∑
27
אינפי ב׳ · מועד א׳ 2026 · יעד 90+

גרירות, מסקנות ומשפטים — לפי שבוע

תרשים מה גורר מה · מסקנות מקס · שאלות חשובות · משפטי הרצאה
שבוע 1

גבולות — לופיטל ודרבו

🔗 תרשים גרירה — מה גורר מה

גבול בצורה 00\frac{0}{0} או ∞∞\frac{\infty}{\infty}
←
כלל לופיטל → lim⁡f′g′\lim\frac{f'}{g'}
f′(a)⋅f′(b)<0f'(a)\cdot f'(b)<0
←
דרבו → ∃c:  f′(c)=0\exists c:\;f'(c)=0
f′(a)<r<f′(b)f'(a) < r < f'(b)
←
דרבו מורחב → ∃c:  f′(c)=r\exists c:\;f'(c)=r
מסקנה: נגזרת לא יכולה לקפוץ
אי-רציפות קפיצה / סליקה — בלתי אפשרית בנגזרת. רק אי-רציפות עיקרית אפשרית (כמו sin⁡1x\sin\frac{1}{x}).
זה ישיר מדרבו: נגזרת מקיימת ערך ביניים.

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
לופיטל תקף רק ב-00\tfrac{0}{0} או ∞∞\tfrac{\infty}{\infty}. אחרי כל שימוש — עצור ובדוק שהתקדמת. אם לא — שנה כיוון.
מקס אמר ←
גבול מהצורה 0⋅∞0\cdot\infty — הוריד למכנה. איזה ביטוי? ניסוי וטעייה. אין אלגוריתם.
מקס אמר ←
שאלות "הוכח/הפרך" על נגזרות — דרבו המורחב הוא הכלי הראשי. זה בדיוק כמו IVT, רק על הנגזרת.

❓ שאלות חשובות מהשבוע

חשב: lim⁡x→0 ⁣[x⋅e1/x]\lim_{x\to 0}\!\left[x\cdot e^{1/x}\right] — פרד לגבולות חד-צדדיים.
חשב: lim⁡x→0+(arctan⁡x)1−cos⁡xx\lim_{x\to 0^+}(\arctan x)^{\frac{1-\cos x}{x}} — צורה 1∞1^\infty, השתמש בלוגריתם ולופיטל.
הוכח: אם f′∈Qf'\in\mathbb{Q} לכל xx, אז f′f' קבועה. (דרבו + צפיפות R∖Q\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})
הוכח/הפרך: ff גזירה, lim⁡x→∞f′(x)=L>0\lim_{x\to\infty}f'(x)=L>0, אז lim⁡f(x)=∞\lim f(x)=\infty. (נכון — לופיטל)

📐 משפטים מההרצאה

כלל לופיטל
יהיו f,gf,g גזירות ב-(x0,b)(x_0,b), lim⁡x→x0+f=lim⁡g=0\lim_{x\to x_0^+}f=\lim g=0 (או ∞\infty, g′≠0g'\ne 0. אם קיים lim⁡f′g′\lim\frac{f'}{g'}, אז:
lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
משפט דרבו
ff גזירה ב-[a,b][a,b], f′(a)⋅f′(b)<0f'(a)\cdot f'(b)<0 ⟹ ∃c∈(a,b):f′(c)=0\exists c\in(a,b): f'(c)=0.
משפט דרבו המורחב
ff גזירה ב-[a,b][a,b], rr בין f′(a)f'(a) ל-f′(b)f'(b) ⟹ ∃c:f′(c)=r\exists c: f'(c)=r.
מסקנה: נגזרת אינה יכולה לקבל קפיצה (אי-רציפות מסוג 1).
שבוע 2

סדרות — מונוטוניות, חסימות ורקורסיביות

🔗 תרשים גרירה

מונוטונית + חסומה
←
מתכנסת — קיים גבול LL
קיים גבול LL
←
lim⁡an=L\lim a_n = L וגם lim⁡an+1=L\lim a_{n+1}=L → L=f(L)L=f(L)
∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon מ-NN ואילך
←
הגדרת גבול (ε-N)
⚠ אסור להניח גבול לפני שהוכחת!
בסדרה רקורסיבית: קודם הוכח מונוטוניות + חסימות → אז הסק שיש גבול → אז מצא L=f(L)L=f(L).
דוגמה נגדית: a1=3,  an+1=1+2ana_1=3,\; a_{n+1}=1+2a_n — הנחת גבול נותנת L=−1L=-1 (שגוי! הסדרה מתבדרת).

