סימולציה 2 — טורים ומבחני התכנסות

תרגול 6 היום: טור טלסקופי. • תנאי הכרחי. • משפט הזנבות. • מבחן ההשוואה. • מבחן ההשוואה הגבולי. • תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. $(an)\infty n=k$ ותהי $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי . $lim \mathbb{N} \to \infty \mathbb{N} ∑ n=k an$ מתכנס אם קיים הגבול $\infty ∑ n=k an$ נאמר שהטור במקרה זה נגדיר $\infty ∑ n=k an = lim \mathbb{N} \to \infty \mathbb{N} ∑ n=k an$ תנאי הכרחי: . $lim n\to \infty an = 0$ טור מתכנס, אזי $\infty ∑ n=k an$ יהי , כלומר אם התנאי לא מתקיים הטורתנאי הכרחי ולא תנאי מספיק שימו לב שמדובר על מתבדר ואם התנאי מתקיים לא ניתן לדעת )על סמך הבדיקה של הגבול( אם הטור מתכנס או מתבדר. דוגמאות: קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים, אם כן מצאו את ערכם: $\infty ∑ n=1 arctan n .1$ פתרון: $lim n\to \infty arctan n = Heine lim x\to \infty arctan x = \pi 2 \ne 0$ מתנאי הכרחי. הטור מתבדר הגבול שונה מאפס ולכן 1

.$n \in \mathbb{N}$ לכל α $(n) =$ ⌊ 23+n 2n ⌋ כאשר $\infty ∑ n=1 1 n$α(n) .3 פתרון: $n \ge 24 ,$ לכן לכלα $(n) =$ ⌊ 23+n 2n ⌋ = ⌊ 23 2n + 1 2 ⌋ מתקיים $n \in \mathbb{N}$ נשים לב שלכל .α $(n) = 0$ נקבל ש נסתכל על הזנב של הטור $\infty ∑ n=24 1 n$α$(n) = \infty ∑ n=24 1 n0 = \infty ∑ n=24 1 = \infty .$הטור מתבדר קיבלנו שהזנב של הטור מתבדר, לכן תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. $(an)\infty n=k$ ותהי $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי .$n \ge k$ לכל $an \ge 0$ הוא טור אי שלילי אם $\infty ∑ n=k an$ נאמר שהטור משפט )מבחן ההשוואה לטורים אי שליליים(: שתי סדרות של מספרים ממשיים. $(bn)\infty n=k$ ו $(an)\infty n=k$ ותהיינה $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי נניח כי .$n \ge k$ לכל $0 \le an \le bn .1 . \infty ∑ n=k bn < \infty .2 . \infty ∑ n=k an \le \infty ∑ n=k bn$ ובנוסף, $\infty ∑ n=k an < \infty$ אזי משפט )מבחן ההשוואה הגבולי לטורים אי שליליים(: שתי סדרות של מספרים ממשיים. $(bn)\infty n=k$ ו $(an)\infty n=k$ ותהיינה $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי נניח כי .$bn > 0$ ו $an \ge 0 1.$ לכל , .$L = lim n\to \infty an bn$ וכך ש $L > 0$ כך ש $L \in \mathbb{R} 2.$ קיים . $\infty ∑ n=k bn < \infty$ אם"ם $\infty ∑ n=k an < \infty$ אזי הרמוני: p הטור ה , אזי$p \in \mathbb{R}$ יהי \infty ∑ n=1 1 np = { \infty p \le 1 < \infty p > 1 3

תרגול 7 היום: מבחן ההשוואה. • מבחן ההשוואה הגבולי. • מבחן השורש. • מבחן המנה. • מבחן האינטגרל. • תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים. $(an)\infty n=k$ ותהי $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי .$n \ge k$ לכל $an \ge 0$ הוא טור אי שלילי אם $\infty ∑ n=k an$ נאמר שהטור משפט )מבחן ההשוואה לטורים אי שליליים(: שתי סדרות של מספרים ממשיים. $(bn)\infty n=k$ ו $(an)\infty n=k$ ותהיינה $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי נניח כי .$n \ge k$ לכל $0 \le an \le bn .1 . \infty ∑ n=k bn < \infty .2 . \infty ∑ n=k an \le \infty ∑ n=k bn$ ובנוסף, $\infty ∑ n=k an < \infty$ אזי משפט )מבחן ההשוואה הגבולי לטורים אי שליליים(: שתי סדרות של מספרים ממשיים. $(bn)\infty n=k$ ו $(an)\infty n=k$ ותהיינה $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי נניח כי .$n \ge k$ לכל $an \ge 0$ ו $bn > 0 .1 .L = lim n\to \infty an bn$ וכך ש $L > 0$ כך ש $L \in \mathbb{R} 2.$ קיים . $\infty ∑ n=k bn < \infty$ אם"ם $\infty ∑ n=k an < \infty$ אזי בנוסף: . $\infty ∑ n=k an < \infty$ ⇐ $\infty ∑ n=k bn < \infty ,$ אזי$L = 0$ אם . $\infty ∑ n=k bn < \infty$ ⇐ $\infty ∑ n=k an < \infty ,$ אזי$L = \infty$ ו $n \ge k$ לכל $an > 0$ אם 1

מבחן השורש: סדרה של מספרים ממשיים. $(an)\infty n=k$ ותהי $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי נניח כי .$n \ge k$ לכל $an \ge 0 .1 .L = lim n\to \infty n \sqrt{an}$ שעבורו $L \in \mathbb{R} 2.$ קיים אזי מתכנס. $\infty ∑ n=k an ,$ הטור$0 \le L < 1$ אם • מתבדר. $\infty ∑ n=k an$ ולכן הטור $lim n\to \infty an \ne 0 ,$ אז$L > 1$ אם • מבחן המנה: סדרה של מספרים ממשיים. $(an)\infty n=k$ ותהי $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי נניח כי .$n \ge k$ לכל $an > 0 .1 .L = lim n\to \infty an+1 an$ שעבורו $L \in \mathbb{R} 2.$ קיים אזי מתכנס. $\infty ∑ n=k an ,$ הטור$0 \le L < 1$ אם • מתבדר. $\infty ∑ n=k an$ ולכן הטור $lim n\to \infty an \ne 0 ,$ אז$L > 1$ אם • מבחן האינטגרל: .$f : [k, \infty ) \to \mathbb{R}$ ותהי $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי נניח כי יורדת. $f .1 . lim x\to \infty f (x) = 0 .2 ,∫ \infty k f (x) dx < \infty$ אם"ם $\infty ∑ n=k f (n) < \infty$ אזי $∫ \infty k f (x) dx \le \infty ∑ n=k f (n) \le f (k) + ∫ \infty k f (x) dx$ ובנוסף הרמוני: p הטור ה , אזי$p \in \mathbb{R}$ יהי \infty ∑ n=1 1 np = { \infty p \le 1 < \infty p > 1 2