Mentora
0
חזרה לסימולציות

Simulation

סימולציה 2 — טורים ומבחני התכנסות

4 שאלות · 90 דקות · מבחן השוואה, LCT, מבחן מנה, מבחן שורש, לייבניץ

קשה90 דקות

טיפ

טיפ: קבעי טיימר ל-90 דקות. נסי לפתור לבד לפני שאת מציצה ברמזים.
1
בינוניבינוניתרגול
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

תרגול 6 היום: טור טלסקופי.

תנאי הכרחי.

משפט הזנבות.

מבחן ההשוואה.

מבחן ההשוואה הגבולי.

תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים.

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים.

נאמר שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n מתכנס אם קיים הגבול lim⁡N→∞∑n=kNan\lim_{N \to \infty} \sum_{n=k}^{N} a_n

במקרה זה נגדיר:

∑n=k∞an=lim⁡N→∞∑n=kNan\sum_{n=k}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=k}^{N} a_n

תנאי הכרחי:

יהי ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n טור מתכנס, אזי lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0

כלומר אם התנאי לא מתקיים הטור מתבדר.

שימו לב שמדובר על תנאי הכרחי ולא תנאי מספיק. ואם התנאי מתקיים לא ניתן לדעת (על סמך הבדיקה של הגבול) אם הטור מתכנס או מתבדר.

דוגמאות:

קבעו האם הטורים הבאים מתכנסים, אם כן מצאו את ערכם:

.1 ∑n=1∞arctan⁡n\sum_{n=1}^{\infty} \arctan n

פתרון:

lim⁡n→∞arctan⁡n=lim⁡x→∞arctan⁡xHeine=π2≠0\lim_{n \to \infty} \arctan n = \underset{\text{Heine}}{\lim_{x \to \infty} \arctan x} = \frac{\pi}{2} \neq 0

הגבול שונה מאפס ולכן מתנאי הכרחי הטור מתבדר.

2
בינוניבינוניתרגול
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

.3

∑n=1∞1nα(n)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha(n)}}

כאשר α(n)=⌊23+n2n⌋\alpha(n) = \lfloor \frac{23+n}{2n} \rfloor לכל n∈Nn \in \mathbb{N}.

פתרון:

נשים לב שלכל n∈Nn \in \mathbb{N} מתקיים α(n)=⌊23+n2n⌋=⌊232n+12⌋\alpha(n) = \lfloor \frac{23+n}{2n} \rfloor = \lfloor \frac{23}{2n} + \frac{1}{2} \rfloor, לכן לכל n≥24n \geq 24 נקבל ש α(n)=0\alpha(n) = 0.

נסתכל על הזנב של הטור:

∑n=24∞1nα(n)=∑n=24∞1n0=∑n=24∞1=∞\sum_{n=24}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha(n)}} = \sum_{n=24}^{\infty} \frac{1}{n^0} = \sum_{n=24}^{\infty} 1 = \infty

קיבלנו שהזנב של הטור מתבדר, לכן הטור מתבדר.

תזכורת:

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהי (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} סדרה של מספרים ממשיים.

נאמר שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n הוא טור אי שלילי אם an≥0a_n \geq 0 לכל n≥kn \geq k.

משפט (מבחן ההשוואה לטורים אי שליליים):

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהיינה (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} ו (bn)n=k∞(b_n)_{n=k}^{\infty} שתי סדרות של מספרים ממשיים.

נניח כי 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n לכל n≥kn \geq k.

אזי:

1.∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^{\infty} a_n < \infty
2.∑n=k∞an≤∑n=k∞bn\sum_{n=k}^{\infty} a_n \leq \sum_{n=k}^{\infty} b_n

ובנוסף, אם ∑n=k∞bn<∞\sum_{n=k}^{\infty} b_n < \infty.

משפט (מבחן ההשוואה הגבולי לטורים אי שליליים):

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהיינה (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} ו (bn)n=k∞(b_n)_{n=k}^{\infty} שתי סדרות של מספרים ממשיים.

נניח כי an≥0a_n \geq 0 ו bn>0b_n > 0 לכל nn.

1.קיים L∈RL \in \mathbb{R} כך ש L>0L > 0
2.L=lim⁡n→∞anbnL = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}

אזי ∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^{\infty} a_n < \infty אם"ם ∑n=k∞bn<∞\sum_{n=k}^{\infty} b_n < \infty.

הטור ההרמוני ה-pp:

יהי p∈Rp \in \mathbb{R}.

