סימולציה 1 — גבולות ונגזרות

דוגמאות: חשבו כל אחד מהגבולות הבאים או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב: $\lim_{x\to 0} [ x \cdot e 1 x ] .1$ פתרון: נפריד לגבולות חד צדדיים. גבול מימין: $\lim_{x\to 0+} [ x \cdot e 1 x ] = \lim_{x\to 0+} e 1 x 1 x ? \infty = L \lim_{x\to 0+} e 1 x \cdot (ZZ \mathbb{Z} - 1 x2 ) ZZ \mathbb{Z} - 1 x2 = \infty$ כאשר $\lim_{x\to 0+} e 1 x = t= 1 x lim t\to \infty et = \infty$ גבול משמאל: $\lim_{x\to 0-} x \cdot e 1 x = AOL 0 \cdot 0 = 0$ כאשר $\lim_{x\to 0-} e 1 x = t= 1 x \lim_{t\to -}\infty et = 0$ קיבלנו שהגבולות החד צדדיים שונים, לכן הגבול לא קיים במובן הרחב. 2

תרגיל: .${f ' (x) : x \in \mathbb{R}} \subseteq \mathbb{Q}$ פונקציה גזירה. נניח כי $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ תהי .$x \in \mathbb{R}$ לכל $f ' (x) = q0$ כך ש $q0 \in \mathbb{Q}$ היא קבועה, כלומר שקיים f ′ 1. הוכיחו כי פתרון: וכך ש $x1 \ne x2$ כך ש $x1, x2 \in \mathbb{R}$ לא קבועה, לכן קיימים f ′ נניח בשלילה ש .$f ' (x1) < f ' (x2)$ כך ש $r \in \mathbb{R}$ \ Q קיים R \ Q מצפיפות $f ' (x1) < r < f ' (x2)$ בסתירה $f ' (c) = r$ כך ש x2 ל x1 בין c לכן ממשפט דרבו המורחב קיימת נקודה .${f ' (x) : x \in \mathbb{R}} \subseteq \mathbb{Q}$ לכך ש .$x \in \mathbb{R}$ לכל $f ' (x) = q0$ כך ש $q0 \in \mathbb{Q}$ היא קבועה ולכן קיים f ′ לכן .$x \in \mathbb{R}$ לכל $f (x) = q0 \cdot x + r0$ כך ש $r0 \in \mathbb{R} 2.$ הוכיחו כי קיים פתרון: .$x \in \mathbb{R}$ לכל $g (x) = f (x) - q0x$ נגדיר את מתקיים $x \in \mathbb{R}$ גזירה מאשג"ז וכי לכל g נשים לב כי $g' (x) = f ' (x) - q0 = q0 - q0 = 0$ מתקיים $x \in \mathbb{R}$ כך שלכל $r0 \in \mathbb{R} ,$ כלומר קייםR קבועה ב g ולכן $g (x) = r0$ מתקיים $x \in \mathbb{R}$ לכן לכל $f (x) - q0x = r0$ ⇒ $f (x) = q0 \cdot x + r0 5$

תרגול 2 היום: סדרות. • תזכורת: .$L \in \mathbb{R}$ סדרה של מספרים ממשיים. יהי $(an)\infty n=k$ ותהי $0 \le k \in \mathbb{Z}$ יהי $n \ge \mathbb{N}$ כך שלכל $\mathbb{N} \in \mathbb{N}$ קיים $> 0$ אם לכל $(an)\infty n=k$ הוא גבול של L נאמר כי מתקיים $| an - L |<$ ונאמר שהסדרה מתכנסת. $lim n\to \infty an = L$ במקרה זה נסמן משפט )הלמה של היינה(: .x0 פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של f . תהי$L \in \mathbb{R}$ ויהי $x0 \in \mathbb{R}$ תהי של מספרים ממשיים הנמצאת $(xn)\infty n=1 ,$ אזי לכל סדרה $\lim_{x\to x0} f (x) = L$ אם . $lim n\to \infty f (xn) = L$ מתקיים $lim n\to \infty xn = x0$ בסביבה המנוקבת, ושעבורה הערה: , אולם יש לעדכן את ההוכחה$L =$ ±∞ ו $x0 =$ ±∞ הלמה של היינה נכונה גם כאשר בהתאם. 1

תרגול 3 היום: האינטגרל הלא מסוים. • תזכורת: $f (x) ∫ f (x) dx xa,a \ne -1 xa+1 a+1 + C 1 x ln | x | +C sin x - cos x + C cos x sin x + C ex ex + C ax, 1 \ne a > 0 ax ln a + C 1 cos2 x tan x + C 1 sin2 x - cot x + C 1 1+x2 arctan x + C 1 \sqrt{1-x2}arcsin x + C - 1 \sqrt{1-x2}arccos x + C$ לינאריות האינטגרל הלא מסוים: $∫ (af (x) + bg (x)) dx = ∫ af (x) dx + ∫ bg (x) dx = aF (x) + bG (x) + C 1$