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
בסדרה — אסור לעשות לופיטל ישירות. צריך כלל היינה (עבור לפונקציה רציפה).
מקס אמר ←
סדרה רקורסיבית עם arctan⁡\arctan: מתקיים 0<arctan⁡x<x0<\arctan x < x לכל x>0x>0 → הסדרה יורדת וחסומה מלרע → מתכנסת.

❓ שאלות חשובות

סדרה: a1=14,  an+1=an2+14a_1=\tfrac{1}{4},\; a_{n+1}=a_n^2+\tfrac{1}{4} — הוכח שמתכנסת ומצא גבול.
סדרה: a1=c>0,  an+1=arctan⁡(an)a_1=c>0,\; a_{n+1}=\arctan(a_n) — הוכח שהגבול הוא 0.
הוכח/הפרך: אם an>0a_n>0 ו-lim⁡an=0\lim a_n=0, אז lim⁡an+1an=0\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=0. (שגוי — דוגמה נגדית)

📐 משפטים מההרצאה

משפט הסדרה המונוטונית והחסומה
כל סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
עולה וחסומה מלעיל → גבולה שווה לסופרמום. יורדת וחסומה מלרע → גבולה שווה לאינפימום.
כלל הסנדוויץ' (Squeeze Theorem)
אם an≤bn≤cna_n \le b_n \le c_n לכל nn גדול מספיק, ו-lim⁡an=lim⁡cn=L\lim a_n = \lim c_n = L, אז lim⁡bn=L\lim b_n = L.
גבולות חשובים לשנן
lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n = e
lim⁡n→∞n1/n=1\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1
שבוע 3

נגזרות — MVT, רול, טיילור

🔗 תרשים גרירה

ff רציפה ב-[a,b][a,b], גזירה ב-(a,b)(a,b)
←
MVT: ∃c:f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists c: f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f′(x)=0f'(x)=0 לכל xx
←
ff קבועה (קורולר מ-MVT)
f(n+1)f^{(n+1)} קיימת
←
טיילור עם שארית לגרנז'

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
MVT הוא כלי ההוכחה הראשי לאי-שוויונות. לפונקציה ff על [a,b][a,b], חפש cc שנותן את מה שאתה צריך.
מקס אמר ←
פיתוח טיילור = כלי מרכזי לחישוב גבולות ואינטגרלים. שארית לגרנז': Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.

❓ שאלות חשובות

הוכח: ∀x>0:ex>1+x\forall x>0: e^x > 1+x. (MVT על ex−1−xe^x-1-x)
הוכח: ∣sin⁡a−sin⁡b∣≤∣a−b∣|\sin a - \sin b|\le|a-b| לכל a,ba,b. (MVT + ∣cos⁡∣≤1|\cos|\le 1)
חשב נגזרת מסדר nn של f(x)=11−xf(x)=\frac{1}{1-x} — תבנית כללית.

📐 משפטים מההרצאה

משפט רול
ff רציפה ב-[a,b][a,b], גזירה ב-(a,b)(a,b), f(a)=f(b)f(a)=f(b) ⟹ ∃c∈(a,b):f′(c)=0\exists c\in(a,b): f'(c)=0.
משפט הערך הממוצע (MVT)
ff רציפה ב-[a,b][a,b], גזירה ב-(a,b)(a,b) ⟹
∃c∈(a,b):f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists c\in(a,b):\quad f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
פיתוח טיילור עם שארית לגרנז'
f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
עבור ξ\xi כלשהו בין x0x_0 ל-xx.
שבוע 4

אינטגרל מסוים — הגדרה, FTC ושיטות

🔗 תרשים גרירה

ff רציפה ב-[a,b][a,b]
←
ff אינטגרבילית (מקיימת N-L)
F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt
←
FF רציפה תמיד + F′=fF'=f אם ff רציפה (FTC2)
FF אנטי-נגזרת של ff
←
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) (נ-ל)
שאלה קלאסית למבחן
נתון ∫abf(t)2 dt>1\int_a^b f(t)^2\,dt>1. הוכח שקיים c∈(a,b)c\in(a,b) כך ש-F(c)=1F(c)=1.
פתרון: הגדר F(x)=∫axf(t)2 dtF(x)=\int_a^x f(t)^2\,dt, אז F(a)=0F(a)=0, F(b)>1F(b)>1, FF רציפה → IVT.