אזי:

∑n=1∞1np={∞p≤1<∞p>1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \begin{cases} \infty & p \leq 1 \\ < \infty & p > 1 \end{cases}
3
בינוניבינוניתרגול
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

תרגול 7 היום: מבחן ההשוואה.

מבחן ההשוואה הגבולי.

מבחן השורש.

מבחן המנה.

מבחן האינטגרל.

תזכורת: סדרה של מספרים ממשיים (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty}.

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהי סדרה של מספרים ממשיים. נאמר שהטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n הוא טור אי שלילי אם an≥0a_n \geq 0 לכל n≥kn \geq k.

משפט (מבחן ההשוואה לטורים אי שליליים):

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהיינה (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} ו (bn)n=k∞(b_n)_{n=k}^{\infty} שתי סדרות של מספרים ממשיים. נניח כי:

1.0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n לכל n≥kn \geq k.
2.∑n=k∞bn<∞\sum_{n=k}^{\infty} b_n < \infty.

אזי ∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^{\infty} a_n < \infty ובנוסף, ∑n=k∞an≤∑n=k∞bn\sum_{n=k}^{\infty} a_n \leq \sum_{n=k}^{\infty} b_n.

משפט (מבחן ההשוואה הגבולי לטורים אי שליליים):

יהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} ותהיינה (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} ו (bn)n=k∞(b_n)_{n=k}^{\infty} שתי סדרות של מספרים ממשיים. נניח כי:

1.bn>0b_n > 0 ו an≥0a_n \geq 0 לכל n≥kn \geq k.
2.קיים L∈RL \in \mathbb{R} כך ש L>0L > 0 וכך ש L=lim⁡n→∞anbnL = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}.

אזי ∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^{\infty} a_n < \infty אם"ם ∑n=k∞bn<∞\sum_{n=k}^{\infty} b_n < \infty.

בנוסף:

אם L=0L = 0, אזי ∑n=k∞bn<∞⇒∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^{\infty} b_n < \infty \Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty} a_n < \infty.

אם L=∞L = \infty ו an>0a_n > 0 לכל n≥kn \geq k, אזי ∑n=k∞bn<∞⇐∑n=k∞an<∞\sum_{n=k}^{\infty} b_n < \infty \Leftarrow \sum_{n=k}^{\infty} a_n < \infty.

4
בינוניבינוניתרגול
גבולותטוריםמבחן-ההשוואה

## מבחן השורש

סדרה של מספרים ממשיים. (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} ותהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} יהי נניח כי .n≥k.n \geq k לכל an≥0a_n \geq 0.

1.L=lim⁡n→∞annL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} שעבורו L∈RL \in \mathbb{R}
2.קיים

אזי:

0≤L<10 \leq L < 1 אם הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n מתכנס.

L>1L > 1 אם lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, ולכן הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n מתבדר.

## מבחן המנה

סדרה של מספרים ממשיים. (an)n=k∞(a_n)_{n=k}^{\infty} ותהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} יהי נניח כי .n≥k.n \geq k לכל an>0a_n > 0.

1.L=lim⁡n→∞an+1anL = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} שעבורו L∈RL \in \mathbb{R}
2.קיים

אזי:

0≤L<10 \leq L < 1 אם הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n מתכנס.

L>1L > 1 אם lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, ולכן הטור ∑n=k∞an\sum_{n=k}^{\infty} a_n מתבדר.

## מבחן האינטגרל

נניח כי .f:[k,∞)→R.f : [k, \infty) \to \mathbb{R} ותהי 0≤k∈Z0 \leq k \in \mathbb{Z} יהי

1.ff יורדת.
2.lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0.

אזי ∫k∞f(x)dx<∞\int_{k}^{\infty} f(x) dx < \infty אם"ם ∑n=k∞f(n)<∞\sum_{n=k}^{\infty} f(n) < \infty

ובנוסף:

∫k∞f(x)dx≤∑n=k∞f(n)≤f(k)+∫k∞f(x)dx\int_{k}^{\infty} f(x) dx \leq \sum_{n=k}^{\infty} f(n) \leq f(k) + \int_{k}^{\infty} f(x) dx

## הטור ה-pp הרמוני

יהי p∈Rp \in \mathbb{R}, אזי:

∑n=1∞1np={=∞p≤1<∞p>1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \begin{cases} = \infty & p \leq 1 \\ < \infty & p > 1 \end{cases}