סימולציה 1 — גבולות ונגזרות

דוגמאות: חשבו כל אחד מהגבולות הבאים או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב: lim x→0 [ x · e 1 x ] .1 פתרון: נפריד לגבולות חד צדדיים. גבול מימין: lim x→0+ [ x · e 1 x ] = lim x→0+ e 1 x 1 x ? ∞ = L lim x→0+ e 1 x · (ZZ Z − 1 x2 ) ZZ Z − 1 x2 = ∞ כאשר lim x→0+ e 1 x = t= 1 x lim t→∞ et = ∞ גבול משמאל: lim x→0− x · e 1 x = AOL 0 · 0 = 0 כאשר lim x→0− e 1 x = t= 1 x lim t→−∞ et = 0 קיבלנו שהגבולות החד צדדיים שונים, לכן הגבול לא קיים במובן הרחב. 2

תרגיל: .{f ′ (x) : x ∈ R} ⊆ Q פונקציה גזירה. נניח כי f : R → R תהי .x ∈ R לכל f ′ (x) = q0 כך ש q0 ∈ Q היא קבועה, כלומר שקיים f ′ 1. הוכיחו כי פתרון: וכך ש x1 6 = x2 כך ש x1, x2 ∈ R לא קבועה, לכן קיימים f ′ נניח בשלילה ש .f ′ (x1) < f ′ (x2) כך ש r ∈ R \ Q קיים R \ Q מצפיפות f ′ (x1) < r < f ′ (x2) בסתירה f ′ (c) = r כך ש x2 ל x1 בין c לכן ממשפט דרבו המורחב קיימת נקודה .{f ′ (x) : x ∈ R} ⊆ Q לכך ש .x ∈ R לכל f ′ (x) = q0 כך ש q0 ∈ Q היא קבועה ולכן קיים f ′ לכן .x ∈ R לכל f (x) = q0 · x + r0 כך ש r0 ∈ R 2. הוכיחו כי קיים פתרון: .x ∈ R לכל g (x) = f (x) − q0x נגדיר את מתקיים x ∈ R גזירה מאשג"ז וכי לכל g נשים לב כי g′ (x) = f ′ (x) − q0 = q0 − q0 = 0 מתקיים x ∈ R כך שלכל r0 ∈ R , כלומר קייםR קבועה ב g ולכן g (x) = r0 מתקיים x ∈ R לכן לכל f (x) − q0x = r0 ⇒ f (x) = q0 · x + r0 5

תרגול 2 היום: סדרות. • תזכורת: .L ∈ R סדרה של מספרים ממשיים. יהי (an)∞ n=k ותהי 0 ≤ k ∈ Z יהי n ≥ N כך שלכל N ∈ N קיים > 0 אם לכל (an)∞ n=k הוא גבול של L נאמר כי מתקיים | an − L |< ונאמר שהסדרה מתכנסת. lim n→∞an = L במקרה זה נסמן משפט )הלמה של היינה(: .x0 פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של f . תהיL ∈ R ויהי x0 ∈ R תהי של מספרים ממשיים הנמצאת (xn)∞ n=1 , אזי לכל סדרה lim x→x0 f (x) = L אם . lim n→∞f (xn) = L מתקיים lim n→∞xn = x0 בסביבה המנוקבת, ושעבורה הערה: , אולם יש לעדכן את ההוכחהL = ±∞ ו x0 = ±∞ הלמה של היינה נכונה גם כאשר בהתאם. 1

תרגול 3 היום: האינטגרל הלא מסוים. • תזכורת: f (x) ∫ f (x) dx xa,a 6 = −1 xa+1 a+1 + C 1 x ln | x | +C sin x − cos x + C cos x sin x + C ex ex + C ax, 1 6 = a > 0 ax ln a + C 1 cos2 x tan x + C 1 sin2 x − cot x + C 1 1+x2 arctan x + C 1 √1−x2 arcsin x + C − 1 √1−x2 arccos x + C לינאריות האינטגרל הלא מסוים: ∫ (af (x) + bg (x)) dx = ∫ af (x) dx + ∫ bg (x) dx = aF (x) + bG (x) + C 1