∑
26
68
שבועות / שבוע 7 / סיכום
אינפי ב׳ · מועד א׳ 2026 · יעד 90+
שבוע 7

מבחן מנה, שורש וסדרי גודל

ללמוד את מבחני המנה והשורש, לדעת מתי להשתמש בכל אחד, ולהכיר סדרי גודל.

🚀 לפני שמתחילים

מטרת השבוע
ללמוד את מבחני המנה והשורש, לדעת מתי להשתמש בכל אחד, ולהכיר סדרי גודל.
דרישות קדם — מה חייבים לדעת לפני:
  • טור הנדסי
  • גבול an+1/ana_{n+1}/a_n
  • גבול ann\sqrt[n]{a_n}
קשר לחומר קודם: שבוע 6: מבחני השוואה ואינטגרל — מנה ושורש הם כלים נוספים לאותה מטרה.

📋 מדריך לימוד

מקס אמר ←
💡 טיפ מהיר: כלל אצבע: n!n! → מנה. ana^n או nnn^n → שורש. כש-L=1L=1 — באסה, צריך מבחן אחר.
✅ חובה לשנן:
  • מבחן מנה: L=lim⁡∣an+1/an∣L=\lim|a_{n+1}/a_n| — L<1L<1 מתכנס, L>1L>1 מתבדר, L=1L=1 לא קובע
  • מבחן שורש: L=lim⁡∣an∣1/nL=\lim|a_n|^{1/n} — אותה מסקנה
  • סדרי גודל: n!≫an≫nk≫ln⁡knn!\gg a^n\gg n^k\gg\ln^k n לכל a>1,k>0a>1, k>0
  • lim⁡n→∞(nn+1)n=e−1\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1}
📖 סדר לימוד מומלץ:
  1. מבחן מנה: L=lim⁡∣an+1/an∣L=\lim|a_{n+1}/a_n| — מתי נוח? כשיש n!n! או ana^n
  2. מבחן שורש: L=lim⁡∣an∣nL=\lim\sqrt[n]{|a_n|} — מתי נוח? כשיש (f(n))n(f(n))^n
  3. כש-L=1L=1: אל תתייאשי — עברי למבחן אחר
  4. סדרי גודל: הכרת הסדר n!≫an≫nk≫ln⁡knn!\gg a^n\gg n^k\gg\ln^k n
  5. כלל e−1e^{-1}: lim⁡(n/(n+1))n=e−1\lim(n/(n+1))^n=e^{-1} — חשוב לדעת
⚠ טעויות נפוצות
  • כש-L=1L=1 — לא לעצור שם, מבחן אחר נדרש
  • חשוב לחשב ∣an+1/an∣|a_{n+1}/a_n| עם ערך מוחלט כשיש (−1)n(-1)^n
  • לשכוח שמנה ושורש חזקים רק כשהגבול LL קיים ושונה מ-1

🔗 מה ההגדרות / המשפטים מאפשרים להסיק

כל חץ מראה: אם מתקיים השמאלי, ניתן להסיק את הימני
מכפלות / עצרת
←
מבחן המנה → ∣an+1/an∣|a_{n+1}/a_n|
xnx^n / חזקות
←
מבחן השורש → ∣an∣1/n|a_n|^{1/n}
L<1L<1
←
מתכנס (בהחלט)
L>1L>1
←
מתבדר
L=1L=1
←
⚠ לא קובע — נסי כלי אחר
סדרי גודל — חייבים לזכור
n!  ≫  an  ≫  nk  ≫  ln⁡kn(a>1,  k>0)n! \;\gg\; a^n \;\gg\; n^k \;\gg\; \ln^k n \qquad (a>1,\; k>0). מעריכים מנצח פולינום מנצח לוגריתם. מיידית!

📐 משפטים מרכזיים

משפט: מבחן המנה (D'Alembert)
L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: אם L<1L<1 — מתכנס בהחלט; L>1L>1 — מתבדר; L=1L=1 — לא קובע. מה זה מאפשר: טורים עם n!n! ו-ana^n מפשטים היטב במנה.
משפט: מבחן השורש (Cauchy)
L=lim sup⁡n→∞∣an∣1/nL=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}: אם L<1L<1 — מתכנס בהחלט; L>1L>1 — מתבדר; L=1L=1 — לא קובע. מה זה מאפשר: טורים עם (f(n))n(f(n))^n מפשטים היטב בשורש.

💡 דברים חשובים שעלו בתרגול — מסקנות מקס

מקס אמר ←
עצרת → מנה ראשון. כשעושים an+1/ana_{n+1}/a_n, המכפלות מצטמצמות בצורה נקייה.
מקס אמר ←
אם L=1L=1 במבחן מנה/שורש — צריך כלי אחר. זה לא אומר שלא מתכנס.
מקס אמר ←
lim⁡n→∞(nn+1)n=e−1\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1} — חשוב לדעת!

❓ שאלות חשובות לתרגול

בדקי: ∑n!nn\sum\frac{n!}{n^n} — מבחן מנה, L=e−1<1L=e^{-1}<1 → מתכנס.
בדקי: ∑1⋅4⋅7⋯(3n−2)3⋅6⋅9⋯(3n)\sum\frac{1\cdot 4\cdot 7\cdots(3n-2)}{3\cdot 6\cdot 9\cdots(3n)} — מבחן מנה, שימי לב לאיבר הבא.
בדקי: ∑(nn+1)n2\sum\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} — מבחן שורש: (nn+1)n→e−1<1\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to e^{-1}<1 → מתכנס.
אינפי ב׳ — מועד א׳ · 01.07.2026 · יעד 90+ · Max Mahlin