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt היא פונקציה לכל דבר — רציפה, ולפעמים גזירה. אפשר לעשות עליה לופיטל, IVT, MVT.
מקס אמר ←
אסור להשתמש בניוטון-לייבניץ כשהפונקציה לא רציפה בקטע. זה טעות קלאסית שחוזרת בכל מבחן.
מקס אמר ←
כלל הפונקציה הזוגית/אי-זוגית: ∫−aaf=0\int_{-a}^a f=0 (אי-זוגית), =2∫0af=2\int_0^a f (זוגית) — רק לאינטגרל מסוים, לא לא-אמיתי!

❓ שאלות חשובות

חשב: ∫f′(x)f(x) dx\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx — ביטוי והנגזרת שלו → ln⁡∣f(x)∣+C\ln|f(x)|+C.
חשב: ∫xex dx\int x e^x\,dx — אינטגרציה בחלקים עם u=xu=x.
חשב: ∫0πsin⁡2x dx\int_0^\pi \sin^2 x\,dx — השתמש ב-sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.

📐 משפטים מההרצאה

משפט ניוטון-לייבניץ (FTC1)
ff אינטגרבילית ב-[a,b][a,b], FF אנטי-נגזרת שלה:
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)
תנאי: ff חייבת להיות רציפה בקטע הסגור!
FTC2 — גזירת אינטגרל (הפונקציה הצוברת)
אם ff רציפה, אז F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt גזירה ו-F′(x)=f(x)F'(x)=f(x).
אינטגרציה בחלקים (IBP)
∫u′(x)v(x) dx=u(x)v(x)−∫u(x)v′(x) dx\int u'(x)v(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\,dx
או לאינטגרל מסוים:
[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x) dx\left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx
החלפת משתנה
∫abg(f(x))⋅f′(x) dx=∫f(a)f(b)g(t) dt\int_a^b g(f(x))\cdot f'(x)\,dx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(t)\,dt
שבוע 5

אינטגרלים לא אמיתיים

🔗 תרשים גרירה

∣f(x)∣≤g(x)|f(x)|\le g(x) + ∫a∞g\int_a^\infty g מתכנס
←
∫a∞f\int_a^\infty f מתכנס (השוואה)
∫a∞∣f∣\int_a^\infty |f| מתכנס
←
∫a∞f\int_a^\infty f מתכנס (מוחלט)
ff לא רציפה ב-c∈[a,b]c\in[a,b]
←
⚠ אסור N-L → פתח לפי הגדרה (גבול)
⚠ הטעות הקלאסית — ∫₋₁¹ (1/x) dx
∫−111x dx≠0\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx \ne 0 — 1/x1/x לא רציפה ב-0. N-L אסור. האינטגרל מתבדר!
גם הסימטריה לא עוזרת — כלל הפונקציה האי-זוגית חל על אינטגרל מסוים בלבד.

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
∫−∞∞f=∫−∞0f+∫0∞f\int_{-\infty}^\infty f = \int_{-\infty}^0 f + \int_0^\infty f — שני גבולות נפרדים. אם אחד מתבדר — כולו מתבדר.
מקס אמר ←
מבחן ההשוואה לאינטגרלים: אם 0≤f≤g0\le f\le g ו-∫g\int g מתכנס → ∫f\int f מתכנס. ואם ∫f\int f מתבדר → ∫g\int g מתבדר.

❓ שאלות חשובות

חשב: ∫−∞∞1ex+e−x dx\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{e^x+e^{-x}}\,dx — פרד לשניים, השתמש ב-arctan⁡(ex)\arctan(e^x).
בדוק: ∫1∞ln⁡xxp dx\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^p}\,dx — מתכנס עבור אלו pp?
הוכח/הפרך: אם ∫0∞f\int_0^\infty f מתכנס ו-ff אחידה רציפה, אז lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x\to\infty} f(x)=0. (נכון)

📐 משפטים מההרצאה

הגדרת אינטגרל לא אמיתי
∫a∞f(x) dx=lim⁡R→∞∫aRf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx
∫−∞∞f=∫−∞0f+∫0∞f\int_{-\infty}^\infty f = \int_{-\infty}^0 f + \int_0^\infty f (שני גבולות נפרדים).
מבחן ההשוואה לאינטגרלים
אם 0≤f(x)≤g(x)0\le f(x)\le g(x) לכל x≥ax\ge a:
• ∫a∞g\int_a^\infty g מתכנס → ∫a∞f\int_a^\infty f מתכנס.
• ∫a∞f\int_a^\infty f מתבדר → ∫a∞g\int_a^\infty g מתבדר.
אינטגרל p
∫1∞1xp dx\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx מתכנס   ⟺  p>1\iff p>1.
∫011xp dx\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx מתכנס   ⟺  p<1\iff p<1.
שבוע 6

טורים — מבחני השוואה, אינטגרל ולייבניץ

🔗 תרשים גרירה

∑an\sum a_n מתכנס
←
an→0a_n\to 0 (תנאי הכרחי!)
lim⁡anbn=L∈(0,∞)\lim\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty)
←
LCT: ∑an  ⟺  ∑bn\sum a_n\iff\sum b_n
p>1p>1
←
∑1np\sum\frac{1}{n^p} מתכנס (p-series)
an≥0a_n\ge 0 יורד, an→0a_n\to 0
←
לייבניץ: ∑(−1)nan\sum(-1)^n a_n מתכנס
ציר הזמן: חוצץ בין מתכנס למתבדר
∑1np\sum\frac{1}{n^p}: מתכנס (p>1p>1), מתבדר (p≤1p\le 1). החוצץ עובר ב-p=1p=1 (הרמוני).
שכבה עדינה יותר: ∑1nln⁡βn\sum\frac{1}{n\ln^\beta n} מתכנס   ⟺  β>1\iff \beta>1.

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
אסור לפצל ∑(an+bn)=∑an+∑bn\sum(a_n+b_n)=\sum a_n + \sum b_n בלי לדעת ששניהם מתכנסים. פתח SNS_N ואז קח גבול.
מקס אמר ←
LCT: אם lim⁡anbn=0\lim\frac{a_n}{b_n}=0 או ∞\infty — לא מסיקים כלום! צריך L∈(0,∞)L\in(0,\infty).
מקס אמר ←
טלסקופי: פתח SN=∑n=1N(bn+1−bn)=bN+1−b1S_N = \sum_{n=1}^N (b_{n+1}-b_n) = b_{N+1}-b_1, קח גבול.

❓ שאלות חשובות

בדוק: ∑n=1∞sin⁡nn2\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^2} — מתכנס? (כן — השוואה עם 1n2\frac{1}{n^2})
בדוק: ∑n=2∞1nln⁡n\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n} — מתכנס? (לא — מבחן האינטגרל)
בדוק: ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} — מתכנס? (כן — לייבניץ, לא בהחלט)

📐 משפטים מההרצאה

תנאי הכרחי להתכנסות
אם ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס, אז an→0a_n\to 0.
קונטרה-פוזיטיב: אם an↛0a_n\not\to 0 → הטור מתבדר.
מבחן ההשוואה הגבולי (LCT)
אם an,bn>0a_n,b_n>0 ו-lim⁡n→∞anbn=L∈(0,∞)\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty), אז ∑an\sum a_n מתכנס   ⟺  ∑bn\iff \sum b_n מתכנס.
מבחן האינטגרל
ff חיובית, יורדת, רציפה ב-[1,∞)[1,\infty). אז ∑n=1∞f(n)\sum_{n=1}^\infty f(n) מתכנס   ⟺  ∫1∞f(x) dx\iff \int_1^\infty f(x)\,dx מתכנס.
מבחן לייבניץ (Alternating Series Test)
אם an≥0a_n\ge 0, ana_n יורדת (חייב!), an→0a_n\to 0, אז ∑n=1∞(−1)nan\sum_{n=1}^\infty(-1)^n a_n מתכנס.
שבוע 7

