סימולציה 1 — גבולות ונגזרות

דוגמאות: חשבו כל אחד מהגבולות הבאים או הוכיחו שאינו קיים במובן הרחב:

.1 $\lim_{x \to 0} \left[ x \cdot e^{\frac{1}{x}} \right]$

פתרון:

נפריד לגבולות חד צדדיים.

גבול מימין:

כאשר $\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} \stackrel{t = \frac{1}{x}}{=} \lim_{t \to \infty} e^t = \infty$

גבול משמאל:

כאשר $\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} \stackrel{t = \frac{1}{x}}{=} \lim_{t \to -\infty} e^t = 0$

קיבלנו שהגבולות החד צדדיים שונים, לכן הגבול לא קיים במובן הרחב.

.2

תרגיל:

תהי $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ פונקציה גזירה. נניח כי $\{f'(x) : x \in \mathbb{R}\} \subseteq \mathbb{Q}$.

1. הוכיחו כי קיים $q_0 \in \mathbb{Q}$ כך ש $f'(x) = q_0$ לכל $x \in \mathbb{R}$.

פתרון:

נניח בשלילה ש $f'$ לא קבועה, לכן קיימים $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ כך ש $x_1 \neq x_2$ וכך ש $f'(x_1) < f'(x_2)$.

מצפיפות $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ קיים $r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ כך ש $f'(x_1) < r < f'(x_2)$.

לכן ממשפט דרבו המורחב קיימת נקודה $c$ בין $x_1$ ל $x_2$ כך ש $f'(c) = r$.

בסתירה לכך ש $\{f'(x) : x \in \mathbb{R}\} \subseteq \mathbb{Q}$.

לכן $f'$ היא קבועה ולכן קיים $q_0 \in \mathbb{Q}$ כך ש $f'(x) = q_0$ לכל $x \in \mathbb{R}$.

2. הוכיחו כי קיים $r_0 \in \mathbb{R}$ כך ש $f(x) = q_0 \cdot x + r_0$ לכל $x \in \mathbb{R}$.

פתרון:

נגדיר $g(x) = f(x) - q_0x$.

נשים לב כי $g$ גזירה מאשג"ז וכי לכל $x \in \mathbb{R}$ מתקיים:

לכן $g$ קבועה ב $\mathbb{R}$, כלומר קיים $r_0 \in \mathbb{R}$ כך שלכל $x \in \mathbb{R}$ מתקיים $g(x) = r_0$.

לכן לכל $x \in \mathbb{R}$ מתקיים:

תרגול 2 היום: סדרות.

תזכורת:

יהי $k \in \mathbb{Z}$ כך ש-$0 \leq k$ ותהי $(a_n)_{n=k}^{\infty}$ סדרה של מספרים ממשיים. יהי $L \in \mathbb{R}$.

נאמר כי $L$ הוא גבול של $(a_n)_{n=k}^{\infty}$ אם לכל $\varepsilon > 0$ קיים $N \in \mathbb{N}$ כך שלכל $n \geq N$ מתקיים $|a_n - L| < \varepsilon$.

ונאמר שהסדרה מתכנסת. במקרה זה נסמן:

משפט (הלמה של היינה):

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של $x_0$. יהי $x_0 \in \mathbb{R}$ ויהי $L \in \mathbb{R}$.

אם $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, אזי לכל סדרה $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ של מספרים ממשיים הנמצאת בסביבה המנוקבת, ושעבורה $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$, מתקיים:

הערה:

הלמה של היינה נכונה גם כאשר $x_0 = \pm\infty$ ו-$L = \pm\infty$, אולם יש לעדכן את ההוכחה בהתאם.

תרגול 3 היום: האינטגרל הלא מסוים.

תזכורת:

| $f(x)$ | $\int f(x) dx$ |

|---|---|

| $x^a, a \neq -1$ | $\frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ |

| $\frac{1}{x}$ | $\ln \|x\| + C$ |

| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |

| $\cos x$ | $\sin x + C$ |

| $e^x$ | $e^x + C$ |

| $a^x, a \neq 1, a > 0$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ |

| $\frac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x + C$ |

| $\frac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x + C$ |

| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ |

| $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ |

| $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x + C$ |

לינאריות האינטגרל הלא מסוים: