סימולציה 3 — טורי חזקות

דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט, מתכנסים בתנאי או מתבדרים. $\infty ∑ n=1 [( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) \cdot n 3n ] .1$ פתרון: נבדוק תחילה התכנסות בהחלט $\infty ∑ n=1$ ∣ ∣ ∣ $( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) \cdot n 3n$ ∣ ∣ ∣ $= \infty ∑ n=1 [$∣ ∣$arctan (n) + sin n$∣ ∣ · $1 1 + cos2 n \cdot n 3n ] 4 \le \infty ∑ n=1 [($∣ ∣$arctan (n)$∣ ∣ + ∣ ∣$sin n$∣ ∣$) \cdot 1 1 + cos2 n \cdot n 3n ] \le \infty ∑ n=1 [( \pi 2 + 1 ) \cdot 1 1 + 0 \cdot n 3n ] = \infty ∑ n=1 [( \pi 2 + 1 ) \cdot n 3n ] = ( \pi 2 + 1 ) \infty ∑ n=1 n 3n$ מתכנס. נראה זאת על ידי מבחן השורש $\infty ∑ n=1 n 3n$ הטור $lim n\to \infty n \sqrt{n}3n = lim n\to \infty n 1 n 3 = AOL 1 3 < 1$ ולכן ממבחן ההשוואה הטור $\infty ∑ n=1$ ∣ ∣ ∣ $( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) \cdot n 3n$ ∣ ∣ ∣ מתכנס בהחלט. $\infty ∑ n=1 [( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) \cdot n 3n ]$ מתכנס ולכן הטור 3

תרגיל: קבעו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר $1 - 1 4 + 1 2 - 1 42 + 1 3 - 1 43 + 1 4 - 1 44 + ...$ פתרון: נשים סוגריים באופן הבא: $( 1 - 1 4 ) + ( 1 2 - 1 42 ) + ( 1 3 - 1 43 ) + ( 1 4 - 1 44 ) + ...$ קיבלנו את הטור $\infty ∑ n=1 ( 1 n - 1 4n )$ זהו טור מתבדר, מכיוון שהוא מורכב מטור מתבדר פחות טור מתכנס, ולכן ממשפט השמת הסוגריים, גם הטור המקורי מתבדר. תרגיל: . $\infty ∑ n=1 1 n2 = \pi 2 6$ נניח כי . $\infty ∑ n=1 1 n2 = \infty ∑ n=1 [ 1 (2n-1)2 + 1 (2n)2 ] 1.$ הוכיחו כי פתרון: מתכנס, אז ממשפט השמת הסוגריים נקבל כי $\infty ∑ n=1 1 n2$ היות שהטור $\infty ∑ n=1 1 n2 = ( 1 + 1 22 ) + ( 1 32 + 1 42 ) + ... = \infty ∑ n=1 ( 1 (2n - 1)2 + 1 (2n)2 ) 6$

מינוס 1. מינוס 1, מצוין. בוא נשאל עוד שאלה למשל, מה זה ה'2 פה?

אם אני מציב אין שווה 1, אני אקבל מינוס 1 בחזקת 1 פחות 1, כפול איקס ועוד 1 בחזקת 3, לחלק ל5 בחזקת 1 פחות 2.