מבחן מנה, שורש וסדרי גודל

🔗 תרשים גרירה

מכפלות / עצרת
←
מבחן המנה → an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}
xnx^n / חזקות
←
מבחן השורש → ∣an∣1/n|a_n|^{1/n}
L<1L<1
←
מתכנס
L>1L>1
←
מתבדר
L=1L=1
←
⚠ לא קובע — נסה כלי אחר
סדרי גודל — חייבים לזכור
n!  ≫  an  ≫  nk  ≫  ln⁡kn(a>1,  k>0)n! \;\gg\; a^n \;\gg\; n^k \;\gg\; \ln^k n \qquad (a>1,\; k>0)
מעריכים מנצח פולינום מנצח לוגריתם. מיידית!

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
עצרת → מנה ראשון. כשעושים an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}, המכפלות מצטמצמות בצורה נקייה.
מקס אמר ←
אם L=1 במבחן מנה/שורש — באסה גדולה, צריך כלי אחר. זה לא אומר שלא מתכנס.
מקס אמר ←
lim⁡n→∞(nn+1)n=e−1\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1} — חשוב לדעת!

❓ שאלות חשובות

בדוק: ∑n!nn\sum\frac{n!}{n^n} — מבחן מנה, L=e−1<1L=e^{-1}<1 → מתכנס.
בדוק: ∑1⋅4⋅7⋯(3n−2)3⋅6⋅9⋯(3n)\sum\frac{1\cdot 4\cdot 7\cdots(3n-2)}{3\cdot 6\cdot 9\cdots(3n)} — מבחן מנה, שים לב לאיבר הבא.
בדוק: ∑(nn+1)n2\sum\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} — מבחן שורש: (nn+1)n→e−1<1\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to e^{-1}<1 → מתכנס.

📐 משפטים מההרצאה

מבחן המנה (D'Alembert)
L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: אם L<1L<1 מתכנס בהחלט, L>1L>1 מתבדר, L=1L=1 לא קובע.
מבחן השורש (Cauchy)
L=lim sup⁡n→∞∣an∣1/nL=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}: אם L<1L<1 מתכנס בהחלט, L>1L>1 מתבדר, L=1L=1 לא קובע.
שבוע 8

התכנסות בהחלט ובתנאי — הוכח/הפרך (⚠ קלאסי למבחן!)

🔗 תרשים גרירה

∑∣an∣<∞\sum|a_n|<\infty
←
מתכנס בהחלט → מתכנס
מתכנס
←
מתכנס בהחלט? — לא בהכרח!
an≥0a_n\ge0 יורד, an→0a_n\to 0
←
לייבניץ: ∑(−1)nan\sum(-1)^n a_n מתכנס
⚠ הנקודה הכי חשובה בשבוע זה
כשטור אינו אי-שלילי — כל האינטואיציות מהשבועות הקודמים מתאפסות! זה עולם אחר.
מבחן ההשוואה — רק לטורים אי-שליליים. חייבים לקרוא את השאלה!
תרשים: 6 שאלות הוכח/הפרך מתרגול 8 — קלאסיות למבחן!
(1) ∑an2\sum a_n^2 מתכנס ⟹ ∑ann\sum\frac{a_n}{n} מתכנס בהחלט? (כן — (a−b)2≥0(a-b)^2\ge0)
(2) ∑an\sum a_n מתכנס ⟹ ∑(−1)nan\sum(-1)^n a_n מתכנס? (לא בהכרח)
(3) an≥0,an→0a_n\ge0, a_n\to0 ⟹ ∑(−1)nan\sum(-1)^n a_n מתכנס? (שגוי! חסרה יורדת)
(4) לייבניץ בלי 'יורדת': הטענה שגויה — בנה דוגמה נגדית עם קפיצה זוגי/אי-זוגי.

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
טריק: (a−b)2≥0(a-b)^2\ge0 → 2ab≤a2+b22ab\le a^2+b^2. שימושי כשרואים מכפלה שצריך לחסום.
מקס אמר ←
שתילת אפסים: לדוגמה נגדית עם טור לא אי-שלילי — שתל אפסים במיקומים זוגיים. ∑∣an∣\sum|a_n| עדיין מתבדר.
מקס אמר ←
לקפץ בסדרה → הפרד זוגי ואי-זוגי. (−1)n(-1)^n אסור לסדרה אי-שלילית.

