סימולציה 3 — טורי חזקות

דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים בהחלט, מתכנסים בתנאי או מתבדרים. ∞ ∑ n=1 [( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ] .1 פתרון: נבדוק תחילה התכנסות בהחלט ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ∣ ∣ ∣ = ∞ ∑ n=1 [∣ ∣arctan (n) + sin n∣ ∣ · 1 1 + cos2 n · n 3n ] 4 ≤ ∞ ∑ n=1 [(∣ ∣arctan (n)∣ ∣ + ∣ ∣sin n∣ ∣) · 1 1 + cos2 n · n 3n ] ≤ ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · 1 1 + 0 · n 3n ] = ∞ ∑ n=1 [( π 2 + 1 ) · n 3n ] = ( π 2 + 1 ) ∞ ∑ n=1 n 3n מתכנס. נראה זאת על ידי מבחן השורש ∞ ∑ n=1 n 3n הטור lim n→∞ n √ n 3n = lim n→∞ n 1 n 3 = AOL 1 3 < 1 ולכן ממבחן ההשוואה הטור ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ∣ ∣ ∣ מתכנס בהחלט. ∞ ∑ n=1 [( arctan(n)+sin n 1+cos2 n ) · n 3n ] מתכנס ולכן הטור 3

תרגיל: קבעו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר 1 − 1 4 + 1 2 − 1 42 + 1 3 − 1 43 + 1 4 − 1 44 + ... פתרון: נשים סוגריים באופן הבא: ( 1 − 1 4 ) + ( 1 2 − 1 42 ) + ( 1 3 − 1 43 ) + ( 1 4 − 1 44 ) + ... קיבלנו את הטור ∞ ∑ n=1 ( 1 n − 1 4n ) זהו טור מתבדר, מכיוון שהוא מורכב מטור מתבדר פחות טור מתכנס, ולכן ממשפט השמת הסוגריים, גם הטור המקורי מתבדר. תרגיל: . ∞ ∑ n=1 1 n2 = π2 6 נניח כי . ∞ ∑ n=1 1 n2 = ∞ ∑ n=1 [ 1 (2n−1)2 + 1 (2n)2 ] 1. הוכיחו כי פתרון: מתכנס, אז ממשפט השמת הסוגריים נקבל כי ∞ ∑ n=1 1 n2 היות שהטור ∞ ∑ n=1 1 n2 = ( 1 + 1 22 ) + ( 1 32 + 1 42 ) + ... = ∞ ∑ n=1 ( 1 (2n − 1)2 + 1 (2n)2 ) 6

דוגמאות: , ומצאו את תחוםR עבור כל אחד מהטורים הבאים, חשבו את רדיוס ההתכנסות, ההתכנסות. בתחום ההתכנסות, מצאו ערך מפורש )ללא סימן הסיגמה(. . ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n .1 פתרון: מדובר בטור גיאומטרי, נסדר את הטור ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n = ∞ ∑ n=0 (−1)n (x2)n = ∞ ∑ n=0 (−x2)n = t=−x2 ∞ ∑ n=0 tn = |t|<1 1 1 − t = 1 1 − (−x2) = 1 1 + x2 , כלומר הטור מתכנס אם"ם| t |< 1 הטור מתכנס אם"ם | −x2 |< 1 ⇔| x2 |< 1 ⇔ x2 < 1 ⇔ −1 < x < 1 .R = 1 ולכן רדיוס ההתכנסות של הטור הוא x0 = 0 נשים לב ש . ∞ ∑ n=0 (2x+3)2n 42n .2 פתרון: מדובר בטור גיאומטרי, נסדר את הטור ∞ ∑ n=0 (2x + 3)2n 42n = ∞ ∑ n=0 ( 2x + 3 4 )2n = ∞ ∑ n=0 (( 2x + 3 4 )2)n = t=( 2x+3 4 )2 ∞ ∑ n=0 tn = |t|<1 1 1 − t = 1 1 − ( 2x+3 4 )2 , כלומר הטור מתכנס אם"ם| t |< 1 הטור מתכנס אם"ם | ( 2x + 3 4 )2 |< 1 ⇔ ( 2x + 3 4 )2 < 1 ⇔ −1 < 2x + 3 4 < 1 ⇔ −4 < 2x + 3 < 4 ⇔ −7 < 2x < 1 ⇔ −3.5 < x < 0.5 .R = 2 ולכן רדיוס ההתכנסות של הטור הוא x0 = −1.5 נשים לב ש 3

תרגיל: שתי סדרות של מספרים ממשיים. (bn)∞ n=0 ו (an)∞ n=0 יהיו בהתאמה R2 6 = R1 טורי חזקות עם רדיוסי התכנסות ∞ ∑ n=0 bn · xn , ∞ ∑ n=0 an · xn יהיו .R1, R2 6 = ∞ כך ש . ∞ ∑ n=0 (an ± bn) · xn מצאו את רדיוס ההתכנסות של טור החזקות פתרון: ראשית נשים לב שלא נוכל להשתמש בנוסחת המנה או השורש מכיוון שלא נתון שהגבולות קיימים. נחלק את הפתרון לשלושה חלקים )נראה שרטוט בכיתה(: .x ∈ R יהי , במקרה זה שני הטורים מתכנסים ולכן גם הסכום מתכנס| x |< min {R1, R2} 1. אם מאשט"מ. , במקרה זה אנחנו יודעים שטור אחדmin {R1, R2} <| x |< max {R1, R2} 2. אם מתבדר שווה מתבדר(. ± מתכנס וטור אחד מתבדר ולכן הטור מתבדר )מתכנס , במקרה זה שני הטורים מתבדרים. נראה שגם הטור של| x |> max {R1, R2} 3. אם הסכום מתבדר. ולכן ממשפט | x |> max {R1, R2} מתכנס עבור ∞ ∑ n=0 (an ± bn)·xn נניח בשלילה ש , סתירה!2 "אבל" הטור מתכנס גם באיזור .R = min {R1, R2} לסיכום: מצאנו שרדיוס ההתכנסות של הטור של הסכום הוא .(| x |> min {R1, R2} ומתבדר לכל | x |< min {R1, R2} )הטור מתכנס לכל 4