∑
26
810
שבועות / שבוע 9 / סיכום
אינפי ב׳ · מועד א׳ 2026 · יעד 90+
שבוע 9

טורי חזקות — רדיוס התכנסות ומקלורן

לחשב רדיוס וקצוות התכנסות לטור חזקות, ולדעת את טורי המקלורן הבסיסיים בעל-פה.

🚀 לפני שמתחילים

מטרת השבוע
לחשב רדיוס וקצוות התכנסות לטור חזקות, ולדעת את טורי המקלורן הבסיסיים בעל-פה.
דרישות קדם — מה חייבים לדעת לפני:
  • כל מבחני ההתכנסות (שבועות 6-8)
  • נגזרת ואינטגרל של פונקציות
קשר לחומר קודם: שבועות 6-8: מבחני התכנסות — עכשיו לטורים עם משתנה xx.

📋 מדריך לימוד

מקס אמר ←
💡 טיפ מהיר: קצוות תמיד בדיקה נפרדת! הרדיוס RR לא משתנה בגזירה/אינטגרציה, אבל הקצוות עשויים להשתנות.
✅ חובה לשנן:
  • רדיוס: R=1/lim sup⁡∣an∣1/nR=1/\limsup|a_n|^{1/n} (או =lim⁡∣an/an+1∣=\lim|a_n/a_{n+1}| כשהגבול קיים)
  • ∣x∣<R|x|<R → מתכנס בהחלט; ∣x∣>R|x|>R → מתבדר
  • ∣x∣=R|x|=R → לבדוק כל קצה בנפרד
  • ex=∑xn/n!e^x=\sum x^n/n!, sin⁡x=∑(−1)nx2n+1/(2n+1)!\sin x=\sum(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!, cos⁡x=∑(−1)nx2n/(2n)!\cos x=\sum(-1)^n x^{2n}/(2n)!
  • ln⁡(1+x)=∑(−1)n+1xn/n\ln(1+x)=\sum(-1)^{n+1}x^n/n עבור x∈(−1,1]x\in(-1,1],   11−x=∑xn\;\frac{1}{1-x}=\sum x^n
📖 סדר לימוד מומלץ:
  1. הגדרת טור חזקות: ∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n
  2. חישוב RR: מבחן שורש/מנה על המקדמים ana_n
  3. תחום התכנסות: ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R + בדיקת קצוות x=x0±Rx=x_0\pm R
  4. גזירה ואינטגרציה: RR לא משתנה, אבל הקצוות — בדיקה מחדש
  5. טורי מקלורן: שינון exe^x, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, ln⁡(1+x)\ln(1+x), 1/(1−x)1/(1-x)
⚠ טעויות נפוצות
  • לשכוח לבדוק קצוות אחרי גזירה/אינטגרציה
  • להחיל שורש/מנה כמו על טור רגיל — כאן ana_n זה המקדם, לא האיבר הכולל
  • להניח ∑xn=1/(1−x)\sum x^n = 1/(1-x) בלי לוודא ∣x∣<1|x|<1

🔗 מה ההגדרות / המשפטים מאפשרים להסיק

כל חץ מראה: אם מתקיים השמאלי, ניתן להסיק את הימני
∑anxn\sum a_n x^n
←
R=1lim sup⁡∣an∣1/nR=\dfrac{1}{\limsup|a_n|^{1/n}} (רדיוס התכנסות)
∣x∣<R|x|<R
←
מתכנס בהחלט
∣x∣>R|x|>R
←
מתבדר
∣x∣=R|x|=R
←
⚠ לבדוק כל קצה בנפרד
גזירה/אינטגרציה
←
RR לא משתנה — אבל קצוות — בדיקה מחדש!

📖 הגדרות מהשבוע

הגדרה: טור חזקות
∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n — טור שמשתנה לפי ערך xx. מה זה מאפשר: ייצוג פונקציות כטורים — נשתמש לחישוב גבולות, אינטגרלים, ופתרון משוואות.

📐 משפטים מרכזיים

משפט: רדיוס התכנסות
לטור ∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n, R=1lim sup⁡n→∞∣an∣1/nR=\dfrac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}} (או lim⁡∣an/an+1∣\lim|a_n/a_{n+1}| אם קיים). מה זה מאפשר: לדעת אוטומטית שלכל ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R הטור מתכנס.
משפט: גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות
ב-∣x−x0∣<R|x-x_0|<R: ddx∑n=0∞an(x−x0)n=∑n=1∞nan(x−x0)n−1\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}; ∫∑an(x−x0)n=∑ann+1(x−x0)n+1+C\int\sum a_n(x-x_0)^n = \sum\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}+C. מה זה מאפשר: לגזור/לאינטגרל טור איבר-איבר.
משפט: טורי מקלורן — חובה לשנן
ex=∑n=0∞xnn!e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!};\quad sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!};\quad cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!};\quad ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n};\quad 11−x=∑n=0∞xn  (∣x∣<1)\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n\;(|x|<1).

💡 דברים חשובים שעלו בתרגול — מסקנות מקס

מקס אמר ←
קצוות: RR לא משתנה בגזירה/אינטגרציה, אבל ההתנהגות בקצוות יכולה להשתנות — תמיד לבדוק!
מקס אמר ←
חישוב סכום טור: לפעמים גוזרים/מאינטגרלים טור ידוע כדי להגיע לטור הרצוי.

❓ שאלות חשובות לתרגול

מצאי רדיוס התכנסות: ∑xnn\sum\frac{x^n}{n} → R=1R=1. בדקי קצוות: x=1x=1 (מתבדר), x=−1x=-1 (מתכנס).
חשבי: ∑n=1∞nxn\sum_{n=1}^\infty nx^n עבור ∣x∣<1|x|<1. (גזרי ∑xn=11−x\sum x^n = \frac{1}{1-x})
הוכיחי: ∑n=0∞xnn!=ex\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=e^x לכל x∈Rx\in\mathbb{R}. (שארית לגרנז' שואפת ל-0)
אינפי ב׳ — מועד א׳ · 01.07.2026 · יעד 90+ · Max Mahlin