❓ שאלות חשובות

הוכח: ∑an2\sum a_n^2 מתכנס ⟹ ∑ann\sum\frac{a_n}{n} מתכנס בהחלט. (AM-GM)
הפרך: an≥0,an→0a_n\ge0, a_n\to0 ⟹ ∑(−1)nan\sum(-1)^n a_n מתכנס. (סדרה קופצת)
הוכח: ∑∣an∣=∞\sum|a_n|=\infty, ∑an\sum a_n מתכנס → ∑an\sum a_n מתכנס בתנאי.

📐 משפטים מההרצאה

התכנסות מוחלטת
אם ∑∣an∣\sum|a_n| מתכנס, אז ∑an\sum a_n מתכנס. (ההפך לא נכון בכלל!)
מבחן לייבניץ — 3 תנאים חייבים!
(1) an≥0a_n\ge 0, (2) ana_n יורדת (חובה! יוסי השתמש בזה בהוכחה), (3) an→0a_n\to 0.
אז ∑n=1∞(−1)nan\sum_{n=1}^\infty(-1)^n a_n מתכנס. שגיאה נפוצה: לשכוח 'יורדת'.
משפט סוגריים
אם ∑an\sum a_n מתכנס ומוסיפים סוגריים → הוא מתכנס לאותו ערך.
אם הוספנו סוגריים והוא מתבדר → ∑an\sum a_n מתבדר. (שימושי לדוגמאות נגדיות)
שבוע 9

טורי חזקות — רדיוס התכנסות ומקלורן

🔗 תרשים גרירה

∑anxn\sum a_n x^n
←
R=1lim sup⁡∣an∣1/nR=\frac{1}{\limsup|a_n|^{1/n}} (רדיוס התכנסות)
∣x∣<R|x|<R
←
מתכנס <b>בהחלט</b>
∣x∣>R|x|>R
←
מתבדר
∣x∣=R|x|=R
←
⚠ לבדוק כל קצה בנפרד
גזירה/אינטגרציה
←
RR לא משתנה — אבל קצוות — בדוק מחדש!

💡 מסקנות מהתרגולים של מקס

מקס אמר ←
קצוות: RR לא משתנה בגזירה/אינטגרציה, אבל ההתנהגות בקצוות יכולה להשתנות — תמיד לבדוק!
מקס אמר ←
חישוב סכום טור: לפעמים גוזרים/מאינטגרלים טור ידוע כדי להגיע לטור הרצוי. תרגול בסיסי.

❓ שאלות חשובות

מצא רדיוס התכנסות: ∑xnn\sum\frac{x^n}{n} → R=1R=1. בדוק קצוות: x=1x=1 (מתבדר), x=−1x=-1 (מתכנס).
חשב: ∑n=1∞nxn\sum_{n=1}^\infty nx^n עבור ∣x∣<1|x|<1. (גזור ∑xn=11−x\sum x^n = \frac{1}{1-x})
הוכח: ∑n=0∞xnn!=ex\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=e^x לכל x∈Rx\in\mathbb{R}. (שארית לגרנז' שואפת ל-0)

📐 משפטים מההרצאה

רדיוס התכנסות
לטור ∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n, הרדיוס הוא:
R=1lim sup⁡n→∞∣an∣1/nR=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}
או (כשהגבול קיים):
R=lim⁡n→∞∣anan+1∣R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות
ב-∣x−x0∣<R|x-x_0|<R:
ddx∑n=0∞an(x−x0)n=∑n=1∞nan(x−x0)n−1\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}
∫∑n=0∞an(x−x0)n dx=∑n=0∞ann+1(x−x0)n+1+C\int\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\,dx = \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}+C
טורי מקלורן — חובה לשנן
ex=∑n=0∞xnn!,x∈Re^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb{R}
sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,x∈R\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{R}
cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,x∈R\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb{R}
ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn,x∈(−1,1]\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n},\quad x\in(-1,1]
11−x=∑n=0∞xn,∣x∣<1\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n,\quad |x|<1
אינפי ב׳ — מועד א׳ · 01.07.2026 · יעד 90+ · Max Mahlin