∑
26
2
שבועות / שבוע 1 / סיכום
אינפי ב׳ · מועד א׳ 2026 · יעד 90+
שבוע 1

גבולות — לופיטל ודרבו

ללמוד מתי וכיצד להפעיל את כלל לופיטל, ולהבין את משפט דרבו ומה הוא אומר על נגזרות.

🚀 לפני שמתחילים

מטרת השבוע
ללמוד מתי וכיצד להפעיל את כלל לופיטל, ולהבין את משפט דרבו ומה הוא אומר על נגזרות.
דרישות קדם — מה חייבים לדעת לפני:
  • הגדרת גבול פונקציה
  • נגזרת פונקציה
  • רציפות ואי-רציפות
קשר לחומר קודם: בסיס לכל חומר האינפי — גבולות, נגזרות ורציפות הם הכלים שעליהם נשענים כל השבועות הבאים.

📋 מדריך לימוד

מקס אמר ←
💡 טיפ מהיר: בדקי תמיד קודם שהגבול הוא מסוג 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty לפני שמפעילים לופיטל — שימוש לא מוצדק הוא טעות שגורמת לנקודות לרדת.
✅ חובה לשנן:
  • לופיטל: תקף רק עבור 00\frac{0}{0} או ∞∞\frac{\infty}{\infty}
  • דרבו: f′(a)⋅f′(b)<0f'(a)\cdot f'(b)<0 ⟹ ∃c∈(a,b):f′(c)=0\exists c\in(a,b): f'(c)=0
  • נגזרת אינה יכולה לקבל קפיצה (אי-רציפות מסוג I)
📖 סדר לימוד מומלץ:
  1. זיהוי סוג האי-הכרעה לפני כל שימוש בלופיטל
  2. כלל לופיטל: lim⁡f/g=lim⁡f′/g′\lim f/g = \lim f'/g' — יש לבדוק שוב אחרי כל שימוש
  3. גבולות מהצורות 0⋅∞0\cdot\infty, 1∞1^\infty, 000^0 — הורד למכנה ואז לופיטל
  4. משפט דרבו: ניסוח, הוכחה אינטואיטיבית ומשמעות
  5. דרבו המורחב: ערך ביניים לנגזרת — כמו IVT אך על f′f'
⚠ טעויות נפוצות
  • להפעיל לופיטל כשהגבול אינו 0/00/0 או ∞/∞\infty/\infty
  • לעצור אחרי לופיטל בלי לבדוק שהגבול החדש מוגדר
  • לבלבל IVT (על ff) עם דרבו (על f′f')
  • בגבול 000^0 — לשכוח לקחת לוגריתם לפני הפעלת לופיטל

🔗 מה ההגדרות / המשפטים מאפשרים להסיק

כל חץ מראה: אם מתקיים השמאלי, ניתן להסיק את הימני
גבול בצורה 00\dfrac{0}{0} או ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}
←
כלל לופיטל: lim⁡fg=lim⁡f′g′\lim\dfrac{f}{g} = \lim\dfrac{f'}{g'}
f′(a)⋅f′(b)<0f'(a)\cdot f'(b)<0
←
דרבו: ∃c∈(a,b)\exists c\in(a,b) כך ש-f′(c)=0f'(c)=0
f′(a)<r<f′(b)f'(a) < r < f'(b)
←
דרבו מורחב: ∃c\exists c כך ש-f′(c)=rf'(c)=r
מסקנה: נגזרת לא יכולה לקפוץ
אי-רציפות קפיצה / סליקה — בלתי אפשרית בנגזרת. רק אי-רציפות עיקרית אפשרית (כמו sin⁡1x\sin\tfrac{1}{x}). זה ישיר מדרבו: נגזרת מקיימת ערך ביניים.

📖 הגדרות מהשבוע

הגדרה: כלל לופיטל
יהיו f,gf,g גזירות ב-(x0,b)(x_0,b), lim⁡x→x0+f=lim⁡g=0\lim_{x\to x_0^+}f=\lim g=0 (או ∞\infty), g′≠0g'\ne 0. אם קיים lim⁡f′/g′\lim f'/g', אז: lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

📐 משפטים מרכזיים

משפט: משפט דרבו
ff גזירה ב-[a,b][a,b], f′(a)⋅f′(b)<0f'(a)\cdot f'(b)<0 ⟹ ∃c∈(a,b):f′(c)=0\exists c\in(a,b): f'(c)=0. מה זה מאפשר: להוכיח קיום cc שבו f′=0f'=0 — שימושי בשאלות 'הוכח/הפרך'.
משפט: משפט דרבו המורחב
ff גזירה ב-[a,b][a,b], rr בין f′(a)f'(a) ל-f′(b)f'(b) ⟹ ∃c:f′(c)=r\exists c: f'(c)=r. מה זה מאפשר: נגזרת מקיימת ערך ביניים — לכן אינה יכולה לקפוץ.

💡 דברים חשובים שעלו בתרגול — מסקנות מקס

מקס אמר ←
לופיטל תקף רק ב-00\tfrac{0}{0} או ∞∞\tfrac{\infty}{\infty}. אחרי כל שימוש — עצרי ובדקי שהתקדמת. אם לא — שיני כיוון.
מקס אמר ←
גבול מהצורה 0⋅∞0\cdot\infty — הורידי למכנה. איזה ביטוי? ניסוי וטעייה. אין אלגוריתם.
מקס אמר ←
שאלות 'הוכח/הפרך' על נגזרות — דרבו המורחב הוא הכלי הראשי. זה בדיוק כמו IVT, רק על הנגזרת.

❓ שאלות חשובות לתרגול

חשבי: lim⁡x→0 ⁣[x⋅e1/x]\lim_{x\to 0}\!\left[x\cdot e^{1/x}\right] — פרדי לגבולות חד-צדדיים.
חשבי: lim⁡x→0+(arctan⁡x)1−cos⁡xx\lim_{x\to 0^+}(\arctan x)^{\frac{1-\cos x}{x}} — צורה 1∞1^\infty, לוגריתם + לופיטל.
הוכיחי: אם f′∈Qf'\in\mathbb{Q} לכל xx, אז f′f' קבועה. (דרבו + צפיפות R∖Q\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})
הוכיחי/הפריכי: ff גזירה, lim⁡x→∞f′(x)=L>0\lim_{x\to\infty}f'(x)=L>0 ⟹ lim⁡f(x)=∞\lim f(x)=\infty. (נכון — לופיטל)
אינפי ב׳ — מועד א׳ · 01.07.2026 · יעד 90+ · Max Mahlin