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{e^x+e^{-x}}\,dx — פרדי לשניים, הצבה t=ext=e^x, תשובה: π2\frac{\pi}{2}.
דוגמה 4 מהתרגול: ∫−111x dx\int_{-1}^1\frac{1}{x}\,dx — האם מתכנס? (לא! סינגולריות פנימית ב-x=0x=0, החצי השמאלי מתבדר)
מבחן השוואה 1: ∫1∞x+1x3+x2+1 dx\int_1^\infty\frac{x+1}{x^3+x^2+1}\,dx — השוואה עם 2x2\frac{2}{x^2} ← מתכנס
מבחן השוואה 2: ∫1∞arctan⁡xx dx\int_1^\infty\frac{\arctan x}{x}\,dx — השוואה עם π/4x\frac{\pi/4}{x} ← מתבדר
טור גיאומטרי: ∑n=1∞(−2)3n−2⋅5−2n−5\sum_{n=1}^\infty(-2)^{3n-2}\cdot5^{-2n-5} — כתוב כ-q=−8/25q=-8/25, ערך: −233⋅55-\frac{2}{33\cdot5^5}
אינפי ב׳ — מועד א׳ · 01.07.2026 · יעד 90+ · Max Mahlin