סימולציה 3 — טורי חזקות

דוגמה:

קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט, מתכנסים בתנאי או מתבדרים.

.1 $\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\frac{\arctan(n)+\sin n}{1+\cos^2 n}\right) \cdot \frac{n}{3^n}\right]$

פתרון:

נבדוק תחילה התכנסות בהחלט

הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ מתכנס. נראה זאת על ידי מבחן השורש:

ולכן ממבחן ההשוואה הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \left|\left(\frac{\arctan(n)+\sin n}{1+\cos^2 n}\right) \cdot \frac{n}{3^n}\right|$ מתכנס בהחלט.

לכן הטור $\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\frac{\arctan(n)+\sin n}{1+\cos^2 n}\right) \cdot \frac{n}{3^n}\right]$ מתכנס בהחלט.

תרגיל: קבעו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר

פתרון:

נשים סוגריים באופן הבא:

קיבלנו את הטור

זהו טור מתבדר, מכיוון שהוא מורכב מטור מתבדר פחות טור מתכנס, ולכן ממשפט השמת הסוגריים, גם הטור המקורי מתבדר.

---

תרגיל:

נניח כי $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

1. הוכיחו כי $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{(2n-1)^2} + \frac{1}{(2n)^2}\right]$

פתרון:

היות שהטור $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ מתכנס, אז ממשפט השמת הסוגריים נקבל כי

מינוס $1$. מינוס $1$, מצוין. בוא נשאל עוד שאלה למשל, מה זה ה$'2$ פה?

אם אני מציב $n = 1$, אני אקבל $\frac{(-1)^{1-1} \cdot (x+1)^3}{5^{1-2}}$.